序列的极限(数学分析)

                     

贡献者: DTSIo; _Eden_; addis; Giacomo

  • 内容有重复,需要删减。单调收敛定理的内容与别的文章重叠,需要删减。
预备知识 极限,实数集的拓扑

1. 基本定义解析

   序列的极限是分析数学中最基本的定义。文章 数列的极限(简明微积分)极限 已经给出了一些序列极限的例子,它的形式定义以及背后的直观解释。为完整起见,这里再重复一次序列极限的定义:

定义 1 数列的极限

   考虑数列 {an}。若存在一个实数 A,使得对于任意给定的正实数 ε>0(无论它有多么小),总存在正整数 Nϵ,使得对于所有编号 n>Nε,都有 |anA|<ε 成立,那么数列 an 的极限就是 A

   将 “数列 {an} 的极限是 A” 表示为 limnan=A

   正如之前两篇文章所解释的,等式 limnan=A 所表达的含义是"序列 an 随着 n 的增大将可以任意地接近 A". 或者说,对于序列 {an} 进行极限运算,就是要找到"序列 an 越来越接近的那个数". 这种运算显然跟实数的四则运算不一样。

   有极限的序列常常称为收敛(convergent)的。如果没有极限,则序列称为发散(divergent)的。

图
图 1:序列极限的示意图

例 1 求基本极限

   证明limn12n=0 .

   在给出严格证明之前,首先来看看序列 {2n} 到底能够多么接近零。直观上,我们知道它衰减的速度非常快,例如第四项 24=0.0625, 而第八项已经是 28=0.00390625. 相比之下,倒数序列 {1/n} 的第四项只是 1/4=0.25, 第八项只是 1/8=0.125. 因此,即便不借助对数运算,也可以说明序列 {2n} 会逐渐接近于零。

   转向严格证明。首先注意到初等的不等式 2n>n 对于任何整数 n1 都成立; 这可以使用数学归纳法得到。因此,给定一个误差 ε>0 之后,要使得 2n 同零的误差不大于 ε, 只需要 1/n 同零的误差不大于 ε 就够了,而为了达到这一点,只要 n>1/ε 就够了。因此,只要取脚码 Nε=[1ε]+1 , 即可保证当 n>Nε 时有 2n<ε.

   当然,直观上容易看出,序列 {2n} 衰减得比倒数序列 {1/n} 要快多了。上面的证明当然远远不是最精确的。为了刻画一个有极限的序列 {an} 收敛的速度,可以考虑如下问题:给定了一个误差 ε>0 之后,为了使得 |anA|<ε 能够一直成立,脚码 n 至少得是多大?与此相关的概念正是无穷小的阶。

2. 基本性质

   序列的极限运算有如下基本性质:

定理 1 极限的基本性质

  • 序列的极限若存在,则必定是唯一的。
  • 极限运算保持序关系:如果 limnan=A, limnbn=B, 而且从某个 n 开始有 anbn, 那么必然有 AB.
  • limnan=A, limnbn=B, 则序列 {an±bn}{anbn} 都有极限,且 limnan±bn=A±B, limnanbn=AB.
  • limnan=A, limnbn=B0, 则 limnanbn=AB .

   例如我们在计算 {n+1n+2} 的极限时,可以将它拆成两个序列之和:{1}{1n+2}。容易证明第一个序列的极限为 1,第二个序列的极限为 0,那么两个序列之和的极限存在,且为 1

   下面我们将序列极限的性质一一道来。

定义 2 有界性

   设 {xn} 是一个序列。若 M>0n,有 |xn|M 成立,则称 {xn}有界的

   显然以上定义等价于数集 {xn} 是一个有界集。

   若一个序列 {xn} 是有界的,则记为 xn=O(1) (n)。若存在 M2>M1>0 和正整数 N,使得当 n>N 时,有 M1<|xn|<M2,则以 xn=Oo(1) 表示之。

定理 2 收敛序列的有界性

  1. 收敛序列是有界的。
  2. 收敛序列的极限是唯一的。

   以序列极限的唯一性为例,它可以用反证法来证明。假设收敛序列存在两个极限 ab,即 limnxn=alimnxn=bab。不失一般性,不妨设 a<b。现在取 ϵ0=(ba)/2,则由极限定义知,存在正整数 N1N2,使得:

(1)|xna|<ϵ0(n>N1)|xnb|<ϵ0(n>N2) .
N=max{N1,N2},则当 n>N 时,上述两个不等式都成立。那么
(2)xN+1<a+ϵ0=(a+b)/2 ,xN+2>bϵ0=(a+b)/2 
导致矛盾。所以原命题成立。

定理 3 保序性

   给定两个序列 {xn}{yn},并且假定

(3)limnxn=a ,    limnyn=b,
则有:

  1. a<b,则对任意给定的 c(a,b)N0>0,使得当 n>N0 时,有 xn<c<yn
  2. N0>0,当 n>N0 时,有 xnyn,则 ab。(注意逆命题不一定成立)

习题 1 

   构造两个序列 {xn},{yn},使得 limnxnlimnyn,但 n>0,xn>yn

定理 4 极限的四则运算

   设 limnxn=a, limnyn=b,则

   1. limn(xn+yn)=a+b,  limn(xnyn)=ab

   2. limn(xnyn)=ab

   3. limn(xn/yn)=a/b,其中 b0, yn0

习题 2 

   若 limnxn=1;序列 {yn} 的元素是整数。那么序列 {xnyn} 的极限是否一定存在?请举一个 {xnyn} 的极限存在且不为 1 的例子。

定理 5 夹逼收敛定理

   设序列 {xn}, {yn}{zn} 满足 xnznyn, n>N0。 若 limnxn=limnyn=a,则 limnzn=a

   下面我们要介绍的是单调收敛原理。从直观上看,如果一个序列单调递增且不会趋于无穷大,那么它应该是有上确界的。其证明用到了确界存在定理

定理 6 单调收敛原理

   若序列 {xn} 单调递增且有上界,则序列收敛于 sup{xn}。 若序列 {xn} 单调递减且有下界,则序列收敛于 inf{xn}

   示意图如图 1


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