极限存在的判据、柯西序列

                     

贡献者: DTSIo; addis

预备知识 序列的极限

   在之前的例子中,我们都是在已经猜出序列极限的情况下来证明极限等式的。但是,对于比较复杂的序列,又该如何判定它是否有极限?

   第一个判据如下:

定理 1 

   单调有界的实数序列必然有极限。

   证明。 不妨设 {an} 是单调递增的序列,而且有上界。按照确界原理, 数集 {an:nN} 有唯一的上确界 A, 也就是说成立如下两件事:第一,anA 对于任何 n 都成立; 第二,任给 ε>0, 数 Aε 都不是数集 {an:nN} 的上界。于是,存在一个脚码 Nε 使得 Aε<aNεA. 根据单调性,这表示对于 n>Nε 总有

(1)Aε<anA ,

   即 |anA|<ε. 于是 A 是序列 {an} 的极限。证毕。

习题 1 哪里用到了完备性?

   单调有界的有理数序列的极限不一定是有理数,例如 2 的不足近似值序列 1.4,1.41,1.414,...  这是因为有理数集不完备。在上面的证明中,哪里用到了实数集的完备性?

   不过,显然也有很多有极限的序列不是单调的,例如震荡着收敛到零的序列 {(1)n/n}. 对于这种不单调的序列,该怎么判断它是否有极限呢?

   我们从一些直观推演开始。如果序列 {an} 有极限 A, 那么 an 在脚码 n 充分大时可以以任意小的误差逼近 A. 如果 m,n 是两个充分大的脚码,那么差值 |aman| 就可以用累进误差来控制: |aman||amA|+|anA| . 于是差值 |aman| 最终总可以任意接近零。这就启发我们提出如下的

定理 2 柯西判据

   序列 {an} 有极限,当且仅当任给 ε>0, 都存在正整数 Nε, 使得当 m,n>Nε 时有 |aman|<ε. 满足这个性质的序列称为基本列(fundamental sequence)或者柯西序列(Cauchy sequence).

   证明。 如果序列 {an} 有极限 A, 那么在给定 ε>0 后,存在正整数 Nε, 使得当 n>Nε 时有 |anA|<ε/2. 从而当 m,n>Nε 时有 |aman||amA|+|anA|<ε .

   反过来,设序列 {an} 满足柯西判据的条件。于是它当然是有界的。我们考虑如下的两个序列: xn=sup{an+1,an+2,...} ,yn=inf{an+1,an+2,...} .{xn} 是单调递减的,{yn} 是单调递增的(设想一个越来越小的集合,它的上界当然会越变越小,而下界则会越变越大). 按照第一个判据,序列 {xn} 有极限 x. 显然有 ynxxn, 同时 yn=infknakansupknak=xn . 于是便有 |anx|xnyn.

   另一方面,由于 {an} 是基本列,故任给 ε>0, 都有整数 N 使得 kN 时有 |aNak|<ε/3. 于是当 nN 时, aNε3infknak=ynxn=supknakaN+ε3 . 这表示 xnyn3ε/3<ε. 从而当 nN 时有 |anx|<ε. 这表示 limnan=x.证毕。

习题 2 

  1. 在上述证明中,序列 yn 也有极限 y. 上面的推理对于 y 能不能成立?由此,能否证明实际上 x=y?
  2. 写出柯西收敛准则的否命题形式。也就是说,怎样的序列不是柯西序序列,怎样的序列不是发散的?

   柯西判据对于判别级数是否收敛是很基本的。


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