含时微扰理论(束缚态)
贡献者: addis
1. 薛定谔方程的矩阵形式
1在讲微扰理论之前,我们先来看如何把含时薛定谔方程写为矩阵的形式。含时薛定谔方程的一般形式为
我们把哈密顿算符分为不含时部分 和含时部分
为简单起见我们暂时假设 只有离散的束缚,例如简谐振子。我们假设已经知道 的情况下含时薛定谔方程的通解:先解出对应的定态薛定谔方程的波函数 和能级 ,通解可表示为(式 8 )
注意其中 为常数,由初始波函数决定。我们可以定义一组
含时基底
注意任何时刻这组基底都正交归一,可用于展开
式 1 的解
由于基底并不是总哈密顿算符 的本征矢,系数需由常数拓展为时间的函数 。许多时候, 只在一段有限的时间内不为零,那么 也只在这段时间内变化,在其他时间不变。
选择了基底后,就可以把薛定谔方程表示为矩阵的形式。把上式代入薛定谔方程(式 1 )得
考虑到
可化简为
要写成矩阵形式,两边左乘 (即要求每个分量相等),且令
得
写成矩阵形式为(
对矢量求导即对每个分量分别求导)
到此为止我们还没有做任何近似,该式和
式 1 完全等效。
2. 含时微扰理论
若哈密顿算符中的势能包含时间,只有极少数情况下存在解析解。这时我们可以用含时微扰理论来近似求解。类比不含时微扰理论,我们引入一个常数 来分离不同阶数的近似,最后只需令 即可。理论上当阶数足够高且 足够弱时,近似解将会收敛到精确解。
令哈密顿算符,系数矢量分别为
式 12 变为
根据 的阶数分离方程,得
为了求解各阶近似,我们假设 时只有 0 阶系数 不为零。若给出初始波函数 ,可用 展开得到 。式 16 说明零阶系数矢量为常数,所以零阶近似解就是 。继续把 代入式 17 ,两边对时间从 0 到 定积分(矢量的积分即对每个分量分别积分)得
代入 ,,得一阶近似解为
类似地,对
式 18 积分,若已知 ,有
所以要想得到 阶近似解,积分 次即可。为了明确起见,
式 21 的分量表达式为
3. 简单的一阶微扰
大多数情况下我们只使用一阶近似,一种简单且常见的情况是,若初态为 的某个本征态
我们把 叫做
跃迁幅(transition amplitude)。所以在一阶近似中,波函数在 时刻出现在 的概率约为
注意一阶微扰仅当 时有效。
在此基础上,一种更简单的情况是:如果 中的时间函数可以分离出来
其中 是一个不含时的算符
此时一阶微扰公式(
式 20 )变为 的
反傅里叶变换。末态 ()的系数为
当 只在有限时间段不为零时,令 (或者 在波包 结束以后)该积分就是 的
傅里叶变换 。
注意 消失后,系数 就不再随时间变化。
1. ^ 本文参考 [1]。
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 4ed
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