序列

             

贡献者: _Eden_

1. 序列的定义

定义 1 序列

   我们定义序列(或数列),是一个从正整数集 $\mathbb{N}$ 到实数集 $\mathbb{R}$ 的一个函数 $f\ :\ \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$.

图
图 1:序列

   我们常将一个序列看做是按照一定顺序排列的一列数: $$ x_1=f(1),\ x_2=f(2),\ \cdots,\ x_n=f(n),\ \cdots $$ 通常将这个序列记为 $\{x_n\}$,其中 $x_n$ 称为通项

   注意:集合 $\{x_n\}$ 和序列 $\{x_n\}$ 是有区别的.

   例如:可以将 $[0,1)$ 中的有理数排成一个序列: $$ 0,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5}\cdots $$

   一个有趣的事实是,可以通过某种方式将全体有理数排成一个序列,但不能将区间 $[a,b]\ (a < b)$ 内的全体实数排成一个序列.因此我们称有理数集是可数集,实数集是不可数集.可数集的意思是,这个集合中的元素可以被排成一个序列;而不可数集就表示做不到.

例 1 

   思考:为什么实数集是不可数集?

   考虑 $[0,1)$ 之间的实数,用 “无限长” 的二进制数表示.假设可以排成序列:

\begin{equation} \begin{aligned} x_1&=0.\boldsymbol 0001000....\\ x_2&=0.0\boldsymbol 110100....\\ x_3&=0.01\boldsymbol 01100....\\ x_4&=0.001\boldsymbol 0000....\\ x_5&=0.0000\boldsymbol 001....\\ x_6&=0.10000\boldsymbol 01....\\ \cdots \\ y&=0.101111.... \end{aligned} \end{equation}
​则可以构造新的实数 $y$,使得小数点后第 $i$ 位与 $x_i$ 的第 $i$ 位不同.那么新构造的这个实数,不出现在这个序列中. 矛盾!因此实数集是不可数集.

   ​

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