上确界与下确界

                     

贡献者: JierPeter; DTSIo; addis

  • 本词条处于草稿阶段.

  

未完成:应整合到 “六大实数完备性公理” 的后续词条中.

预备知识 完备公理

1. 上下确界

   有了实数的完备性,我们就可以得到一个很重要的概念,确界.为了介绍确界,我们首先要熟悉 “界” 的概念.

定义 1 界

   设 $S$ 是实数集合 $\mathbb{R}$ 的非空子集.

   如果存在实数 $a$,使得对于任意的 $x\in S$,都有 $a\geq x$,那么称 $a$ 是 $S$ 的一个上界;如果不存在这样的 $a$,则称 $S$ 的上界是 $+\infty$.

   如果存在实数 $b$,使得使得对于任意的 $x\in S$,都有 $b\leq x$,那么称 $b$ 是 $S$ 的一个下界;如果不存在这样的 $b$,则称 $S$ 的下界是 $-\infty$.

例 1 

   对于实数集上的区间 $[a, b]$,$b$ 是它的一个上界,$b+1$ 也是它的一个上界.

   对于 “全体正偶数” 的集合,它的下界可以是 $2$,也可以是 $0$、$-110$、$-507$ 等,但它的上界只有 $+\infty$.

   实数子集的界通常不是唯一的.比上界大的实数都是上界,比下界小的实数也都是下界.只有当上界是 $+\infty$ 或者下界是 $-\infty$,该上界或下界才是唯一的.

   界无法保证唯一性,因此很难用来刻画集合本身的性质.比如说,区间 $[0, 1]$ 和区间 $[0, 2]$ 是不同的集合,但实数 $2$ 都是它们的上界,于是光描述某些上界是完全无法体现这两个集合的区别的.但是我们也容易想到,一个集合的所有上界中,有一个上界是可以唯一确定的,这就是我们接下来要定义的上确界

定义 2 确界

   设 $S$ 是实数集合 $\mathbb{R}$ 的非空子集.

   如果存在实数 $a$,使得对于任意的 $x\in S$,都有 $a\geq x$,且对于任意实数 $y < a$,$y$ 都不是 $S$ 的上界1,那么称 $a$ 是 $S$ 的一个上确界(supremum),记为 $ \operatorname {sup} S=a$.

   如果存在实数 $b$,使得对于任意的 $x\in S$,都有 $b\leq x$,且对于任意实数 $y > a$,$y$ 都不是 $S$ 的下界,那么称 $b$ 是 $S$ 的一个下确界(infimum),记为 $ \operatorname {inf} S=b$.

   对于很多集合来说,上确界就是其中最大的元素,下确界就是其中最小的元素,比如区间 $[a, b]$ 的上下确界就分别是 $b$ 和 $a$.那么我们为什么不用集合的最大最小值来讨论,而是非要定义个确界呢?这是因为不是所有集合都有最大最小元素的,比如区间 $(a, b)$,它的上下确界依然是 $b$ 和 $a$,但它却没有最大最小值.

   上面这段分析暗含了一个问题:如果不是所有集合都有最大最小值,那能否保证确界的存在呢?比如说,$S$ 的下确界是 $S$ 的界所构成的集合中的最大值,那我们能不能保证这个界的集合一定有最大值呢?

   答案是肯定的,我们称之为确界原理

定义 3 确界原理

   如果非空的有界实数子集 $S$ 有上界,那么 $S$ 必存在上确界.

   由此可推论,如果 $S$ 有下界,那么 $S$ 必存在下确界.

   注意,我们将确界原理写成了一条定义,因为它是刻画实数完备性的公理之一,而不是可供证明的定理.这些公理是完全等价的,任何一条都能推出其它所有,故任选其一作为公理来定义实数的完备性即可.完备性公理的整合描述请参见实数的完备公理

2. 存在唯一性

   有如下定理:

定理 1 上下确界的存在唯一性

   设 $\mathfrak{R}$ 是一个实数模型,$S\subset\mathfrak{R}$ 是其非空子集,存在一个上界.那么 $S$ 有唯一确定的上确界. 对于下确界的存在唯一性同理.

   不论在哪个实数模型中,唯一性都可以由序公理立即得到.

   如果以戴德金分割为基础构造实数模型,那么对于给定的实数集 $S$, 它的上下确界都是可以明确地构造出来的.实际上,对于 $x\in S$, 如果写 $L_x$ 为其戴德金分割的下类,$R_x$ 为其戴德金分割的上类(记得它们都是 $\mathbb{Q}$ 的子集), 那么交集 $$ R_s=\bigcap_{x\in S}R_x $$ 在加上最小元素(如果有一个有理数能成为它的最小元素的话)之后也仍然是一个上类,而并集 $$ L_i=\bigcup_{x\in S}L_x $$ 在除去最大元素(如果它本身有最大元素的话)之后也仍然是一个下类.

习题 1 

   试证明这个论断; 只需要验证如上构造的 $R_s$ 和 $L_i$ 的确符合分割上类/下类的定义即可.

   不难发现,由分割上类 $R_s$ 确定的实数 $s$ 正符合上确界的定义,而由分割下类 $L_i$ 确定的实数 $i$ 正符合下确界的定义.

习题 2 

   试证明这个论断.提示:例如,设 $t < s$, 那么有一有理数 $q$ 严格介于 $t$ 和 $s$ 之间.


1. ^ 即存在 $x\in S$,使得 $x > y$.


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