分离性

             

预备知识 紧致性

1. 分离性的种类一览

   分离性是描述一个拓扑空间里,任意的点、子集等彼此之间能被不相交的开集分开的程度.我会在这里先列出常见的分离性和它们的简单解释,但你不需要掌握所有分离性,只有其中两个是很重要的.

定义 1 分离性的种类

  • $T_0$ 分离性,是指取空间中不同的两点 $x,y$,总存在一个开集 $U$,使得 $U$ 包含其中一点而不包含另一点.
  • $T_1$ 分离性,是指取空间中不同的两点 $x,y$,总存在两个开集分别含有其中一个点,但各自不含有另一个点.
  • $T_2$ 分离性,是指取空间中不同的两点 $x,y$,总存在两个开集,分别含有其中一个点,并且这两个开集不相交.
  • $T_3$ 分离性,是指取空间中不同的两点 $x,y$ 或者将 $y$ 替换为一个不含 $x$ 的闭集,那么总存在两个开集,分别含有其中一个点或闭集,并且这两个开集不相交.
  • 正规分离性,是指取空间中不相交的两个闭集 $A, B$,总存在两个开集,分别含有其中一个闭集,并且这两个开集不相交.
  • $T_4$ 分离性,既正规分离又 $T_2$ 分离的性质.

   这些分离性之间的区别很细微,看起来很绕,对不对?数学家们将分离性的分类做得比这个要详细得多,除了列表里的,他们还研究了诸如 $T_{2.5}$ 分离性,$T_{3.5}$ 分离性,$R_1$ 分离性,完全正规分离性,正则分离性,正则 Hausdorff 分离性等非常多的分离性.但常用的重要分离性只有其中两个,$T_2$ 分离性正规分离性.其中 $T_2$ 分离性又被称为 Hausdorff 分离性

2. Hausdorff 空间和正规空间

   为了方便计,我将重新誊写一遍两个重要分离性的定义.

定义 2 Hausdorff 空间和正规空间

   给定拓扑空间 $X$.

  • 称 $X$ 是 Hausdorff 空间,如果任意的 $x,y\in X$,都可以被两个不相交的开集 $U_x, U_y$ 分别包含.
  • 称 $X$ 是正规空间,如果任意的两个闭集$A, B\subseteq X$,都可以被两个不相交的开集 $U_A, U_B$ 分别包含.

   我们在紧致性一节的开头提到,紧子集的行为常常和单个点是相似的,而紧子集又常常是闭集;在这里,Hausdorff 空间和正规空间的概念差别,无非就是一个讨论点和点的关系,另一个讨论闭集和闭集的关系.它们也因此有一些类似的性质.

定理 1 分离性的继承

   Hausdorff 空间的任意子空间还是 Hausdorff 的.正规空间的任意子空间还是正规的.

   定理证明是很简单的.注意正规空间的继承性要求必须是闭子集构成的空间,因为只有这样才能保证子空间的闭集仍然是原来空间的闭集,从而直接继承原空间的分离性.举个反例,线段 $[0,10]$ 上的度量空间是正规的,如果取子集 $(1,3)\cup(4,5)$ 来构成子空间,那么根据子拓扑的定义 3 ,$[2,4]\cap[(1,3)\cup(4,5)]=[2,3)$ 是 $(1,3)\cup(4,5)$ 空间的闭集,但它显然不是 $[0,10]$ 空间的闭集.当然了,$(1,3)\cup(4,5)$ 空间也不是正规空间.

   紧的 Hausdorff 空间有一个非常良好的性质:它的紧子集和闭集是等价的.

定理 2 紧 Hausdorff 空间的性质

  • 紧 Hausdorff 空间的紧子集一定是闭的.
  • 紧 Hausdorff 空间是正规空间.

   这个定理的证明是非常巧妙的,我列举如下,感兴趣的读者可以仔细体会:

   证明: 要证明一个集合是闭集,等价于证明它的补集是开集.

   取拓扑空间 $X$.设 $A$ 是 $X$ 的紧子集,任取 $x\in X-A$.

   取 $A$ 中任意一点 $a$,由 Hausdorff 分离性,存在两个开集 $U_a\ni a, V_a\ni x$,并且 $U_a$ 和 $V_a$ 不相交.对每一个 $a\in A$ 都取出这样的 $U_a$,$V_a$ 对,那么 $\{U_a\}_{a\text{取遍}A}$ 是 $A$ 的一个覆盖.由于 $A$ 是紧子集,这个覆盖存在有限子覆盖.

   也就是说,存在有限个 $a_i\in A, i=1, 2, \cdots n$,使得 $\{U_{a_i}\}$ 就足以覆盖 $A$ 了.这里的有限非常关键,因为它使得 $\bigcap\limits_{i=1,2, \cdots n}V_{a_i}$ 是开集的有限交,因此仍然是开集1

   记 $\bigcup\limits_{i=1,2, \cdots n}V_{a_i}=U$,且 $\bigcap\limits_{i=1,2, \cdots n}V_{a_i}=V$,则 $U, V$ 都是开集,$U\supseteq A$,$V\ni x$,并且 $U, V$ 没有交集 $\rightarrow A, V$ 没有交集.

   因此,$x$ 是 $X-A$ 的一个内点.由于 $x$ 是任意取的,故可知每一个 $x\in X-A$ 都是其内点,故 $X-A$ 是开集,故 $A$ 是闭集.

   类似地可以对两个不相交的闭集中的点彼此配对,应用 Hausdorff 分离性和 Hausdorff 空间中闭集等价于紧集,可以类似地证明紧 Hausdorff 空间都是正规空间.

   证毕.

3. 一点紧化空间

   Hausdorff 空间不一定是紧空间,但是总可以添上一个点以后成为紧空间.最常见的例子就是二维平面添上一个点以后成为一个球面,原本的二维平面因为无穷延伸,所以不是紧空间;但是添上一点再相应定义一些新的开集以后,它就等价于一个有限的球面了,从而变成了紧空间.这种添上一点使非紧空间变成紧空间的操作,叫做 “一点紧化”.

   假设有一个 Hausdorff 空间 $(X, \mathcal{T})$,它不紧致.我给它添上一个点,叫做无穷远点,记为 $P$,得到一个新的集合 $X\cup \{\mathcal{P}\}=X'$,在这个集合 $X'$ 上定义拓扑:开集一共分两种,含 $P$ 和不含 $P$ 的.不含 $P$ 的开集都是原先 $X$ 中的开集,而含 $P$ 的开集 $O$,都是某个 $K\subseteq X$ 的补集:$O=X'-K$.其中 $K$ 是 $X$ 的一个紧集.这样构成了一个新的空间 $(X', \mathcal{T}')$,称为 $(X, \mathcal{T})$ 的一点紧化空间

   这样添上一个点并加入和含这个点的开集的定义,就能得到一个紧 Hausdorff 空间.二维平面变成球面的过程就是这样的.

例 1 黎曼球面

   平面几何所研究的空间 $\mathbb{R}^2$ 是一个 Hausdorff 空间,但它不紧致——这是很显然的,如果你取 $A_n$ 是以原点为圆心、$n$ 为半径的圆盘,那么 $\{A_n\}$ 自然是整个平面的一个覆盖,而它不存在有限子覆盖.当我们给这个平面添加一个无穷远点 $P$ 并按照上述方式进行一点紧化以后,所得到的空间实际上等价于一个球面,记为 $S^2$.

   反过来,你也可以把 $\mathbb{R}^2$ 平面看成是球面 $S^2$ 挖去了一个点 $P$ 构成的.事实上,如果你把一个球放在这个平面的原点处,让球的南极点和原点重合,然后从球的北极点拉出一条条射线穿过球面和平面,球面上和平面上被穿过的点相互联系,就几乎构成了球面和平面的一个双射,几乎每一个球面上的点都唯一对应平面上的一个点,除了北极点本身.这个北极点就是我们所讨论的 $P$ 点,那个在平面上并不存在的无穷远点.

图
图 1:黎曼球面示意图.图中球面的南极点和平面的原点 $O$ 是重合的.从北极点 $P$ 拉出的一条射线在 $S$ 穿过球面,和平面相交于 $R$.球面和平面上的各点 $S$ 和 $R$ 以这种方式一一对应.

   这样给 $\mathbb{R}^2$ 平面添上一个无穷远点并定义新的开集以后所得到的球面,被称为黎曼球面.通常我们会规定这个球面半径为 $1$.


1. ^ 回顾拓扑的定义,只要求了任意并和有限交的封闭性;以 $\mathbb{R}$ 为例也可看出,对于所有正整数 $n$,开区间 $(-1,1/n)$ 的交集是 $(-1, 0]$,这显然不是一个开集.

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