三维直角坐标系中的亥姆霍兹方程

贡献者：零穹; addis

预备知识　一维齐次亥姆霍兹方程，分离变量法解偏微分方程

　　三维直角坐标系中的亥姆霍兹方程为

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 u+k^2u=0~. \end{equation}

这里，$k$ 为常实数。

1. 通解

　　使用分离变量法进行求解，令

\begin{equation} \begin{aligned} &u(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)\\ &k^2=k_x^2+k_y^2+k_z^2~. \end{aligned} \end{equation}

于是方程分解为 3 个独立的一维齐次亥姆霍兹方程

\begin{equation} \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^{2}{X}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +k_x^2X=0\\ \frac{\mathrm{d}^{2}{Y}}{\mathrm{d}{y}^{2}} +k_y^2Y=0\\ \frac{\mathrm{d}^{2}{X}}{\mathrm{d}{x}^{2}} +k_x^2Z=0~. \end{aligned} \end{equation}

由式 5 ，其实数解分别为

\begin{equation} \begin{aligned} &X(x)=C_1\cos k_xx+C_1'\sin k_xx\\ &Y(y)=C_2\cos k_yy+C_2'\sin k_yy\\ &Z(z)=C_3\cos k_zz+C_3'\sin k_zz~. \end{aligned} \end{equation}

这里，$C_i,C_i'$ 为常实数。由式 2 ，得式 1 的通解

\begin{equation} u(x,y,z)=(C_1\cos k_xx+C_1'\sin k_xx)(C_2\cos k_yy+C_2'\sin k_yy)(C_3\cos k_zz+C_3'\sin k_zz)~. \end{equation}

例 1　矩形波导中的电磁波

图 1：矩形波导

　　在高频电力系统中，为解决电磁波向外辐射的损耗以及与环境的干扰问题，常常采用波导进行电磁波的传输，波导是一根空心金属管，截面通常为矩形或圆形。如图 1 是一矩形波导，其长宽为 $a,b$，以长边为 $x$ 方向，短边为 $y$ 方向；$z$ 轴沿传播方向。由式 3 ，波导内电磁波满足亥姆霍兹方程式 1 ，此时，应以 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} , \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 代替 $u$，我们以计算 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 进行说明，读者可对 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 进行类比。注意电磁波沿 $z$ 轴传播，电场应取

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{E}} (x,y,z)= \boldsymbol{\mathbf{E}} (x,y) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_z z}~. \end{equation}

　　由刚刚已证明的亥姆霍兹方程的通解式 5 ，并注意现在分离变量不含 $z$ ,易知电场的任一直角分量 $u(x,y)$ 有通解

\begin{equation} u(x,y)=(C_1\cos k_xx+C_1'\sin k_xx)(C_2\cos k_yy+C_2'\sin k_yy)~. \end{equation}

　　而边界条件为

\begin{equation} \begin{aligned} E_y=E_z=0, \frac{\partial E_x}{\partial x} =0\quad(x=0,a)\\ E_x=E_z=0, \frac{\partial E_y}{\partial y} =0\quad(y=0,b)~. \end{aligned} \end{equation}

由 $x=0$ 和 $y=0$ 面上的边界条件，得

\begin{equation}\begin{aligned} E_x=A\cos k_x x\sin k_yy \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_zz}~, \\ E_x=B\sin k_x x\cos k_yy \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_zz}~, \\ E_x=C\sin k_x x\sin k_yy \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} k_zz}~. \end{aligned}\end{equation}

　　由 $x=a$ 和 $y=b$ 面上的边界条件，得

\begin{equation} k_x=\frac{m\pi}{a},\quad k_y=\frac{m\pi}{b}\quad(m,n=0,1,2,3,\cdots)~. \end{equation}

注意 $ \boldsymbol{\nabla}^2 \cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} =0$，得

\begin{equation} k_xA+k_yB+ \mathrm{i} k_zC=0~. \end{equation}

因此，$A,B,C$ 中只有两个是独立的。对于每一组 $(m,n)$，有两种独立波模。

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三维直角坐标系中的亥姆霍兹方程

1. 通解

例 1 矩形波导中的电磁波

例 1　矩形波导中的电磁波