序列

贡献者： addis

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1. 序列的定义

定义 1　序列

　　我们定义序列（或数列），是一个从正整数集 $N$ 到实数集 $R$ 的一个函数 $f : N \to R$ 。

图 1：序列

　　我们常将一个序列看做是按照一定顺序排列的一列数： $x_{1} = f (1), x_{2} = f (2), \dots, x_{n} = f (n), \dots$ 通常将这个序列记为 ${x_{n}}$ ，其中 $x_{n}$ 称为通项。

　　注意：集合 ${x_{n}}$ 和序列 ${x_{n}}$ 是有区别的。

　　例如：可以将 $[0, 1)$ 中的有理数排成一个序列： $0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}, \frac{1}{5} \dots$

　　一个有趣的事实是，可以通过某种方式将全体有理数排成一个序列，但不能将区间 $[a, b] (a < b)$ 内的全体实数排成一个序列。因此我们称有理数集是可数集，实数集是不可数集。可数集的意思是，这个集合中的元素可以被排成一个序列；而不可数集就表示做不到。

例 1　

　　思考：为什么实数集是不可数集？

　　考虑 $[0, 1)$ 之间的实数，用 “无限长” 的二进制数表示。假设可以排成序列：

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} x_{1} & = 0. 0 001000. . . \\ x_{2} & = 0.0 1 10100. . . \\ x_{3} & = 0.01 0 1100. . . \\ x_{4} & = 0.001 0 000. . . \\ x_{5} & = 0.0000 0 01. . . \\ x_{6} & = 0.10000 0 1. . . \\ \dots \\ y & = 0.101111 . . . \end{aligned} \end{matrix}

则可以构造新的实数

y

，使得小数点后第

i

位与

x_{i}

的第

i

位不同。那么新构造的这个实数，不出现在这个序列中。矛盾！因此实数集是不可数集。

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序列

1. 序列的定义

定义 1 序列

例 1

定义 1　序列

例 1　