柱坐标中的亥姆霍兹方程

                     

贡献者: addis

  • 本文处于草稿阶段。
预备知识 亥姆霍兹方程,柱坐标系中的拉普拉斯方程

   亥姆霍兹方程为

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 u = -k^2 u~, \end{equation}

   将柱坐标系中的拉普拉斯方程右边加上一项得到亥姆霍兹方程。

\begin{equation} \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial u}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{\theta}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{z}^{2}} = -k^2 u~. \end{equation}
使用分离变量法,令 $u = R(r) \Phi(\theta) Z(z)$,代入方程得
\begin{equation} \frac{1}{rR} \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial R}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \Phi} \frac{\partial^{2}{\Phi}}{\partial{\theta}^{2}} + \frac{1}{Z} \frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{z}^{2}} = -k^2~. \end{equation}
$\Theta(\theta)$ 和 $Z(z)$ 的常微分方程和解与拉普拉斯方程中的相同
\begin{equation} \frac{1}{Z} \frac{\partial^{2}{Z}}{\partial{z}^{2}} = l^2 \qquad \frac{1}{\Phi} \frac{\mathrm{d}^{2}{\Phi}}{\mathrm{d}{\theta}^{2}} = -m^2~. \end{equation}
径向方程变为
\begin{equation} r \frac{\partial}{\partial{r}} \left(r \frac{\partial R}{\partial r} \right) + [(l^2 + k^2)r^2 - m^2]R = 0~. \end{equation}
令 $x = \sqrt{l^2 + k^2}r$ 以及 $u(x) = R(r)$,做变量替换得
\begin{equation} x \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \left(x \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \right) + (x^2 - m^2)y = 0~. \end{equation}
与拉普拉斯方程的情况(式 10 )一样,我们得到了贝塞尔方程(式 1 )。但注意 $x, r$ 之间的缩放比例取也取决于 $k^2$。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利