道路连通性
贡献者： JierPeter
连通性的概念还不够直观，因此我们还有一个更强的性质，道路连通性。连通性的定义思路是用不相交的开集来分割不连通的各部分，而道路连通性的定义思路是用一条连续的曲线来连接任意两点，如果不连通则这条曲线应该会被截断。
1. 道路连通性的概念
定义 1 道路
在区间 $I=[0,1]$ 上取通常的度量（子）拓扑。对于任意的拓扑空间 $X$，如果存在一个连续映射 $f: I\rightarrow X$，那么称该映射的像 $f(I)$ 为 $X$ 中的一条道路（path）。
道路的定义要更直观一些，而且在别的数学分支也会出现，比如复变函数中会经常讨论复平面上的道路。需要注意的是，这里定义道路所用的区间是闭区间，也就是说它有起点和终点。可以把 $I$ 看成是从 $0$ 到 $1$ 流逝的时间，而对应的 $f(I)$ 就是这段时间里，一个点在 $X$ 中连续运动的轨迹。这个点运动的 “速度” 不会是无穷大，否则就不是连续映射了；这样，在有限时间内，这个运动轨迹必然也是 “有限” 的。这里打双引号是因为 “速度” 和 “有限” 在一般情况下只是一个类比，只有在度量空间里面我们才可以讨论长度，进而有了 “速度” 的概念。
例 1 道路的例子
- 在度量空间 $\mathbb{R}$ 中，$I$ 本身就是一条道路。任何闭区间都是一条道路。
- 在 $\sin{\frac{1}{x}}$1空间中，对于任何 $a, b>0$，从 $x=a$ 到 $x=b$ 的一段函数图像也构成道路
- 还是在 $\sin{\frac{1}{x}}=S$ 空间中，不过考虑的是 $\bar{S}=S\cup\{(0, y)|y\in [-1,1]\}$，就是在 $S$ 上再添加 $x=0$ 处的一条长度为 $2$ 的线段。如果选择 $\{(0, y)|y\in [-1,1]\}$ 上的任意一点作为起点/终点，而选择 $S$ 上的一点作为终点/起点，那么中间需要走一条无限长的曲线才能让二者相连，而道路都是有限的，所以这样的两点之间就没有道路。
两条道路 $f(I)$ 和 $g(I)$ 可以首尾相接，得到新的道路 $h(I)$，其中
\begin{equation}
\left\{\begin{aligned}
&h(t)=f(2t), t\in[0, \frac{1}{2}]\\
&h(t)=g(2t-1), t\in[\frac{1}{2}, 1]
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
道路的概念可以用来引出一个更直观的连通性：
定义 2 道路连通性
设拓扑空间 $X$ 和它的子集 $A$。如果 $\forall a, b\in A$，总能找到一条道路连接 $a$ 和 $b$，那么称 $A$ 是道路连通（path-connected）的。
但是道路连通不等价于连通，连通的子集是可能不道路连通的。我们在例 1 中定义的 $ \sin\left(1/x\right) $ 空间的闭包空间 $\bar{S}$ 就是一个反例。$\bar{S}$ 是连通的，因为 $S$ 连通，根据闭包的连通性定理 2 ，$\bar{S}$ 也得连通；但是由例 1 给出的反例，我们知道 $\bar{S}$ 不是道路连通的。
但是道路连通的子集一定连通。
定理 1 道路连通性推出连通性
对于拓扑空间 $X$ 及其子集 $A$，如果 $A$ 是道路连通的，那么 $A$ 必是连通的。
证明
设 $A$ 是道路连通但不是连通的。那么必然有 $A\subseteq U\cup V$，其中 $U, V$ 和 $A$ 的交集都非空。
取 $a\in U$ 和 $b\in V$，那么由道路连通性，必然存在一条道路 $f:I\rightarrow A$，使得 $f(0)=a, f(1)=b$。由于道路是连续映射，我们有 $f^{-1}(U)$ 和 $f^{-1}(V)$ 都是 $I$ 的非空开子集，而且 $I=f^{-1}(U)\cup f^{-1}(V)$。由于 $I$ 是连通的，它不可能是两个非空开子集的并。因此矛盾，所以 $A$ 必须是连通的。
证毕
从这个证明的思路可以看出，道路连通性本质上是在描述每一条道路的连通性，由于道路的端点是任意取的，这就要求 $A$ 本身必须连通了。
2. 道路连通性的性质
道路连通性也是一个同胚不变量。
定理 2 道路连通性的同胚不变性
设有拓扑空间 $X$ 和 $Y$，令 $f:X\rightarrow Y$ 是一个连续映射，那么，对于 $X$ 的任何道路连通子集 $A$，$f(A)$ 也是 $Y$ 的道路连通子集。
1. ^ 见例 1 。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。