三维直角坐标系中的亥姆霍兹方程

贡献者：零穹; addis

预备知识　一维齐次亥姆霍兹方程，分离变量法解偏微分方程

　　三维直角坐标系中的亥姆霍兹方程为

\begin{matrix} (1) & \nabla^{2} u + k^{2} u = 0 . \end{matrix}

这里，

k

为常实数。

1. 通解

　　使用分离变量法进行求解，令

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} u (x, y, z) = X (x) Y (y) Z (z) \\ k^{2} = k_{x}^{2} + k_{y}^{2} + k_{z}^{2} . \end{aligned} \end{matrix}

于是方程分解为 3 个独立的一维齐次亥姆霍兹方程

\begin{matrix} (3) & \begin{array}{r} \frac{d^{2} X}{d x^{2}} + k_{x}^{2} X = 0 \\ \frac{d^{2} Y}{d y^{2}} + k_{y}^{2} Y = 0 \\ \frac{d^{2} X}{d x^{2}} + k_{x}^{2} Z = 0 . \end{array} \end{matrix}

由式 5 ，其实数解分别为

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} X (x) = C_{1} \cos k_{x} x + C_{1}^{'} \sin k_{x} x \\ Y (y) = C_{2} \cos k_{y} y + C_{2}^{'} \sin k_{y} y \\ Z (z) = C_{3} \cos k_{z} z + C_{3}^{'} \sin k_{z} z . \end{aligned} \end{matrix}

这里，

C_{i}, C_{i}^{'}

为常实数。由式 2 ，得式 1 的通解

\begin{matrix} (5) & u (x, y, z) = (C_{1} \cos k_{x} x + C_{1}^{'} \sin k_{x} x) (C_{2} \cos k_{y} y + C_{2}^{'} \sin k_{y} y) (C_{3} \cos k_{z} z + C_{3}^{'} \sin k_{z} z) . \end{matrix}

例 1　矩形波导中的电磁波

图 1：矩形波导

　　在高频电力系统中，为解决电磁波向外辐射的损耗以及与环境的干扰问题，常常采用波导进行电磁波的传输，波导是一根空心金属管，截面通常为矩形或圆形。如图 1 是一矩形波导，其长宽为 $a, b$ ，以长边为 $x$ 方向，短边为 $y$ 方向； $z$ 轴沿传播方向。由式 3 ，波导内电磁波满足亥姆霍兹方程式 1 ，此时，应以 $E, H$ 代替 $u$ ，我们以计算 $E$ 进行说明，读者可对 $H$ 进行类比。注意电磁波沿 $z$ 轴传播，电场应取

\begin{matrix} (6) & E (x, y, z) = E (x, y) e^{i k_{z} z} . \end{matrix}

　　由刚刚已证明的亥姆霍兹方程的通解式 5 ，并注意现在分离变量不含 $z$ ,易知电场的任一直角分量 $u (x, y)$ 有通解

\begin{matrix} (7) & u (x, y) = (C_{1} \cos k_{x} x + C_{1}^{'} \sin k_{x} x) (C_{2} \cos k_{y} y + C_{2}^{'} \sin k_{y} y) . \end{matrix}

　　而边界条件为

\begin{matrix} (8) & \begin{array}{r} E_{y} = E_{z} = 0, \frac{\partial E_{x}}{\partial x} = 0 (x = 0, a) \\ E_{x} = E_{z} = 0, \frac{\partial E_{y}}{\partial y} = 0 (y = 0, b) . \end{array} \end{matrix}

由

x = 0

和

y = 0

面上的边界条件，得

\begin{matrix} (9) & \begin{array}{r} E_{x} = A \cos k_{x} x \sin k_{y} y e^{i k_{z} z}, \\ E_{x} = B \sin k_{x} x \cos k_{y} y e^{i k_{z} z}, \\ E_{x} = C \sin k_{x} x \sin k_{y} y e^{i k_{z} z} . \end{array} \end{matrix}

　　由 $x = a$ 和 $y = b$ 面上的边界条件，得

\begin{matrix} (10) & k_{x} = \frac{m π}{a}, k_{y} = \frac{m π}{b} (m, n = 0, 1, 2, 3, \dots) . \end{matrix}

注意

\nabla^{2} \cdot E = 0

，得

\begin{matrix} (11) & k_{x} A + k_{y} B + i k_{z} C = 0 . \end{matrix}

因此，

A, B, C

中只有两个是独立的。对于每一组

(m, n)

，有两种独立波模。

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三维直角坐标系中的亥姆霍兹方程

1. 通解

例 1 矩形波导中的电磁波

例 1　矩形波导中的电磁波