极限存在的判据、柯西序列
贡献者: DTSIo; addis
在之前的例子中,我们都是在已经猜出序列极限的情况下来证明极限等式的。但是,对于比较复杂的序列,又该如何判定它是否有极限?
第一个判据如下:
证明。 不妨设 是单调递增的序列,而且有上界。按照确界原理, 数集 有唯一的上确界 , 也就是说成立如下两件事:第一, 对于任何 都成立; 第二,任给 , 数 都不是数集 的上界。于是,存在一个脚码 使得 . 根据单调性,这表示对于 总有
即 . 于是 是序列 的极限。证毕。
习题 1 哪里用到了完备性?
单调有界的有理数序列的极限不一定是有理数,例如 的不足近似值序列
这是因为有理数集不完备。在上面的证明中,哪里用到了实数集的完备性?
不过,显然也有很多有极限的序列不是单调的,例如震荡着收敛到零的序列 . 对于这种不单调的序列,该怎么判断它是否有极限呢?
我们从一些直观推演开始。如果序列 有极限 , 那么 在脚码 充分大时可以以任意小的误差逼近 . 如果 是两个充分大的脚码,那么差值 就可以用累进误差来控制:
于是差值 最终总可以任意接近零。这就启发我们提出如下的
定理 2 柯西判据
序列 有极限,当且仅当任给 , 都存在正整数 , 使得当 时有 . 满足这个性质的序列称为基本列(fundamental sequence)或者柯西序列(Cauchy sequence).
证明。 如果序列 有极限 , 那么在给定 后,存在正整数 , 使得当 时有 . 从而当 时有
反过来,设序列 满足柯西判据的条件。于是它当然是有界的。我们考虑如下的两个序列:
则 是单调递减的, 是单调递增的(设想一个越来越小的集合,它的上界当然会越变越小,而下界则会越变越大). 按照第一个判据,序列 有极限 . 显然有 , 同时
于是便有 .
另一方面,由于 是基本列,故任给 , 都有整数 使得 时有 . 于是当 时,
这表示 . 从而当 时有 . 这表示 .证毕。
习题 2
- 在上述证明中,序列 也有极限 . 上面的推理对于 能不能成立?由此,能否证明实际上 ?
- 写出柯西收敛准则的否命题形式。也就是说,怎样的序列不是柯西序序列,怎样的序列不是发散的?
柯西判据对于判别级数是否收敛是很基本的。
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