三维直角坐标系中的亥姆霍兹方程

             

预备知识 一维齐次亥姆霍兹方程,分离变量法解偏微分方程

   三维直角坐标系中的亥姆霍兹方程为

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 u+k^2u=0 \end{equation}
这里,$k$ 为常实数.

1. 通解

   使用分离变量法进行求解,令

\begin{equation} \begin{aligned} &u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)\\ &k^2=k_x^2+k_y^2+k_z^2 \end{aligned} \end{equation}
于是方程分解为 3 个独立的一维齐次亥姆霍兹方程
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^{2}{X}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +k_x^2X=0\\ \frac{\mathrm{d}^{2}{Y}}{\mathrm{d}{y}^{2}} +k_y^2Y=0\\ \frac{\mathrm{d}^{2}{X}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +k_x^2Z=0 \end{aligned} \end{equation}
式 5 ,其实数解分别为
\begin{equation} \begin{aligned} &X(x)=C_1\cos k_xx+C_1'\sin k_xx\\ &Y(y)=C_2\cos k_yy+C_2'\sin k_yy\\ &Z(z)=C_3\cos k_zz+C_3'\sin k_zz \end{aligned} \end{equation}
这里,$C_i,C_i'$ 为常实数.由式 2 ,得式 1 的通解
\begin{equation} u(x,y,z)=(C_1\cos k_xx+C_1'\sin k_xx)(C_2\cos k_yy+C_2'\sin k_yy)(C_3\cos k_zz+C_3'\sin k_zz) \end{equation}

例 1 矩形波导中的电磁波

图
图 1:矩形波导

   在高频电力系统中,为解决电磁波向外辐射的损耗以及与环境的干扰问题,常常采用波导进行电磁波的传输,波导是一根空心金属管,截面通常为矩形或圆形.如图 1 是一矩形波导,其长宽为 $a,b$,以长边为 $x$ 方向,短边为 $y$ 方向;$z$ 轴沿传播方向.由式 3 ,波导内电磁波满足亥姆霍兹方程式 1 ,此时,应以 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 代替 $u$,我们以计算 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 进行说明,读者可对 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 进行类比.注意电磁波沿 $z$ 轴传播,电场应取

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} (x,y,z)= \boldsymbol{\mathbf{E}} (x,y) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_z z} \end{equation}

   由刚刚已证明的亥姆霍兹方程的通解式 5 ,并注意现在分离变量不含 $z$ ,易知电场的任一直角分量 $u(x,y)$ 有通解

\begin{equation} u(x,y)=(C_1\cos k_xx+C_1'\sin k_xx)(C_2\cos k_yy+C_2'\sin k_yy) \end{equation}

   而边界条件为

\begin{equation} \begin{aligned} E_y=E_z=0, \frac{\partial E_x}{\partial x} =0\quad(x=0,a)\\ E_x=E_z=0, \frac{\partial E_y}{\partial y} =0\quad(y=0,b) \end{aligned} \end{equation}
由 $x=0$ 和 $y=0$ 面上的边界条件,得
\begin{equation} \begin{aligned} E_x=A\cos k_x x\sin k_yy \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_zz} \\ E_x=B\sin k_x x\cos k_yy \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_zz} \\ E_x=C\sin k_x x\sin k_yy \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_zz} \end{aligned} \end{equation}

   由 $x=a$ 和 $y=b$ 面上的边界条件,得

\begin{equation} k_x=\frac{m\pi}{a},\quad k_y=\frac{m\pi}{b}\quad(m,n=0,1,2,3,\cdots) \end{equation}
注意 $ \boldsymbol{\nabla}^2 \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} =0$,得
\begin{equation} k_xA+k_yB+ \mathrm{i} k_zC=0 \end{equation}
因此,$A,B,C$ 中只有两个是独立的.对于每一组 $(m,n)$,有两种独立波模.

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