含时微扰理论(束缚态)

                     

贡献者: addis

预备知识 1 薛定谔方程

1. 薛定谔方程的矩阵形式

  1在讲微扰理论之前,我们先来看如何把含时薛定谔方程写为矩阵的形式。含时薛定谔方程的一般形式为

(1)H|ψ(t)=it|ψ(t) ,
我们把哈密顿算符分为不含时部分 H0 和含时部分 H(t)
(2)H=H0+H(t) .

   为简单起见我们暂时假设 H0 只有离散的束缚,例如简谐振子。我们假设已经知道 H(t)=0 的情况下含时薛定谔方程的通解:先解出对应的定态薛定谔方程的波函数 |n 和能级 En,通解可表示为(式 8

(3)|ψ0(t)=ncn|neiEnt/ .
注意其中 cn 为常数,由初始波函数决定。我们可以定义一组含时基底
(4)|n(t)=|neiEnt/ .
注意任何时刻这组基底都正交归一,可用于展开式 1 的解
(5)|ψ(t)=ncn(t)|n(t)=ncn(t)|neiEnt/ .
由于基底并不是总哈密顿算符 H 的本征矢,系数需由常数拓展为时间的函数 cn(t)。许多时候,H(t) 只在一段有限的时间内不为零,那么 cn(t) 也只在这段时间内变化,在其他时间不变。

   选择了基底后,就可以把薛定谔方程表示为矩阵的形式。把上式代入薛定谔方程(式 1 )得

(6)ncn(t)H0|n(t)+ncn(t)H(t)|n(t)=inc˙n(t)|n(t)+incn(t)ddt|n(t) .
考虑到
(7)H0|n(t)=iddt|n(t) ,
可化简为
(8)ncn(t)H(t)|n(t)=inc˙n(t)|n(t) .
要写成矩阵形式,两边左乘 m(t)|=eiEmt/m|(即要求每个分量相等),且令
(9)ωmn=EmEn ,
(10)H~mn(t)=m(t)|H(t)|n(t)=m|H(t)|neiωmnt/ ,
(11)nH~mn(t)cn(t)=iddtcm(t) .
写成矩阵形式为(对矢量求导即对每个分量分别求导
(12)H~c=iddtc ,
到此为止我们还没有做任何近似,该式和式 1 完全等效。

2. 含时微扰理论

预备知识 2 一阶不含时微扰理论

   若哈密顿算符中的势能包含时间,只有极少数情况下存在解析解。这时我们可以用含时微扰理论来近似求解。类比不含时微扰理论,我们引入一个常数 λ 来分离不同阶数的近似,最后只需令 λ=1 即可。理论上当阶数足够高且 H 足够弱时,近似解将会收敛到精确解。

   令哈密顿算符,系数矢量分别为

(13)H=H0+λH(t) ,
(14)c(t)=c(0)(t)+λc(1)(t)+λ2c(2)(t) 
式 12 变为
(15)λH~[c(0)(t)+λc(1)(t)+]=iddt[c(0)(t)+λc(1)(t)+] .
根据 λ 的阶数分离方程,得
(16)ddtc(0)(t)=0(0 阶近似) ,(17)ddtc(1)(t)=1iH~(t)c(0)(t)(1 阶近似) ,(18)ddtc(n)(t)=1iH~(t)c(n1)(t)n 阶近似) .

   为了求解各阶近似,我们假设 t=0 时只有 0 阶系数 c(0)(0) 不为零。若给出初始波函数 |ψ(0),可用 |n(0)=|n 展开得到 c(0)(0)式 16 说明零阶系数矢量为常数,所以零阶近似解就是 c(0)(t)=c(0)(0)。继续把 c(0)(t) 代入式 17 ,两边对时间从 0 到 t 定积分(矢量的积分即对每个分量分别积分)得

(19)c(1)(t)c(1)(0)=1i0tH~(t)c(0)(t)dt ,
代入 c(1)(0)=0c(0)(t)=c(0)(0),得一阶近似解为
(20)c(1)(t)=1i0tH~(t)c(0)(0)dt .
类似地,对式 18 积分,若已知 c(n1)(t),有
(21)c(n)(t)=1i0tH~(t)c(n1)(t)dt .
所以要想得到 n 阶近似解,积分 n 次即可。为了明确起见,式 21 的分量表达式为
(22)ci(n)(t)=1ij0ti|H(t)|jeiωijtcj(n1)(t)dt .

3. 简单的一阶微扰

   大多数情况下我们只使用一阶近似,一种简单且常见的情况是,若初态为 H0 的某个本征态 |j

(23)ci(1)(t)=1i0ti|H(t)|jeiωijtdt .
我们把 ci(t) 叫做跃迁幅(transition amplitude)。所以在一阶近似中,波函数在 t 时刻出现在 |i 的概率约为
(24)Pij(t)=|ci(1)(t)|2 ,
注意一阶微扰仅当 Pij1 时有效。

   在此基础上,一种更简单的情况是:如果 H(t) 中的时间函数可以分离出来

(25)H(t)=Wf(t) ,
其中 W 是一个不含时的算符
(26)Hij(t)=i|H|j=i|W|jf(t) ,
此时一阶微扰公式(式 20 )变为 f(t)反傅里叶变换。末态 |iij)的系数为
(27)ci(1)(t)=i|W|ji0tf(t)eiωijtdt .
f(t) 只在有限时间段不为零时,令 t+(或者 t 在波包 f(t) 结束以后)该积分就是 f(t)傅里叶变换 2πf~(ωij)
(28)ci(1)(+)=2πii|W|jf~(ωij) .
注意 H(t) 消失后,系数 ci 就不再随时间变化。


1. ^ 本文参考 [1]


[1] ^ David Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 4ed

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