序列的极限(数学分析)
贡献者: DTSIo; _Eden_; addis; Giacomo
- 内容有重复,需要删减。单调收敛定理的内容与别的文章重叠,需要删减。
1. 基本定义解析
序列的极限是分析数学中最基本的定义。文章 数列的极限(简明微积分)和 极限 已经给出了一些序列极限的例子,它的形式定义以及背后的直观解释。为完整起见,这里再重复一次序列极限的定义:
定义 1 数列的极限
考虑数列 。若存在一个实数 ,使得对于任意给定的正实数 (无论它有多么小),总存在正整数 ,使得对于所有编号 ,都有 成立,那么数列 的极限就是 。
将 “数列 的极限是 ” 表示为 。
正如之前两篇文章所解释的,等式 所表达的含义是"序列 随着 的增大将可以任意地接近 ". 或者说,对于序列 进行极限运算,就是要找到"序列 越来越接近的那个数". 这种运算显然跟实数的四则运算不一样。
有极限的序列常常称为收敛(convergent)的。如果没有极限,则序列称为发散(divergent)的。
图 1:序列极限的示意图
例 1 求基本极限
证明
在给出严格证明之前,首先来看看序列 到底能够多么接近零。直观上,我们知道它衰减的速度非常快,例如第四项 , 而第八项已经是 . 相比之下,倒数序列 的第四项只是 , 第八项只是 . 因此,即便不借助对数运算,也可以说明序列 会逐渐接近于零。
转向严格证明。首先注意到初等的不等式 对于任何整数 都成立; 这可以使用数学归纳法得到。因此,给定一个误差 之后,要使得 同零的误差不大于 , 只需要 同零的误差不大于 就够了,而为了达到这一点,只要 就够了。因此,只要取脚码
即可保证当 时有 .
当然,直观上容易看出,序列 衰减得比倒数序列 要快多了。上面的证明当然远远不是最精确的。为了刻画一个有极限的序列 收敛的速度,可以考虑如下问题:给定了一个误差 之后,为了使得 能够一直成立,脚码 至少得是多大?与此相关的概念正是无穷小的阶。
2. 基本性质
序列的极限运算有如下基本性质:
定理 1 极限的基本性质
- 序列的极限若存在,则必定是唯一的。
- 极限运算保持序关系:如果 , , 而且从某个 开始有 , 那么必然有 .
- 设 , , 则序列 和 都有极限,且 , .
- 设 , , 则
例如我们在计算 的极限时,可以将它拆成两个序列之和: 和 。容易证明第一个序列的极限为 ,第二个序列的极限为 ,那么两个序列之和的极限存在,且为 。
下面我们将序列极限的性质一一道来。
定义 2 有界性
设 是一个序列。若 ,,有 成立,则称 是有界的。
显然以上定义等价于数集 是一个有界集。
若一个序列 是有界的,则记为 。若存在 和正整数 ,使得当 时,有 ,则以 表示之。
定理 2 收敛序列的有界性
- 收敛序列是有界的。
- 收敛序列的极限是唯一的。
以序列极限的唯一性为例,它可以用反证法来证明。假设收敛序列存在两个极限 和 ,即 且 且 。不失一般性,不妨设 。现在取 ,则由极限定义知,存在正整数 和 ,使得:
令 ,则当 时,上述两个不等式都成立。那么
导致矛盾。所以原命题成立。
定理 3 保序性
给定两个序列 和 ,并且假定
则有:
- 若 ,则对任意给定的 ,,使得当 时,有 ;
- 若 ,当 时,有 ,则 。(注意逆命题不一定成立)
定理 4 极限的四则运算
设 ,则
1. ;
2. ;
3. ,其中 。
习题 2
若 ;序列 的元素是整数。那么序列 的极限是否一定存在?请举一个 的极限存在且不为 的例子。
定理 5 夹逼收敛定理
设序列 , 和 满足 。
若 ,则 。
下面我们要介绍的是单调收敛原理。从直观上看,如果一个序列单调递增且不会趋于无穷大,那么它应该是有上确界的。其证明用到了确界存在定理。
定理 6 单调收敛原理
若序列 单调递增且有上界,则序列收敛于 。
若序列 单调递减且有下界,则序列收敛于 。
示意图如图 1 。
致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者
热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。