序列的极限

             

贡献者: DTSIo; addis; _Eden_

  • 内容有重复,需要删减.单调收敛定理的内容与别的词条重叠,需要删减.
预备知识 极限,实数集的拓扑

1. 基本定义解析

   序列的极限是分析数学中最基本的定义.词条 数列的极限(简明微积分) 和 极限 已经给出了一些序列极限的例子,它的形式定义以及背后的直观解释.为完整起见,这里再重复一次序列极限的定义:

定义 1 数列的极限

   考虑数列 $\{a_n\}$.若存在一个实数 $A$,使得对于任意给定的正实数 $\varepsilon > 0$(无论它有多么小),总存在正整数 $N_\epsilon$,使得对于所有编号 $n > N_\varepsilon$,都有 $ \left\lvert a_n - A \right\rvert < \varepsilon$ 成立,那么数列 $a_n$ 的极限就是 $A$.

   将 “数列 $\{a_n\}$ 的极限是 $A$” 表示为 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$.

   正如之前两个词条所解释的,等式 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$ 所表达的含义是"序列 $a_n$ 随着 $n$ 的增大将可以任意地接近 $A$". 或者说,对于序列 $\{a_n\}$ 进行极限运算,就是要找到"序列 $a_n$ 越来越接近的那个数". 这种运算显然跟实数的四则运算不一样.

   有极限的序列常常称为收敛(convergent)的.如果没有极限,则序列称为发散(divergent)的.

图
图 1:序列极限的示意图

例 1 求基本极限

   证明$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{2^n}=0.$$

   在给出严格证明之前,首先来看看序列 $\{2^{-n}\}$ 到底能够多么接近零.直观上,我们知道它衰减的速度非常快,例如第四项 $2^{-4}=0.0625$, 而第八项已经是 $2^{-8}=0.00390625$. 相比之下,倒数序列 $\{1/n\}$ 的第四项只是 $1/4=0.25$, 第八项只是 $1/8=0.125$. 因此,即便不借助对数运算,也可以说明序列 $\{2^{-n}\}$ 会逐渐接近于零.

   转向严格证明.首先注意到初等的不等式 $2^n > n$ 对于任何整数 $n\geq1$ 都成立; 这可以使用数学归纳法得到.因此,给定一个误差 $\varepsilon > 0$ 之后,要使得 $2^{-n}$ 同零的误差不大于 $\varepsilon$, 只需要 $1/n$ 同零的误差不大于 $\varepsilon$ 就够了,而为了达到这一点,只要 $n > 1/\varepsilon$ 就够了.因此,只要取脚码 $$ N_\varepsilon=\left[\frac{1}{\varepsilon}\right]+1, $$ 即可保证当 $n > N_\varepsilon$ 时有 $2^{-n} < \varepsilon$.

   当然,直观上容易看出,序列 $\{2^{-n}\}$ 衰减得比倒数序列 $\{1/n\}$ 要快多了.上面的证明当然远远不是最精确的.为了刻画一个有极限的序列 $\{a_n\}$ 收敛的速度,可以考虑如下问题:给定了一个误差 $\varepsilon > 0$ 之后,为了使得 $|a_n-A| < \varepsilon$ 能够一直成立,脚码 $n$ 至少得是多大?与此相关的概念正是无穷小的阶.

2. 基本性质

   序列的极限运算有如下基本性质:

定理 1 极限的基本性质

  • 序列的极限若存在,则必定是唯一的.
  • 极限运算保持序关系:如果 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$, $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$, 而且从某个 $n$ 开始有 $a_n\geq b_n$, 那么必然有 $A\geq B$.
  • 设 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$, $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B$, 则序列 $\{a_n\pm b_n\}$ 和 $\{a_n b_n\}$ 都有极限,且 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n\pm b_n=A\pm B$, $\lim\limits_{n\to\infty}a_nb_n=AB$.
  • 设 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=A$, $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=B\neq0$, 则 $$ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{A}{B}. $$

   例如我们在计算 $\{\frac{n+1}{n+2}\}$ 的极限时,可以将它拆成两个序列之和:$\{1\}$ 和 $\{-\frac{1}{n+2}\}$.容易证明第一个序列的极限为 $1$,第二个序列的极限为 $0$,那么两个序列之和的极限存在,且为 $1$.

   下面我们将序列极限的性质一一道来.

定义 2 有界性

   设 $\{x_n\}$ 是一个序列.若 $\exists M > 0$,$\forall n$,有 $|x_n|\leq M$ 成立,则称 $\{x_n\}$ 是有界的

   显然以上定义等价于数集 $\{x_n\}$ 是一个有界集.

   若一个序列 $\{x_n\}$ 是有界的,则记为 $x_n=O(1)\ (n\rightarrow \infty)$.若存在 $M_2 > M_1>0$ 和正整数 $N$,使得当 $n > N$ 时,有 $M_1 < |x_n| < M_2$,则以 $x_n=O_o(1)$ 表示之.

定理 2 收敛序列的有界性

  1. 收敛序列是有界的.
  2. 收敛序列的极限是唯一的.

   以序列极限的唯一性为例,它可以用反证法来证明.假设收敛序列存在两个极限 $a$ 和 $b$,即 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=a$ 且 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} x_n=b$ 且 $a\neq b$.不失一般性,不妨设 $a < b$.现在取 $\epsilon_0=(b-a)/2$,则由极限定义知,存在正整数 $N_1$ 和 $N_2$,使得:

\begin{equation} \begin{aligned} |x_n-a| < \epsilon_0,\ \ \ \ \ \ &\forall n > N_1\\ |x_n-b| < \epsilon_0,\ \ \ \ \ \ &\forall n > N_2 \end{aligned} \end{equation}
令 $N=\max\{N_1,N_2\}$,则当 $n > N$ 时,上述两个不等式都成立.那么
\begin{equation} \begin{aligned} x_{N+1} < a+\epsilon_0=(a+b)/2\\ x_{N+2} > b-\epsilon_0=(a+b)/2 \end{aligned} \end{equation}
导致矛盾.所以原命题成立.

定理 3 保序性

   给定两个序列 $\{x_n\}$ 和 $\{y_n\}$,并且假定

\begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow \infty} x_n=a,\ \ \ \ \lim\limits_{n\rightarrow \infty} y_n = b, \end{equation}
则有:

  1. 若 $a < b$,则对任意给定的 $c\in (a,b)$,$\exists N_0 > 0$,使得当 $n > N_0$ 时,有 $x_n < c < y_n$;
  2. 若 $\exists N_0 > 0$,当 $n > N_0$ 时,有 $x_n\leq y_n$,则 $a\leq b$.(注意逆命题不一定成立)

习题 1 

   构造两个序列 $\{x_n\},\{y_n\}$,使得 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n\le \lim\limits_{n\rightarrow \infty} y_n$,但 $\forall n > 0,x_n > y_n$.

定理 4 极限的四则运算

   设 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} x_n=a,\ \lim\limits_{n\rightarrow \infty} y_n=b$,则

   1. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(x_n+y_n)=a+b,\ \ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}(x_n-y_n)=a-b$;

   2. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(x_ny_n)=ab$;

   3. $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}(x_n/y_n)=a/b$,其中 $b\neq 0,\ y_n\neq 0$.

习题 2 

   若 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty} x_n=1$;序列 $\{y_n\}$ 的元素是整数.那么序列 $\{x_n^{y_n}\}$ 的极限是否一定存在?请举一个 $\{x_n^{y_n}\}$ 的极限存在且不为 $1$ 的例子.

定理 5 夹逼收敛定理

   设序列 $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ 和 $\{z_n\}$ 满足 $x_n\leq z_n\leq y_n,\ \forall n > N_0$. 若 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}x_n=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}y_n=a$,则 $\lim\limits_{n\rightarrow \infty}z_n=a$.

   下面我们要介绍的是单调收敛原理.从直观上看,如果一个序列单调递增且不会趋于无穷大,那么它应该是有上确界的.其证明用到了确界存在定理

定理 6 单调收敛原理

   若序列 $\{x_n\}$ 单调递增且有上界,则序列收敛于 $\sup \{x_n\}$. 若序列 $\{x_n\}$ 单调递减且有下界,则序列收敛于 $\inf\{x_n\}$.

   示意图如图 1


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