道路连通性

             

预备知识 连通性

   连通性的概念还不够直观,因此我们还有一个更强的性质,道路连通性.连通性的定义思路是用不相交的开集来分割不连通的各部分,而道路连通性的定义思路是用一条连续的曲线来连接任意两点,如果不连通则这条曲线应该会被截断.

1. 道路连通性的概念

定义 1 道路

   在区间 $I=[0,1]$ 上取通常的度量(子)拓扑.对于任意的拓扑空间 $X$,如果存在一个连续映射 $f: I\rightarrow X$,那么称该映射的像 $f(I)$ 为 $X$ 中的一条道路(path)

   道路的定义要更直观一些,而且在别的数学分支也会出现,比如复变函数中会经常讨论复平面上的道路.需要注意的是,这里定义道路所用的区间是闭区间,也就是说它有起点和终点.可以把 $I$ 看成是从 $0$ 到 $1$ 流逝的时间,而对应的 $f(I)$ 就是这段时间里,一个点在 $X$ 中连续运动的轨迹.这个点运动的 “速度” 不会是无穷大,否则就不是连续映射了;这样,在有限时间内,这个运动轨迹必然也是 “有限” 的.这里打双引号是因为 “速度” 和 “有限” 在一般情况下只是一个类比,只有在度量空间里面我们才可以讨论长度,进而有了 “速度” 的概念.

例 1 道路的例子

  

  • 在度量空间 $\mathbb{R}$ 中,$I$ 本身就是一条道路.任何闭区间都是一条道路.
  • 在 $\sin{\frac{1}{x}}$1空间中,对于任何 $a, b > 0$,从 $x=a$ 到 $x=b$ 的一段函数图像也构成道路
  • 还是在 $\sin{\frac{1}{x}}=S$ 空间中,不过考虑的是 $\bar{S}=S\cup\{(0, y)|y\in [-1,1]\}$,就是在 $S$ 上再添加 $x=0$ 处的一条长度为 $2$ 的线段.如果选择 $\{(0, y)|y\in [-1,1]\}$ 上的任意一点作为起点/终点,而选择 $S$ 上的一点作为终点/起点,那么中间需要走一条无限长的曲线才能让二者相连,而道路都是有限的,所以这样的两点之间就没有道路.

   两条道路 $f(I)$ 和 $g(I)$ 可以首尾相接,得到新的道路 $h(I)$,其中

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &h(t)=f(2t), t\in[0, \frac{1}{2}]\\ &h(t)=g(2t-1), t\in[\frac{1}{2}, 1] \end{aligned}\right. \end{equation}

   道路的概念可以用来引出一个更直观的连通性:

定义 2 道路连通性

   设拓扑空间 $X$ 和它的子集 $A$.如果 $\forall a, b\in A$,总能找到一条道路连接 $a$ 和 $b$,那么称 $A$ 是道路连通(path-connected)的.

   但是道路连通不等价于连通,连通的子集是可能不道路连通的.我们在例 1 中定义的 $ \sin\left(1/x\right) $ 空间的闭包空间 $\bar{S}$ 就是一个反例.$\bar{S}$ 是连通的,因为 $S$ 连通,根据闭包的连通性定理 2 ,$\bar{S}$ 也得连通;但是由例 1 给出的反例,我们知道 $\bar{S}$ 不是道路连通的.

   但是道路连通的子集一定连通.

定理 1 道路连通性推出连通性

   对于拓扑空间 $X$ 及其子集 $A$,如果 $A$ 是道路连通的,那么 $A$ 必是连通的.

   证明

   设 $A$ 是道路连通但不是连通的.那么必然有 $A\subseteq U\cup V$,其中 $U, V$ 和 $A$ 的交集都非空. 取 $a\in U$ 和 $b\in V$,那么由道路连通性,必然存在一条道路 $f:I\rightarrow A$,使得 $f(0)=a, f(1)=b$.由于道路是连续映射,我们有 $f^{-1}(U)$ 和 $f^{-1}(V)$ 都是 $I$ 的非空开子集,而且 $I=f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)$.由于 $I$ 是连通的,它不可能是两个非空开子集的并.因此矛盾,所以 $A$ 必须是连通的.

   证毕

   从这个证明的思路可以看出,道路连通性本质上是在描述每一条道路的连通性,由于道路的端点是任意取的,这就要求 $A$ 本身必须连通了.

2. 道路连通性的性质

   道路连通性也是一个同胚不变量.

定理 2 道路连通性的同胚不变性

   设有拓扑空间 $X$ 和 $Y$,令 $f:X\rightarrow Y$ 是一个连续映射,那么,对于 $X$ 的任何道路连通子集 $A$,$f(A)$ 也是 $Y$ 的道路连通子集.


1. ^例 1

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