分离性

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 紧致性

1. 分离性的种类一览

   分离性是描述一个拓扑空间里,任意的点、子集等彼此之间能被不相交的开集分开的程度。我会在这里先列出常见的分离性和它们的简单解释,但你不需要掌握所有分离性,只有其中两个是很重要的。

定义 1 分离性的种类

  

  • T0 分离性,是指取空间中不同的两点 x,y,总存在一个开集 U,使得 U 包含其中一点而不包含另一点。
  • T1 分离性,是指取空间中不同的两点 x,y,总存在两个开集分别含有其中一个点,但各自不含有另一个点。
  • T2 分离性,是指取空间中不同的两点 x,y,总存在两个开集,分别含有其中一个点,并且这两个开集不相交。
  • T3 分离性,是指取空间中不同的两点 x,y 或者将 y 替换为一个不含 x 的闭集,那么总存在两个开集,分别含有其中一个点或闭集,并且这两个开集不相交。
  • 正规分离性,是指取空间中不相交的两个闭集 A,B,总存在两个开集,分别含有其中一个闭集,并且这两个开集不相交。
  • T4 分离性,是指既正规分离又 T2 分离的性质。

   这些分离性之间的区别很细微,看起来很绕,对不对?数学家们将分离性的分类做得比这个要详细得多,除了列表里的,他们还研究了诸如 T2.5 分离性,T3.5 分离性,R1 分离性,完全正规分离性,正则分离性,正则 Hausdorff 分离性等非常多的分离性。但常用的重要分离性只有其中两个,T2 分离性正规分离性。其中 T2 分离性又被称为 Hausdorff 分离性

习题 1 度量空间是 Hausdorff 的

   给定度量空间中不同的两点 x,y,构造出两个开集 UxUy,使得 xUxyUy,但 UxUy=

推论 1 

   由习题 1 可推知,度量空间必然是 Hausdorff 空间。

2. Hausdorff 空间和正规空间

   为了方便读者,无须在定义 1 里翻找,我将重新誊写一遍两个重要分离性的定义。

定义 2 Hausdorff 空间和正规空间

   给定拓扑空间 X

  • X 是 Hausdorff 空间,如果任意的 x,yX,都可以被两个不相交的开集 Ux,Uy 分别包含。
  • X 是正规空间,如果任意的两个闭集A,BX,都可以被两个不相交的开集 UA,UB 分别包含。

   我们在紧致性一节的开头提到,紧子集的行为常常和单个点是相似的,而紧子集又常常是闭集;在这里,Hausdorff 空间和正规空间的概念差别,无非就是一个讨论点和点的关系,另一个讨论闭集和闭集的关系。它们也因此有一些类似的性质。

定理 1 分离性的继承

   Hausdorff 空间的任意子空间还是 Hausdorff 的。正规空间的任意子空间还是正规的。

   定理证明是很简单的。注意正规空间的继承性要求必须是闭子集构成的空间,因为只有这样才能保证子空间的闭集仍然是原来空间的闭集,从而直接继承原空间的分离性。举个反例,线段 [0,10] 上的度量空间是正规的,如果取子集 (1,3)(4,5) 来构成子空间,那么根据子拓扑的定义 3 [2,4][(1,3)(4,5)]=[2,3)(1,3)(4,5) 空间的闭集,但它显然不是 [0,10] 空间的闭集。当然了,(1,3)(4,5) 空间也不是正规空间。

   紧的 Hausdorff 空间有一个非常良好的性质:它的紧子集和闭集是等价的。

定理 2 紧 Hausdorff 空间的性质

  • 紧 Hausdorff 空间的紧子集一定是闭的。
  • 紧 Hausdorff 空间是正规空间。

   这个定理的证明是非常巧妙的,我列举如下,感兴趣的读者可以仔细体会:

   证明:

   要证明一个集合是闭集,等价于证明它的补集是开集。

   取拓扑空间 X。设 AX 的紧子集,任取 xXA

   取 A 中任意一点 a,由 Hausdorff 分离性,存在两个开集 Uaa,Vax,并且 UaVa 不相交。对每一个 aA 都取出这样的 UaVa 对,那么 {Ua}a取遍AA 的一个覆盖。由于 A 是紧子集,这个覆盖存在有限子覆盖。

   也就是说,存在有限个 aiA,i=1,2,n,使得 {Uai} 就足以覆盖 A 了。这里的有限非常关键,因为它使得 i=1,2,nVai 是开集的有限交,因此仍然是开集1

   记 i=1,2,nVai=U,且 i=1,2,nVai=V,则 U,V 都是开集,UAVx,并且 U,V 没有交集 A,V 没有交集。

   因此,xXA 的一个内点。由于 x 是任意取的,故可知每一个 xXA 都是其内点,故 XA 是开集,故 A 是闭集。

   类似地可以对两个不相交的闭集中的点彼此配对,应用 Hausdorff 分离性和 Hausdorff 空间中闭集等价于紧集,可以类似地证明紧 Hausdorff 空间都是正规空间。

   证毕。

3. 一点紧化空间

   Hausdorff 空间不一定是紧空间,但是总可以添上一个点以后成为紧空间。最常见的例子就是二维平面添上一个点以后成为一个球面,原本的二维平面因为无穷延伸,所以不是紧空间;但是添上一点再相应定义一些新的开集以后,它就等价于一个有限的球面了,从而变成了紧空间。这种添上一点使非紧空间变成紧空间的操作,叫做 “一点紧化”。

   假设有一个 Hausdorff 空间 (X,T),它不紧致。我给它添上一个点,叫做无穷远点,记为 P,得到一个新的集合 X{P}=X,在这个集合 X 上定义拓扑:开集一共分两种,含 P 和不含 P 的。不含 P 的开集都是原先 X 中的开集,而含 P 的开集 O,都是某个 KX 的补集:O=XK其中 KX 的一个紧集。这样构成了一个新的空间 (X,T),称为 (X,T)一点紧化空间

   这样添上一个点并加入和含这个点的开集的定义,就能得到一个紧 Hausdorff 空间。二维平面变成球面的过程就是这样的。

例 1 黎曼球面

  

   平面几何所研究的空间 R2 是一个 Hausdorff 空间,但它不紧致——这是很显然的,如果你取 An 是以原点为圆心、n 为半径的圆盘,那么 {An} 自然是整个平面的一个覆盖,而它不存在有限子覆盖。当我们给这个平面添加一个无穷远点 P 并按照上述方式进行一点紧化以后,所得到的空间实际上等价于一个球面,记为 S2

   反过来,你也可以把 R2 平面看成是球面 S2 挖去了一个点 P 构成的。事实上,如果你把一个球放在这个平面的原点处,让球的南极点和原点重合,然后从球的北极点拉出一条条射线穿过球面和平面,球面上和平面上被穿过的点相互联系,就几乎构成了球面和平面的一个双射,几乎每一个球面上的点都唯一对应平面上的一个点,除了北极点本身。这个北极点就是我们所讨论的 P 点,那个在平面上并不存在的无穷远点。

图
图 1:黎曼球面示意图。图中球面的南极点和平面的原点 O 是重合的。从北极点 P 拉出的一条射线在 S 穿过球面,和平面相交于 R。球面和平面上的各点 SR 以这种方式一一对应。

   这样给 R2 平面添上一个无穷远点并定义新的开集以后所得到的球面,被称为黎曼球面。通常我们会规定这个球面半径为 1


1. ^ 回顾拓扑的定义,只要求了任意并和有限交的封闭性;以 R 为例也可看出,对于所有正整数 n,开区间 (1,1/n) 的交集是 (1,0],这显然不是一个开集。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利