贡献者： JierPeter; DTSIo; addis
未完成：应整合到 “六大实数完备性公理” 的后续文章中。
未完成：可以移动到序论中
1. 上下确界
有了实数的完备性，我们就可以得到一个很重要的概念，确界。为了介绍确界，我们首先要熟悉 “界” 的概念。
定义 1 界
设 $S$ 是实数集合 $\mathbb{R}$ 的非空子集。
如果存在实数 $a$，使得对于任意的 $x\in S$，都有 $a\geq x$，那么称 $a$ 是 $S$ 的一个上界；如果不存在这样的 $a$，则称 $S$ 的上界是 $+\infty$。
如果存在实数 $b$，使得使得对于任意的 $x\in S$，都有 $b\leq x$，那么称 $b$ 是 $S$ 的一个下界；如果不存在这样的 $b$，则称 $S$ 的下界是 $-\infty$。
例 1
对于实数集上的区间 $[a, b]$，$b$ 是它的一个上界，$b+1$ 也是它的一个上界。
对于 “全体正偶数” 的集合，它的下界可以是 $2$，也可以是 $0$、$-110$、$-507$ 等，但它的上界只有 $+\infty$。
实数子集的界通常不是唯一的。比上界大的实数都是上界，比下界小的实数也都是下界。只有当上界是 $+\infty$ 或者下界是 $-\infty$，该上界或下界才是唯一的。
界无法保证唯一性，因此很难用来刻画集合本身的性质。比如说，区间 $[0, 1]$ 和区间 $[0, 2]$ 是不同的集合，但实数 $2$ 都是它们的上界，于是光描述某些上界是完全无法体现这两个集合的区别的。但是我们也容易想到，一个集合的所有上界中，有一个上界是可以唯一确定的，这就是我们接下来要定义的上确界。
定义 2 确界
设 $S$ 是实数集合 $\mathbb{R}$ 的非空子集。
如果存在实数 $a$，使得对于任意的 $x\in S$，都有 $a\geq x$，且对于任意实数 $y< a$，$y$ 都不是 $S$ 的上界1，那么称 $a$ 是 $S$ 的一个上确界（supremum），记为 $ \operatorname {sup} S=a$。
如果存在实数 $b$，使得对于任意的 $x\in S$，都有 $b\leq x$，且对于任意实数 $y>a$，$y$ 都不是 $S$ 的下界，那么称 $b$ 是 $S$ 的一个下确界（infimum），记为 $ \operatorname {inf} S=b$。
对于很多集合来说，上确界就是其中最大的元素，下确界就是其中最小的元素，比如区间 $[a, b]$ 的上下确界就分别是 $b$ 和 $a$。那么我们为什么不用集合的最大最小值来讨论，而是非要定义个确界呢？这是因为不是所有集合都有最大最小元素的，比如区间 $(a, b)$，它的上下确界依然是 $b$ 和 $a$，但它却没有最大最小值。
上面这段分析暗含了一个问题：如果不是所有集合都有最大最小值，那能否保证确界的存在呢？比如说，$S$ 的下确界是 $S$ 的界所构成的集合中的最大值，那我们能不能保证这个界的集合一定有最大值呢？
答案是肯定的，我们称之为确界原理。
定义 3 确界原理
如果非空的有界实数子集 $S$ 有上界，那么 $S$ 必存在上确界。
由此可推论，如果 $S$ 有下界，那么 $S$ 必存在下确界。
注意，我们将确界原理写成了一条定义，因为它是刻画实数完备性的公理之一，而不是可供证明的定理。这些公理是完全等价的，任何一条都能推出其它所有，故任选其一作为公理来定义实数的完备性即可。完备性公理的整合描述请参见实数的完备公理。
2. 存在唯一性
有如下定理：
定理 1 上下确界的存在唯一性
设 $\mathfrak{R}$ 是一个实数模型，$S\subset\mathfrak{R}$ 是其非空子集，存在一个上界。那么 $S$ 有唯一确定的上确界. 对于下确界的存在唯一性同理。
不论在哪个实数模型中，唯一性都可以由序公理立即得到。
如果以戴德金分割为基础构造实数模型，那么对于给定的实数集 $S$, 它的上下确界都是可以明确地构造出来的。实际上，对于 $x\in S$, 如果写 $L_x$ 为其戴德金分割的下类，$R_x$ 为其戴德金分割的上类（记得它们都是 $\mathbb{Q}$ 的子集）, 那么交集
$$
R_s=\bigcap_{x\in S}R_x~
$$
在加上最小元素（如果有一个有理数能成为它的最小元素的话）之后也仍然是一个上类，而并集
$$
L_i=\bigcup_{x\in S}L_x~
$$
在除去最大元素（如果它本身有最大元素的话）之后也仍然是一个下类。
习题 1
试证明这个论断; 只需要验证如上构造的 $R_s$ 和 $L_i$ 的确符合分割上类/下类的定义即可。
不难发现，由分割上类 $R_s$ 确定的实数 $s$ 正符合上确界的定义，而由分割下类 $L_i$ 确定的实数 $i$ 正符合下确界的定义。
习题 2
试证明这个论断。提示：例如，设 $t< s$, 那么有一有理数 $q$ 严格介于 $t$ 和 $s$ 之间。
1. ^ 即存在 $x\in S$，使得 $x>y$。
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