上确界与下确界

贡献者： JierPeter; DTSIo; addis

1. 上下确界

　　 有了实数的完备性，我们就可以得到一个很重要的概念，确界。为了介绍确界，我们首先要熟悉 “界” 的概念。

　　 实数子集的界通常不是唯一的。比上界大的实数都是上界，比下界小的实数也都是下界。只有当上界是 $+\mathrm{\infty }$ 或者下界是 $-\mathrm{\infty }$，该上界或下界才是唯一的。

　　 界无法保证唯一性，因此很难用来刻画集合本身的性质。比如说，区间 $[0,1]$ 和区间 $[0,2]$ 是不同的集合，但实数 $2$ 都是它们的上界，于是光描述某些上界是完全无法体现这两个集合的区别的。但是我们也容易想到，一个集合的所有上界中，有一个上界是可以唯一确定的，这就是我们接下来要定义的上确界。

　　 对于很多集合来说，上确界就是其中最大的元素，下确界就是其中最小的元素，比如区间 $[a,b]$ 的上下确界就分别是 $b$ 和 $a$。那么我们为什么不用集合的最大最小值来讨论，而是非要定义个确界呢？这是因为不是所有集合都有最大最小元素的，比如区间 $(a,b)$，它的上下确界依然是 $b$ 和 $a$，但它却没有最大最小值。

　　 上面这段分析暗含了一个问题：如果不是所有集合都有最大最小值，那能否保证确界的存在呢？比如说，$S$ 的下确界是 $S$ 的界所构成的集合中的最大值，那我们能不能保证这个界的集合一定有最大值呢？

　　 答案是肯定的，我们称之为确界原理。

　　 注意，我们将确界原理写成了一条定义，因为它是刻画实数完备性的公理之一，而不是可供证明的定理。这些公理是完全等价的，任何一条都能推出其它所有，故任选其一作为公理来定义实数的完备性即可。完备性公理的整合描述请参见实数的完备公理。

2. 存在唯一性

　　 有如下定理：

　　 不论在哪个实数模型中，唯一性都可以由序公理立即得到。

　　 如果以戴德金分割为基础构造实数模型，那么对于给定的实数集 $S$, 它的上下确界都是可以明确地构造出来的。实际上，对于 $x\in S$, 如果写 $L_x$ 为其戴德金分割的下类，$R_x$ 为其戴德金分割的上类（记得它们都是 $\mathbb{Q}$ 的子集）, 那么交集 $$R_s=\bigcap _{x\in S}{R}_x$$ 在加上最小元素（如果有一个有理数能成为它的最小元素的话）之后也仍然是一个上类，而并集 $$L_i=\bigcup _{x\in S}{L}_x$$ 在除去最大元素（如果它本身有最大元素的话）之后也仍然是一个下类。

　　 不难发现，由分割上类 $R_s$ 确定的实数 $s$ 正符合上确界的定义，而由分割下类 $L_i$ 确定的实数 $i$ 正符合下确界的定义。

1. ^ 即存在 $x\in S$，使得 $x>y$。