贡献者： DTSIo
1. 开集与闭集
首先给出如下定义。
定义 1 开集与闭集
设 $x$ 是实数。任意包含 $x$ 的开区间 $U(x)$ 都称作 $x$ 的一个开邻域（open neighbourhood）. 如果将点 $x$ 挖去，得到的集合称为 $x$ 的去心邻域（deleted neighbourhood）, 常记为 $\mathring U(x)$.
实数集 $\mathbb{R}$ 的子集 $U$ 称为开集（open set）, 如果对于任意 $x\in U$, 都存在 $x$ 的开邻域 $V(x)$ 使得 $V(x)\subset U$.
实数集 $\mathbb{R}$ 的子集 $C$ 称为闭集（closed set）, 如果 $\mathbb{R}\setminus C$ 是开集。
规定空集既是开集也是闭集。
注意，按照这个定义，有许多集合不是开集也不是闭集。直观上来说，开集的"开"在于包含每个点的邻域，而闭集的"闭"在于它的接触点无法跑出它的范围（下详）.
容易证明如下性质：
定理 1 开集和闭集的运算
任意多个开集的并集仍然是开集。有限多个开集的交集仍然是开集。
等价地，任意多个闭集的交集仍然是闭集。有限多个闭集的并集仍然是闭集。
习题 1
证明这个定理。提示：设 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ 是一族开集，那么若 $x\in \cup_{\alpha\in A}U_\alpha$, 则必定有一 $\alpha$ 使得 $x\in U_\alpha$. 如果 $U_1,...,U_n$ 是有限多个开集，$x\in\cap_{k=1}^nU_k$, 而 $V^k(x)$ 是 $x$ 的包含在 $U^k(x)$ 中的开邻域，那么 $\cap_{k=1}^nV^k(x)$ 还是 $x$ 的开邻域。
习题 2
在证明"有限多开集的交集还是开集"时，"有限"这个条件究竟被用在哪里？可以参考下面的例子。
例 1 例子
在实数轴上，任何开区间本身都是开集。根据下面给出的开集结构定理，开集总是可数个互不相交的开区间的并。
实数轴上单独一点构成的集合是闭集。以此类推，有限多个点构成的集合是闭集。整数集合 $\mathbb{Z}$ 是闭集，因为它的补集是 $\cup_{k\in\mathbb{Z}}(k,k+1)$. 闭区间 $[a,b]$ 是闭集，因为它的补集是 $(-\infty,a]\cup[b,\infty)$; 另外，它不是开集，因为点 $a$ 的任何邻域都有不包含于闭区间 $[a,b]$ 的部分。
例 2 反例
无限多个开集的交集不一定是开集。例如，设开区间 $U_k=(-1/k,1/k)$, 那么 $\cap_{k=1}^\infty=\{0\}$. 相应地，无限多个闭集的并集也不一定是闭集，例如，设闭区间 $I_k=[0,1-1/k]$, 则 $\cup_{k=1}^\infty I_k=[0,1)$, 它不是开集也不是闭集。
一个更不平凡的例子是有理数集 $\mathbb{Q}$. 它是可数多个单点集合的并集。但由于有理数集在实数集中稠密，它既不是开集也不是闭集。
粗略地说，在一个集合上给定拓扑，就是给定一个衡量元素之间的"远近关系"的尺度。在实数集 $\mathbb{R}$ 中，一个给定的实数 $x$ 的全体开邻域就划定了距离这个实数的"远近关系". 如上定义的开集的全体符合抽象的拓扑的定义; 详见文章拓扑空间.
定义 2 子集上的拓扑
设 $E\subset\mathbb{R}$ 是实数集的非空子集。称形如 $E\cap U$ 的集合为在 $E$ 中开（这里 $U\subset\mathbb{R}$ 是开集）, 形如 $E\cap C$ 的集合为在 $E$ 中闭（这里 $C\subset\mathbb{R}$ 是闭集）. 对于点 $x\in E$, 称形如 $E\cap U(x)$ 的集合为 $x$ 在 $E$ 中的邻域（这里 $U(x)$ 是包含 $x$ 的开区间), 而形如 $E\cap \mathring U(x)$ 的集合为 $x$ 在 $E$ 中的去心邻域。
2. 开集的结构
在实数集 $\mathbb{R}$ 中，开集的结构可以被清楚地刻画出来。首先引入一个定义：包含于非空开集 $G\subset\mathbb{R}$ 中的开区间 $(a,b)$ 称为一个分支（component）, 如果端点 $a,b\notin G$. 容易看出，任何非空开集中的两个分支一定不相交。
定理 2 实数集中开集的结构
每一个非空开集 $G\subset\mathbb{R}$ 都是至多可数个分支的并集。
证明。 首先注意到任何一点 $x\in\mathbb{R}$ 都一定属于某个分支 $U$: 这个分支是所有包含在 $G$ 中且包含 $x$ 的开区间的并集。为了说明它符合分支的定义，首先注意到 $U$ 当然是个区间。进一步，可以反设，例如，$U$ 的左端点 $a\in G$; 那么有 $a$ 的开邻域 $U(a)\subset G$, 从而 $U(a)\cup U$ 也是包含 $x$ 的区间，但它严格包含了 $U$, 同 $U$ 的定义相违背。
接下来，按照这个推理，注意到 $G$ 中的任何有理数 $r$ 都属于某个分支 $U_r$. 这些分支或者不相交，或者重合。由此，$G$ 的全体分支被 $G$ 中所包含的有理数所标记，从而分支的个数一定是至多可数的。证毕。
这个定理显示出：在实数集中，既开又闭的非空集合只能是实数集本身。
3. 距离，接触点与闭包
实数集 $\mathbb{R}$ 是一个度量空间（metric space）. 关于一般的度量空间理论，详见文章度量空间. 在实数集上，最自然的度量是绝对值函数 $d(x,y)=|x-y|$, 它显然满足如下三条性质：
- $|x-y|=0$ 当且仅当 $x=y$.
- $|x-y|=|y-x|$.
- 三角不等式：对于 $x,y,z\in\mathbb{R}$, 总有
$$
|x-z|\leq|x-y|+|y-z|~.
$$
显然，开区间 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 恰好等同于集合
$$
\{x:|x-x_0|<\delta\}~.
$$
在这种情况下，我们说实数集的拓扑是由这个度量诱导得到的。
定义 3 接触点
给定点集 $E\subset\mathbb{R}$, 函数
$$
\text{dist}(x;E):=\inf_{y\in E}|x-y|~
$$
称为到点集 $E$ 的距离函数（distance function）. 与 $E$ 的距离为零的点称为 $E$ 的接触点（contact point）.
$x$ 是 $E$ 的接触点，当且仅当 $x$ 的任何邻域都与 $E$ 有非空交集。实际上，$\inf_{y\in E}|x-y|=0$ 等价于如下命题：任何 $\delta>0$ 都不是数集 $\{|x-y|:y\in E\}$ 的下界，或者换句话说，对于任何一个 $\delta>0$, 都存在 $y_\delta\in E$ 使得 $|x-y_\delta|<\delta$. 这恰好等价于"$x$ 的任何邻域都与 $E$ 有非空交集".
如果点 $x$ 的每个去心邻域都与 $E$ 相交，那么称 $x$ 是 $E$ 的聚点（accumulation point）. 显然，聚点是接触点，但反过来不一定：$x$ 是 $E$ 的聚点意味着 $x$ 周围有无穷多个属于 $E$ 的点。与聚点相对立的是孤立点（isolated point）: 它本身是 $E$ 的元素，但它的某个邻域里不再有 $E$ 的其它元素。
例 3 接触点与聚点
有限点集只有孤立点而没有聚点。例如对于点集 $\{-1,1\}$ 来说，如果实数 $x\neq\pm1$, 那么它与这个点集的距离 $\delta$ 便不可能是零，从而 $x$ 的邻域 $(x-\delta,x+\delta)$ 便不与 $\{-1,1\}$ 相交。
对于开区间 $(a,b)$, 端点 $a,b$ 都是它的聚点。
定义 4 闭包
$E$ 的接触点的全体称为 $E$ 的闭包（closure）, 常常记为 $\bar E$.
定义 5 稠密
如果集合 $E\subset F$, 而 $\bar E\supset F$, 则称 $E$ 在 $F$ 中稠密（$E$ is dense in $F$）.
有如下定理：
定理 3
$E$ 的闭包是包含 $E$ 的所有闭集之交。
实际上，如果 $C$ 是包含 $E$ 的闭集，那么 $\mathbb{R}\setminus C$ 是包含于 $\mathbb{R}\setminus E$ 的开集，因此任意一点 $x\in\mathbb{R}\setminus C$ 都有开邻域 $U(x)\subset\mathbb{R}\setminus C$, 而这开邻域显然同 $E$ 不相交。这表示任意的 $x\in\mathbb{R}\setminus C$ 都不是 $E$ 的接触点，或者反过来说，$E$ 的接触点集必然包含于 $C$.
有如下显然的推论：
推论 1
集合 $E\subset\mathbb{R}$ 为闭集，当且仅当它的闭包等于它自己。
最后：
定理 4 稠密性
任何点集 $E\subset\mathbb{R}$ 都有可数的稠密子集。
实际上，从所有端点为有理数的开区间同 $E$ 的交集中选出一个点（如果交集非空）, 即可组成 $E$ 的可数的稠密子集 $H$.
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