实数集的拓扑

贡献者： DTSIo

1. 开集与闭集

　　 首先给出如下定义。

　　 注意，按照这个定义，有许多集合不是开集也不是闭集。直观上来说，开集的"开"在于包含每个点的邻域，而闭集的"闭"在于它的接触点无法跑出它的范围（下详）.

　　 容易证明如下性质：

　　 粗略地说，在一个集合上给定拓扑，就是给定一个衡量元素之间的"远近关系"的尺度。在实数集 $\mathbb{R}$ 中，一个给定的实数 $x$ 的全体开邻域就划定了距离这个实数的"远近关系". 如上定义的开集的全体符合抽象的拓扑的定义; 详见文章拓扑空间.

2. 开集的结构

　　 在实数集 $\mathbb{R}$ 中，开集的结构可以被清楚地刻画出来。首先引入一个定义：包含于非空开集 $G\subset \mathbb{R}$ 中的开区间 $(a,b)$ 称为一个分支（component）, 如果端点 $a,b\notin G$. 容易看出，任何非空开集中的两个分支一定不相交。

　　 证明。 首先注意到任何一点 $x\in \mathbb{R}$ 都一定属于某个分支 $U$: 这个分支是所有包含在 $G$ 中且包含 $x$ 的开区间的并集。为了说明它符合分支的定义，首先注意到 $U$ 当然是个区间。进一步，可以反设，例如，$U$ 的左端点 $a\in G$; 那么有 $a$ 的开邻域 $U(a)\subset G$, 从而 $U(a)\cup U$ 也是包含 $x$ 的区间，但它严格包含了 $U$, 同 $U$ 的定义相违背。

　　 接下来，按照这个推理，注意到 $G$ 中的任何有理数 $r$ 都属于某个分支 $U_r$. 这些分支或者不相交，或者重合。由此，$G$ 的全体分支被 $G$ 中所包含的有理数所标记，从而分支的个数一定是至多可数的。证毕。

　　 这个定理显示出：在实数集中，既开又闭的非空集合只能是实数集本身。

3. 距离，接触点与闭包

　　 实数集 $\mathbb{R}$ 是一个度量空间（metric space）. 关于一般的度量空间理论，详见文章度量空间. 在实数集上，最自然的度量是绝对值函数 $d(x,y)=|x-y|$, 它显然满足如下三条性质：

• $|x-y|=0$ 当且仅当 $x=y$.
• $|x-y|=|y-x|$.
• 三角不等式：对于 $x,y,z\in \mathbb{R}$, 总有 $$|x-z|\le |x-y|+|y-z|.$$

　　 显然，开区间 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$ 恰好等同于集合 $$\{x:|x-x_0|<\delta \}.$$ 在这种情况下，我们说实数集的拓扑是由这个度量诱导得到的。

　　 $x$ 是 $E$ 的接触点，当且仅当 $x$ 的任何邻域都与 $E$ 有非空交集。实际上，$\underset{y\in E}{inf}|x-y|=0$ 等价于如下命题：任何 $\delta >0$ 都不是数集 $\{|x-y|:y\in E\}$ 的下界，或者换句话说，对于任何一个 $\delta >0$, 都存在 $y_{\delta }\in E$ 使得 $|x-y_{\delta }|<\delta$. 这恰好等价于"$x$ 的任何邻域都与 $E$ 有非空交集".

　　 如果点 $x$ 的每个去心邻域都与 $E$ 相交，那么称 $x$ 是 $E$ 的聚点（accumulation point）. 显然，聚点是接触点，但反过来不一定：$x$ 是 $E$ 的聚点意味着 $x$ 周围有无穷多个属于 $E$ 的点。与聚点相对立的是孤立点（isolated point）: 它本身是 $E$ 的元素，但它的某个邻域里不再有 $E$ 的其它元素。

　　 有如下定理：

　　 实际上，如果 $C$ 是包含 $E$ 的闭集，那么 $\mathbb{R}\setminus C$ 是包含于 $\mathbb{R}\setminus E$ 的开集，因此任意一点 $x\in \mathbb{R}\setminus C$ 都有开邻域 $U(x)\subset \mathbb{R}\setminus C$, 而这开邻域显然同 $E$ 不相交。这表示任意的 $x\in \mathbb{R}\setminus C$ 都不是 $E$ 的接触点，或者反过来说，$E$ 的接触点集必然包含于 $C$.

　　 有如下显然的推论：

　　 最后：

　　 实际上，从所有端点为有理数的开区间同 $E$ 的交集中选出一个点（如果交集非空）, 即可组成 $E$ 的可数的稠密子集 $H$.