序列

贡献者： addis

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1. 序列的定义

定义 1　序列

　　我们定义序列（或数列），是一个从正整数集 $\mathbb{N}$ 到实数集 $\mathbb{R}$ 的一个函数 $f\ :\ \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{R}$。

图 1：序列

　　我们常将一个序列看做是按照一定顺序排列的一列数： $$ x_1=f(1),\ x_2=f(2),\ \cdots,\ x_n=f(n),\ \cdots~ $$ 通常将这个序列记为 $\{x_n\}$，其中 $x_n$ 称为通项。

　　注意：集合 $\{x_n\}$ 和序列 $\{x_n\}$ 是有区别的。

　　例如：可以将 $[0,1)$ 中的有理数排成一个序列： $$ 0,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{5}\cdots~ $$

　　一个有趣的事实是，可以通过某种方式将全体有理数排成一个序列，但不能将区间 $[a,b]\ (a< b)$ 内的全体实数排成一个序列。因此我们称有理数集是可数集，实数集是不可数集。可数集的意思是，这个集合中的元素可以被排成一个序列；而不可数集就表示做不到。

例 1　

　　思考：为什么实数集是不可数集？

　　考虑 $[0,1)$ 之间的实数，用 “无限长” 的二进制数表示。假设可以排成序列：

\begin{equation} \begin{aligned} x_1&=0.\boldsymbol 0001000...\\ x_2&=0.0\boldsymbol 110100...\\ x_3&=0.01\boldsymbol 01100...\\ x_4&=0.001\boldsymbol 0000...\\ x_5&=0.0000\boldsymbol 001...\\ x_6&=0.10000\boldsymbol 01...\\ \cdots \\ y&=0.101111... \end{aligned}~ \end{equation}

则可以构造新的实数 $y$，使得小数点后第 $i$ 位与 $x_i$ 的第 $i$ 位不同。那么新构造的这个实数，不出现在这个序列中。矛盾！因此实数集是不可数集。

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序列

1. 序列的定义

定义 1 序列

例 1

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例 1　