上确界与下确界

                     

贡献者: JierPeter; DTSIo; addis

  • 本文处于草稿阶段。
  • 本文存在未完成的内容。

  

未完成:应整合到 “六大实数完备性公理” 的后续词条中。
未完成:可以移动到序论中

预备知识 完备公理

1. 上下确界

   有了实数的完备性,我们就可以得到一个很重要的概念,确界。为了介绍确界,我们首先要熟悉 “界” 的概念。

定义 1 界

   设 $S$ 是实数集合 $\mathbb{R}$ 的非空子集。

   如果存在实数 $a$,使得对于任意的 $x\in S$,都有 $a\geq x$,那么称 $a$ 是 $S$ 的一个上界;如果不存在这样的 $a$,则称 $S$ 的上界是 $+\infty$。

   如果存在实数 $b$,使得使得对于任意的 $x\in S$,都有 $b\leq x$,那么称 $b$ 是 $S$ 的一个下界;如果不存在这样的 $b$,则称 $S$ 的下界是 $-\infty$。

例 1 

   对于实数集上的区间 $[a, b]$,$b$ 是它的一个上界,$b+1$ 也是它的一个上界。

   对于 “全体正偶数” 的集合,它的下界可以是 $2$,也可以是 $0$、$-110$、$-507$ 等,但它的上界只有 $+\infty$。

   实数子集的界通常不是唯一的。比上界大的实数都是上界,比下界小的实数也都是下界。只有当上界是 $+\infty$ 或者下界是 $-\infty$,该上界或下界才是唯一的。

   界无法保证唯一性,因此很难用来刻画集合本身的性质。比如说,区间 $[0, 1]$ 和区间 $[0, 2]$ 是不同的集合,但实数 $2$ 都是它们的上界,于是光描述某些上界是完全无法体现这两个集合的区别的。但是我们也容易想到,一个集合的所有上界中,有一个上界是可以唯一确定的,这就是我们接下来要定义的上确界

定义 2 确界

   设 $S$ 是实数集合 $\mathbb{R}$ 的非空子集。

   如果存在实数 $a$,使得对于任意的 $x\in S$,都有 $a\geq x$,且对于任意实数 $y< a$,$y$ 都不是 $S$ 的上界1,那么称 $a$ 是 $S$ 的一个上确界(supremum),记为 $ \operatorname {sup} S=a$。

   如果存在实数 $b$,使得对于任意的 $x\in S$,都有 $b\leq x$,且对于任意实数 $y>a$,$y$ 都不是 $S$ 的下界,那么称 $b$ 是 $S$ 的一个下确界(infimum),记为 $ \operatorname {inf} S=b$。

   对于很多集合来说,上确界就是其中最大的元素,下确界就是其中最小的元素,比如区间 $[a, b]$ 的上下确界就分别是 $b$ 和 $a$。那么我们为什么不用集合的最大最小值来讨论,而是非要定义个确界呢?这是因为不是所有集合都有最大最小元素的,比如区间 $(a, b)$,它的上下确界依然是 $b$ 和 $a$,但它却没有最大最小值。

   上面这段分析暗含了一个问题:如果不是所有集合都有最大最小值,那能否保证确界的存在呢?比如说,$S$ 的下确界是 $S$ 的界所构成的集合中的最大值,那我们能不能保证这个界的集合一定有最大值呢?

   答案是肯定的,我们称之为确界原理

定义 3 确界原理

   如果非空的有界实数子集 $S$ 有上界,那么 $S$ 必存在上确界。

   由此可推论,如果 $S$ 有下界,那么 $S$ 必存在下确界。

   注意,我们将确界原理写成了一条定义,因为它是刻画实数完备性的公理之一,而不是可供证明的定理。这些公理是完全等价的,任何一条都能推出其它所有,故任选其一作为公理来定义实数的完备性即可。完备性公理的整合描述请参见实数的完备公理

2. 存在唯一性

   有如下定理:

定理 1 上下确界的存在唯一性

   设 $\mathfrak{R}$ 是一个实数模型,$S\subset\mathfrak{R}$ 是其非空子集,存在一个上界。那么 $S$ 有唯一确定的上确界. 对于下确界的存在唯一性同理。

   不论在哪个实数模型中,唯一性都可以由序公理立即得到。

   如果以戴德金分割为基础构造实数模型,那么对于给定的实数集 $S$, 它的上下确界都是可以明确地构造出来的。实际上,对于 $x\in S$, 如果写 $L_x$ 为其戴德金分割的下类,$R_x$ 为其戴德金分割的上类(记得它们都是 $\mathbb{Q}$ 的子集), 那么交集 $$ R_s=\bigcap_{x\in S}R_x~ $$ 在加上最小元素(如果有一个有理数能成为它的最小元素的话)之后也仍然是一个上类,而并集 $$ L_i=\bigcup_{x\in S}L_x~ $$ 在除去最大元素(如果它本身有最大元素的话)之后也仍然是一个下类。

习题 1 

   试证明这个论断; 只需要验证如上构造的 $R_s$ 和 $L_i$ 的确符合分割上类/下类的定义即可。

   不难发现,由分割上类 $R_s$ 确定的实数 $s$ 正符合上确界的定义,而由分割下类 $L_i$ 确定的实数 $i$ 正符合下确界的定义。

习题 2 

   试证明这个论断。提示:例如,设 $t< s$, 那么有一有理数 $q$ 严格介于 $t$ 和 $s$ 之间。


1. ^ 即存在 $x\in S$,使得 $x>y$。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利