极限存在的判据、柯西序列

             

贡献者: DTSIo; addis

预备知识 序列的极限

   在之前的例子中,我们都是在已经猜出序列极限的情况下来证明极限等式的.但是,对于比较复杂的序列,又该如何判定它是否有极限?

   第一个判据如下:

定理 1 

   单调有界的实数序列必然有极限.

   证明. 不妨设 $\{a_n\}$ 是单调递增的序列,而且有上界.按照确界原理, 数集 $\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$ 有唯一的上确界 $A$, 也就是说成立如下两件事:第一,$a_n\leq A$ 对于任何 $n$ 都成立; 第二,任给 $\varepsilon > 0$, 数 $A-\varepsilon$ 都不是数集 $\{a_n:n\in\mathbb{N}\}$ 的上界.于是,存在一个脚码 $N_\varepsilon$ 使得 $A-\varepsilon < a_{N_\varepsilon}\leq A$. 根据单调性,这表示对于 $n > N_\varepsilon$ 总有 \[A-\varepsilon<a_n\leq A,\] 即 $|a_n-A| < \varepsilon$. 于是 $A$ 是序列 $\{a_n\}$ 的极限.证毕.

习题 1 哪里用到了完备性?

   单调有界的有理数序列的极限不一定是有理数,例如 $\sqrt{2}$ 的不足近似值序列 $$ 1.4,\,1.41,\,1.414,... $$ 这是因为有理数集不完备.在上面的证明中,哪里用到了实数集的完备性?

   不过,显然也有很多有极限的序列不是单调的,例如震荡着收敛到零的序列 $\{(-1)^n/n\}$. 对于这种不单调的序列,该怎么判断它是否有极限呢?

   我们从一些直观推演开始.如果序列 $\{a_n\}$ 有极限 $A$, 那么 $a_n$ 在脚码 $n$ 充分大时可以以任意小的误差逼近 $A$. 如果 $m,n$ 是两个充分大的脚码,那么差值 $|a_m-a_n|$ 就可以用累进误差来控制: $$ |a_m-a_n|\leq |a_m-A|+|a_n-A|. $$ 于是差值 $|a_m-a_n|$ 最终总可以任意接近零.这就启发我们提出如下的

定理 2 柯西判据

   序列 $\{a_n\}$ 有极限,当且仅当任给 $\varepsilon > 0$, 都存在正整数 $N_\varepsilon$, 使得当 $m,n > N_\varepsilon$ 时有 $|a_m-a_n| < \varepsilon$. 满足这个性质的序列称为基本列(fundamental sequence)或者柯西序列(Cauchy sequence).

   证明. 如果序列 $\{a_n\}$ 有极限 $A$, 那么在给定 $\varepsilon > 0$ 后,存在正整数 $N_\varepsilon$, 使得当 $n > N_\varepsilon$ 时有 $|a_n-A| < \varepsilon/2$. 从而当 $m,n > N_\varepsilon$ 时有 $$ |a_m-a_n|\leq|a_m-A|+|a_n-A|<\varepsilon. $$

   反过来,设序列 $\{a_n\}$ 满足柯西判据的条件.于是它当然是有界的.我们考虑如下的两个序列: $$ x_n=\sup\{a_{n+1},a_{n+2},...\}, \quad y_n=\inf\{a_{n+1},a_{n+2},...\}. $$ 则 $\{x_n\}$ 是单调递减的,$\{y_n\}$ 是单调递增的(设想一个越来越小的集合,它的上界当然会越变越小,而下界则会越变越大). 按照第一个判据,序列 $\{x_n\}$ 有极限 $x$. 显然有 $y_n\leq x\leq x_n$, 同时 $$ y_n=\inf_{k\geq n}a_k\leq a_n\leq \sup_{k\geq n}a_k=x_n. $$ 于是便有 $|a_n-x|\leq x_n-y_n$.

   另一方面,由于 $\{a_n\}$ 是基本列,故任给 $\varepsilon > 0$, 都有整数 $N$ 使得 $k\geq N$ 时有 $|a_N-a_k| < \varepsilon/3$. 于是当 $n\geq N$ 时, $$ a_N-\frac{\varepsilon}{3}\leq \inf_{k\geq n}a_k=y_n \leq x_n=\sup_{k\geq n}a_k\leq a_N+\frac{\varepsilon}{3}. $$ 这表示 $x_n-y_n\leq 3\varepsilon/3 < \varepsilon$. 从而当 $n\geq N$ 时有 $|a_n-x| < \varepsilon$. 这表示 $\lim_{n\to\infty}a_n=x$.证毕.

习题 2 

  1. 在上述证明中,序列 $y_n$ 也有极限 $y$. 上面的推理对于 $y$ 能不能成立?由此,能否证明实际上 $x=y$?
  2. 写出柯西收敛准则的否命题形式.也就是说,怎样的序列不是柯西序序列,怎样的序列不是发散的?

   柯西判据对于判别级数是否收敛是很基本的.


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