序列的极限（数学分析）

贡献者： DTSIo; _Eden_; addis; Giacomo

内容有重复，需要删减。单调收敛定理的内容与别的文章重叠，需要删减。

预备知识　极限，实数集的拓扑

1. 基本定义解析

　　序列的极限是分析数学中最基本的定义。文章数列的极限（简明微积分）和极限已经给出了一些序列极限的例子，它的形式定义以及背后的直观解释。为完整起见，这里再重复一次序列极限的定义：

定义 1　数列的极限

　　考虑数列 ${a_{n}}$ 。若存在一个实数 $A$ ，使得对于任意给定的正实数 $ε > 0$ （无论它有多么小），总存在正整数 $N_{ϵ}$ ，使得对于所有编号 $n > N_{ε}$ ，都有 $| a_{n} - A | < ε$ 成立，那么数列 $a_{n}$ 的极限就是 $A$ 。

　　将 “数列 ${a_{n}}$ 的极限是 $A$ ” 表示为 $lim_{n \to \infty} a_{n} = A$ 。

　　正如之前两篇文章所解释的，等式 $lim_{n \to \infty} a_{n} = A$ 所表达的含义是"序列 $a_{n}$ 随着 $n$ 的增大将可以任意地接近 $A$ ". 或者说，对于序列 ${a_{n}}$ 进行极限运算，就是要找到"序列 $a_{n}$ 越来越接近的那个数". 这种运算显然跟实数的四则运算不一样。

　　有极限的序列常常称为收敛（convergent）的。如果没有极限，则序列称为发散（divergent）的。

图 1：序列极限的示意图

例 1　求基本极限

　　证明 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} = 0 .$

　　在给出严格证明之前，首先来看看序列 ${2^{- n}}$ 到底能够多么接近零。直观上，我们知道它衰减的速度非常快，例如第四项 $2^{- 4} = 0.0625$ , 而第八项已经是 $2^{- 8} = 0.00390625$ . 相比之下，倒数序列 ${1 / n}$ 的第四项只是 $1 / 4 = 0.25$ , 第八项只是 $1 / 8 = 0.125$ . 因此，即便不借助对数运算，也可以说明序列 ${2^{- n}}$ 会逐渐接近于零。

　　转向严格证明。首先注意到初等的不等式 $2^{n} > n$ 对于任何整数 $n \geq 1$ 都成立; 这可以使用数学归纳法得到。因此，给定一个误差 $ε > 0$ 之后，要使得 $2^{- n}$ 同零的误差不大于 $ε$ , 只需要 $1 / n$ 同零的误差不大于 $ε$ 就够了，而为了达到这一点，只要 $n > 1 / ε$ 就够了。因此，只要取脚码 $N_{ε} = [\frac{1}{ε}] + 1,$ 即可保证当 $n > N_{ε}$ 时有 $2^{- n} < ε$ .

　　当然，直观上容易看出，序列 ${2^{- n}}$ 衰减得比倒数序列 ${1 / n}$ 要快多了。上面的证明当然远远不是最精确的。为了刻画一个有极限的序列 ${a_{n}}$ 收敛的速度，可以考虑如下问题：给定了一个误差 $ε > 0$ 之后，为了使得 $| a_{n} - A | < ε$ 能够一直成立，脚码 $n$ 至少得是多大？与此相关的概念正是无穷小的阶。

2. 基本性质

　　序列的极限运算有如下基本性质：

定理 1　极限的基本性质

序列的极限若存在，则必定是唯一的。
极限运算保持序关系：如果 $lim_{n \to \infty} a_{n} = A$ , $lim_{n \to \infty} b_{n} = B$ , 而且从某个 $n$ 开始有 $a_{n} \geq b_{n}$ , 那么必然有 $A \geq B$ .
设 $lim_{n \to \infty} a_{n} = A$ , $lim_{n \to \infty} b_{n} = B$ , 则序列 ${a_{n} \pm b_{n}}$ 和 ${a_{n} b_{n}}$ 都有极限，且 $lim_{n \to \infty} a_{n} \pm b_{n} = A \pm B$ , $lim_{n \to \infty} a_{n} b_{n} = A B$ .
设 $lim_{n \to \infty} a_{n} = A$ , $lim_{n \to \infty} b_{n} = B \neq 0$ , 则 $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}} = \frac{A}{B} .$

　　例如我们在计算 ${\frac{n + 1}{n + 2}}$ 的极限时，可以将它拆成两个序列之和： ${1}$ 和 ${- \frac{1}{n + 2}}$ 。容易证明第一个序列的极限为 $1$ ，第二个序列的极限为 $0$ ，那么两个序列之和的极限存在，且为 $1$ 。

　　下面我们将序列极限的性质一一道来。

定义 2　有界性

　　设 ${x_{n}}$ 是一个序列。若 $\exists M > 0$ ， $\forall n$ ，有 $| x_{n} | \leq M$ 成立，则称 ${x_{n}}$ 是有界的。

　　显然以上定义等价于数集 ${x_{n}}$ 是一个有界集。

　　若一个序列 ${x_{n}}$ 是有界的，则记为 $x_{n} = O (1) (n \to \infty)$ 。若存在 $M_{2} > M_{1} > 0$ 和正整数 $N$ ，使得当 $n > N$ 时，有 $M_{1} < | x_{n} | < M_{2}$ ，则以 $x_{n} = O_{o} (1)$ 表示之。

定理 2　收敛序列的有界性

收敛序列是有界的。
收敛序列的极限是唯一的。

　　以序列极限的唯一性为例，它可以用反证法来证明。假设收敛序列存在两个极限 $a$ 和 $b$ ，即 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a$ 且 $lim_{n \to \infty} x_{n} = b$ 且 $a \neq b$ 。不失一般性，不妨设 $a < b$ 。现在取 $ϵ_{0} = (b - a) / 2$ ，则由极限定义知，存在正整数 $N_{1}$ 和 $N_{2}$ ，使得：

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} | x_{n} - a | < ϵ_{0} & (\forall n > N_{1}) \\ | x_{n} - b | < ϵ_{0} & (\forall n > N_{2}) . \end{aligned} \end{matrix}

令

N = max {N_{1}, N_{2}}

，则当

n > N

时，上述两个不等式都成立。那么

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} x_{N + 1} < a + ϵ_{0} = (a + b) / 2, \\ x_{N + 2} > b - ϵ_{0} = (a + b) / 2 \end{aligned} \end{matrix}

导致矛盾。所以原命题成立。

定理 3　保序性

　　给定两个序列 ${x_{n}}$ 和 ${y_{n}}$ ，并且假定

\begin{matrix} (3) & lim_{n \to \infty} x_{n} = a, lim_{n \to \infty} y_{n} = b, \end{matrix}

则有：

若 $a < b$ ，则对任意给定的 $c \in (a, b)$ ， $\exists N_{0} > 0$ ，使得当 $n > N_{0}$ 时，有 $x_{n} < c < y_{n}$ ；
若 $\exists N_{0} > 0$ ，当 $n > N_{0}$ 时，有 $x_{n} \leq y_{n}$ ，则 $a \leq b$ 。（注意逆命题不一定成立）

习题 1　

　　构造两个序列 ${x_{n}}, {y_{n}}$ ，使得 $lim_{n \to \infty} x_{n} \leq lim_{n \to \infty} y_{n}$ ，但 $\forall n > 0, x_{n} > y_{n}$ 。

定理 4　极限的四则运算

　　设 $lim_{n \to \infty} x_{n} = a, lim_{n \to \infty} y_{n} = b$ ，则

　　 1. $lim_{n \to \infty} (x_{n} + y_{n}) = a + b, lim_{n \to \infty} (x_{n} - y_{n}) = a - b$ ；

　　 2. $lim_{n \to \infty} (x_{n} y_{n}) = a b$ ；

　　 3. $lim_{n \to \infty} (x_{n} / y_{n}) = a / b$ ，其中 $b \neq 0, y_{n} \neq 0$ 。

习题 2　

　　若 $lim_{n \to \infty} x_{n} = 1$ ；序列 ${y_{n}}$ 的元素是整数。那么序列 ${x_{n}^{y_{n}}}$ 的极限是否一定存在？请举一个 ${x_{n}^{y_{n}}}$ 的极限存在且不为 $1$ 的例子。

定理 5　夹逼收敛定理

　　设序列 ${x_{n}}$ , ${y_{n}}$ 和 ${z_{n}}$ 满足 $x_{n} \leq z_{n} \leq y_{n}, \forall n > N_{0}$ 。若 $lim_{n \to \infty} x_{n} = lim_{n \to \infty} y_{n} = a$ ，则 $lim_{n \to \infty} z_{n} = a$ 。

　　下面我们要介绍的是单调收敛原理。从直观上看，如果一个序列单调递增且不会趋于无穷大，那么它应该是有上确界的。其证明用到了确界存在定理。

定理 6　单调收敛原理

　　若序列 ${x_{n}}$ 单调递增且有上界，则序列收敛于 $sup {x_{n}}$ 。若序列 ${x_{n}}$ 单调递减且有下界，则序列收敛于 $inf {x_{n}}$ 。

　　示意图如图 1 。

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序列的极限（数学分析）

1. 基本定义解析

定义 1 数列的极限

例 1 求基本极限

2. 基本性质

定理 1 极限的基本性质

定义 2 有界性

定理 2 收敛序列的有界性

定理 3 保序性

习题 1

定理 4 极限的四则运算

习题 2

定理 5 夹逼收敛定理

定理 6 单调收敛原理

定义 1　数列的极限

例 1　求基本极限

定理 1　极限的基本性质

定义 2　有界性

定理 2　收敛序列的有界性

定理 3　保序性

习题 1　

定理 4　极限的四则运算

习题 2　

定理 5　夹逼收敛定理

定理 6　单调收敛原理