贡献者: JierPeter
1. 分离性的种类一览
分离性是描述一个拓扑空间里,任意的点、子集等彼此之间能被不相交的开集分开的程度。我会在这里先列出常见的分离性和它们的简单解释,但你不需要掌握所有分离性,只有其中两个是很重要的。
定义 1 分离性的种类
- 分离性,是指取空间中不同的两点 ,总存在一个开集 ,使得 包含其中一点而不包含另一点。
- 分离性,是指取空间中不同的两点 ,总存在两个开集分别含有其中一个点,但各自不含有另一个点。
- 分离性,是指取空间中不同的两点 ,总存在两个开集,分别含有其中一个点,并且这两个开集不相交。
- 分离性,是指取空间中不同的两点 或者将 替换为一个不含 的闭集,那么总存在两个开集,分别含有其中一个点或闭集,并且这两个开集不相交。
- 正规分离性,是指取空间中不相交的两个闭集 ,总存在两个开集,分别含有其中一个闭集,并且这两个开集不相交。
- 分离性,是指既正规分离又 分离的性质。
这些分离性之间的区别很细微,看起来很绕,对不对?数学家们将分离性的分类做得比这个要详细得多,除了列表里的,他们还研究了诸如 分离性, 分离性, 分离性,完全正规分离性,正则分离性,正则 Hausdorff 分离性等非常多的分离性。但常用的重要分离性只有其中两个, 分离性和正规分离性。其中 分离性又被称为 Hausdorff 分离性。
习题 1 度量空间是 Hausdorff 的
给定度量空间中不同的两点 ,构造出两个开集 和 ,使得 ,,但 。
推论 1
由习题 1 可推知,度量空间必然是 Hausdorff 空间。
2. Hausdorff 空间和正规空间
为了方便读者,无须在定义 1 里翻找,我将重新誊写一遍两个重要分离性的定义。
定义 2 Hausdorff 空间和正规空间
给定拓扑空间 。
- 称 是 Hausdorff 空间,如果任意的 ,都可以被两个不相交的开集 分别包含。
- 称 是正规空间,如果任意的两个闭集,都可以被两个不相交的开集 分别包含。
我们在紧致性一节的开头提到,紧子集的行为常常和单个点是相似的,而紧子集又常常是闭集;在这里,Hausdorff 空间和正规空间的概念差别,无非就是一个讨论点和点的关系,另一个讨论闭集和闭集的关系。它们也因此有一些类似的性质。
定理 1 分离性的继承
Hausdorff 空间的任意子空间还是 Hausdorff 的。正规空间的任意闭子空间还是正规的。
定理证明是很简单的。注意正规空间的继承性要求必须是闭子集构成的空间,因为只有这样才能保证子空间的闭集仍然是原来空间的闭集,从而直接继承原空间的分离性。举个反例,线段 上的度量空间是正规的,如果取子集 来构成子空间,那么根据子拓扑的定义 3 , 是 空间的闭集,但它显然不是 空间的闭集。当然了, 空间也不是正规空间。
紧的 Hausdorff 空间有一个非常良好的性质:它的紧子集和闭集是等价的。
定理 2 紧 Hausdorff 空间的性质
- 紧 Hausdorff 空间的紧子集一定是闭的。
- 紧 Hausdorff 空间是正规空间。
这个定理的证明是非常巧妙的,我列举如下,感兴趣的读者可以仔细体会:
证明:
要证明一个集合是闭集,等价于证明它的补集是开集。
取拓扑空间 。设 是 的紧子集,任取 。
取 中任意一点 ,由 Hausdorff 分离性,存在两个开集 ,并且 和 不相交。对每一个 都取出这样的 , 对,那么 是 的一个覆盖。由于 是紧子集,这个覆盖存在有限子覆盖。
也就是说,存在有限个 ,使得 就足以覆盖 了。这里的有限非常关键,因为它使得 是开集的有限交,因此仍然是开集1。
记 ,且 ,则 都是开集,,,并且 没有交集 没有交集。
因此, 是 的一个内点。由于 是任意取的,故可知每一个 都是其内点,故 是开集,故 是闭集。
类似地可以对两个不相交的闭集中的点彼此配对,应用 Hausdorff 分离性和 Hausdorff 空间中闭集等价于紧集,可以类似地证明紧 Hausdorff 空间都是正规空间。
证毕。
3. 一点紧化空间
Hausdorff 空间不一定是紧空间,但是总可以添上一个点以后成为紧空间。最常见的例子就是二维平面添上一个点以后成为一个球面,原本的二维平面因为无穷延伸,所以不是紧空间;但是添上一点再相应定义一些新的开集以后,它就等价于一个有限的球面了,从而变成了紧空间。这种添上一点使非紧空间变成紧空间的操作,叫做 “一点紧化”。
假设有一个 Hausdorff 空间 ,它不紧致。我给它添上一个点,叫做无穷远点,记为 ,得到一个新的集合 ,在这个集合 上定义拓扑:开集一共分两种,含 和不含 的。不含 的开集都是原先 中的开集,而含 的开集 ,都是某个 的补集:。其中 是 的一个紧集。这样构成了一个新的空间 ,称为 的一点紧化空间。
这样添上一个点并加入和含这个点的开集的定义,就能得到一个紧 Hausdorff 空间。二维平面变成球面的过程就是这样的。
例 1 黎曼球面
平面几何所研究的空间 是一个 Hausdorff 空间,但它不紧致——这是很显然的,如果你取 是以原点为圆心、 为半径的圆盘,那么 自然是整个平面的一个覆盖,而它不存在有限子覆盖。当我们给这个平面添加一个无穷远点 并按照上述方式进行一点紧化以后,所得到的空间实际上等价于一个球面,记为 。
反过来,你也可以把 平面看成是球面 挖去了一个点 构成的。事实上,如果你把一个球放在这个平面的原点处,让球的南极点和原点重合,然后从球的北极点拉出一条条射线穿过球面和平面,球面上和平面上被穿过的点相互联系,就几乎构成了球面和平面的一个双射,几乎每一个球面上的点都唯一对应平面上的一个点,除了北极点本身。这个北极点就是我们所讨论的 点,那个在平面上并不存在的无穷远点。
图 1:黎曼球面示意图。图中球面的南极点和平面的原点 是重合的。从北极点 拉出的一条射线在 穿过球面,和平面相交于 。球面和平面上的各点 和 以这种方式一一对应。
这样给 平面添上一个无穷远点并定义新的开集以后所得到的球面,被称为黎曼球面。通常我们会规定这个球面半径为 。
1. ^ 回顾拓扑的定义,只要求了任意并和有限交的封闭性;以 为例也可看出,对于所有正整数 ,开区间 的交集是 ,这显然不是一个开集。
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