实数集的拓扑

             

贡献者: DTSIo; addis

预备知识 上确界与下确界

1. 开集与闭集

   首先给出如下定义.

定义 1 开集与闭集

   设 $x$ 是实数.任意包含 $x$ 的开区间 $U(x)$ 都称作 $x$ 的一个开邻域(open neighbourhood). 如果将点 $x$ 挖去,得到的集合称为 $x$ 的去心邻域(deleted neighbourhood), 常记为 $\mathring U(x)$.

   实数集 $\mathbb{R}$ 的子集 $U$ 称为开集(open set), 如果对于任意 $x\in U$, 都存在 $x$ 的开邻域 $V(x)$ 使得 $V(x)\subset U$.

   实数集 $\mathbb{R}$ 的子集 $C$ 称为闭集(closed set), 如果 $\mathbb{R}\setminus C$ 是开集.

   规定空集既是开集也是闭集.

   注意,按照这个定义,有许多集合不是开集也不是闭集.直观上来说,开集的"开"在于包含每个点的邻域,而闭集的"闭"在于它的接触点无法跑出它的范围(下详).

   容易证明如下性质:

定理 1 开集和闭集的运算

   任意多个开集的并集仍然是开集.有限多个开集的交集仍然是开集.

   等价地,任意多个闭集的交集仍然是闭集.有限多个闭集的并集仍然是闭集.

习题 1 

   证明这个定理.提示:设 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ 是一族开集,那么若 $x\in \cup_{\alpha\in A}U_\alpha$, 则必定有一 $\alpha$ 使得 $x\in U_\alpha$. 如果 $U_1,...,U_n$ 是有限多个开集,$x\in\cap_{k=1}^nU_k$, 而 $V^k(x)$ 是 $x$ 的包含在 $U^k(x)$ 中的开邻域,那么 $\cap_{k=1}^nV^k(x)$ 还是 $x$ 的开邻域.

习题 2 

   在证明"有限多开集的交集还是开集"时,"有限"这个条件究竟被用在哪里?可以参考下面的例子.

例 1 例子

   在实数轴上,任何开区间本身都是开集.根据下面给出的开集结构定理,开集总是可数个互不相交的开区间的并.

   实数轴上单独一点构成的集合是闭集.以此类推,有限多个点构成的集合是闭集.整数集合 $\mathbb{Z}$ 是闭集,因为它的补集是 $\cup_{k\in\mathbb{Z}}(k,k+1)$. 闭区间 $[a,b]$ 是闭集,因为它的补集是 $(-\infty,a]\cup[b,\infty)$; 另外,它不是开集,因为点 $a$ 的任何邻域都有不包含于闭区间 $[a,b]$ 的部分.

例 2 反例

   无限多个开集的交集不一定是开集.例如,设开区间 $U_k=(-1/k,1/k)$, 那么 $\cap_{k=1}^\infty=\{0\}$. 相应地,无限多个闭集的并集也不一定是闭集,例如,设闭区间 $I_k=[0,1-1/k]$, 则 $\cup_{k=1}^\infty I_k=[0,1)$, 它不是开集也不是闭集.

   一个更不平凡的例子是有理数集 $\mathbb{Q}$. 它是可数多个单点集合的并集.但由于有理数集在实数集中稠密,它既不是开集也不是闭集.

   粗略地说,在一个集合上给定拓扑,就是给定一个衡量元素之间的"远近关系"的尺度.在实数集 $\mathbb{R}$ 中,一个给定的实数 $x$ 的全体开邻域就划定了距离这个实数的"远近关系". 如上定义的开集的全体符合抽象的拓扑的定义; 详见词条拓扑空间.

定义 2 子集上的拓扑

   设 $E\subset\mathbb{R}$ 是实数集的非空子集.称形如 $E\cap U$ 的集合为在 $E$ 中开(这里 $U\subset\mathbb{R}$ 是开集), 形如 $E\cap C$ 的集合为在 $E$ 中闭(这里 $C\subset\mathbb{R}$ 是闭集). 对于点 $x\in E$, 称形如 $E\cap U(x)$ 的集合为 $x$ 在 $E$ 中的邻域(这里 $U(x)$ 是包含 $x$ 的开区间), 而形如 $E\cap \mathring U(x)$ 的集合为 $x$ 在 $E$ 中的去心邻域.

2. 开集的结构

   在实数集 $\mathbb{R}$ 中,开集的结构可以被清楚地刻画出来.首先引入一个定义:包含于非空开集 $G\subset\mathbb{R}$ 中的开区间 $(a,b)$ 称为一个分支(component), 如果端点 $a,b\notin G$. 容易看出,任何非空开集中的两个分支一定不相交.

定理 2 实数集中开集的结构

   每一个非空开集 $G\subset\mathbb{R}$ 都是至多可数个分支的并集.

   证明. 首先注意到任何一点 $x\in\mathbb{R}$ 都一定属于某个分支 $U$: 这个分支是所有包含在 $G$ 中且包含 $x$ 的开区间的并集.为了说明它符合分支的定义,首先注意到 $U$ 当然是个区间.进一步,可以反设,例如,$U$ 的左端点 $a\in G$; 那么有 $a$ 的开邻域 $U(a)\subset G$, 从而 $U(a)\cup U$ 也是包含 $x$ 的区间,但它严格包含了 $U$, 同 $U$ 的定义相违背.

   接下来,按照这个推理,注意到 $G$ 中的任何有理数 $r$ 都属于某个分支 $U_r$. 这些分支或者不相交,或者重合.由此,$G$ 的全体分支被 $G$ 中所包含的有理数所标记,从而分支的个数一定是至多可数的.证毕.

   这个定理显示出:在实数集中,既开又闭的非空集合只能是实数集本身.

3. 距离,接触点与闭包

   实数集 $\mathbb{R}$ 是一个度量空间(metric space). 关于一般的度量空间理论,详见词条度量空间. 在实数集上,最自然的度量是绝对值函数 $d(x,y)=|x-y|$, 它显然满足如下三条性质:

   显然,开区间 $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ 恰好等同于集合 $$ \{x:|x-x_0|<\delta\}. $$ 在这种情况下,我们说实数集的拓扑是由这个度量诱导得到的.

定义 3 接触点

   给定点集 $E\subset\mathbb{R}$, 函数 $$ \text{dist}(x;E):=\inf_{y\in E}|x-y| $$ 称为到点集 $E$ 的距离函数(distance function). 与 $E$ 的距离为零的点称为 $E$ 的接触点(contact point).

   $x$ 是 $E$ 的接触点,当且仅当 $x$ 的任何邻域都与 $E$ 有非空交集.实际上,$\inf_{y\in E}|x-y|=0$ 等价于如下命题:任何 $\delta > 0$ 都不是数集 $\{|x-y|:y\in E\}$ 的下界,或者换句话说,对于任何一个 $\delta > 0$, 都存在 $y_\delta\in E$ 使得 $|x-y_\delta| < \delta$. 这恰好等价于"$x$ 的任何邻域都与 $E$ 有非空交集".

   如果点 $x$ 的每个去心邻域都与 $E$ 相交,那么称 $x$ 是 $E$ 的聚点(accumulation point). 显然,聚点是接触点,但反过来不一定:$x$ 是 $E$ 的聚点意味着 $x$ 周围有无穷多个属于 $E$ 的点.与聚点相对立的是孤立点(isolated point): 它本身是 $E$ 的元素,但它的某个邻域里不再有 $E$ 的其它元素.

例 3 接触点与聚点

   有限点集只有孤立点而没有聚点.例如对于点集 $\{-1,1\}$ 来说,如果实数 $x\neq\pm1$, 那么它与这个点集的距离 $\delta$ 便不可能是零,从而 $x$ 的邻域 $(x-\delta,x+\delta)$ 便不与 $\{-1,1\}$ 相交.

   对于开区间 $(a,b)$, 端点 $a,b$ 都是它的聚点.

定义 4 闭包

   $E$ 的接触点的全体称为 $E$ 的闭包(closure), 常常记为 $\bar E$.

定义 5 稠密

   如果集合 $E\subset F$, 而 $\bar E\supset F$, 则称 $E$ 在 $F$ 中稠密($E$ is dense in $F$).

   有如下定理:

定理 3 

   $E$ 的闭包是包含 $E$ 的所有闭集之交.

   实际上,如果 $C$ 是包含 $E$ 的闭集,那么 $\mathbb{R}\setminus C$ 是包含于 $\mathbb{R}\setminus E$ 的开集,因此任意一点 $x\in\mathbb{R}\setminus C$ 都有开邻域 $U(x)\subset\mathbb{R}\setminus C$, 而这开邻域显然同 $E$ 不相交.这表示任意的 $x\in\mathbb{R}\setminus C$ 都不是 $E$ 的接触点,或者反过来说,$E$ 的接触点集必然包含于 $C$.

   有如下显然的推论:

推论 1 

   集合 $E\subset\mathbb{R}$ 为闭集,当且仅当它的闭包等于它自己.

   最后:

定理 4 稠密性

   任何点集 $E\subset\mathbb{R}$ 都有可数的稠密子集.

   实际上,从所有端点为有理数的开区间同 $E$ 的交集中选出一个点(如果交集非空), 即可组成 $E$ 的可数的稠密子集 $H$.


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