贡献者： 零穹
在共轭空间中可以定义拓扑使之成为拓扑线性空间，一种最自然的方法就是从赋范空间获得启示，由之在共轭空间上定义的拓扑便是强拓扑。
1. 赋范空间中的强拓扑
由例 1 可知，赋范空间是一个拓扑线性空间，因此其上自然由线性连续泛函的定义。而赋范空间上根据
\begin{equation}
\left\lVert f \right\rVert :=\sup_{x\neq0}\frac{ \left\lvert f(x) \right\rvert }{ \left\lVert x \right\rVert }~
\end{equation}
可引入线性连续泛函的范数，证明
式 1 满足
范数的定义和
例 1 的证明完全一样。因此赋范空间的共轭空间可赋予赋范空间的自然结构。范数可以用来定义度量，度量有一个自然定义开集的方式，即在赋范空间上有一个自然定义的拓扑，在赋范空间的共轭空间中这样定义的拓扑就是强拓扑。
定义 1 强拓扑
设 $E$ 是赋范空间，则其共轭空间 $E^*$ 上由式 1 定义的范数相应的拓扑称为 $E^*$ 的强拓扑。
当希望把 $E^*$ 当作赋范空间时，我们将其写作 $(E^*, \left\lVert * \right\rVert )$。
定理 1
设 $E$ 是赋范空间，则 $(E^*, \left\lVert * \right\rVert )$ 是完备的。
证明：设 $\{f_n\}$ 是线性连续泛函的柯西序列（定义 1 ）。那么对任意 $\epsilon>0$，存在 $N$，使得对所有的 $n,m>N$ 有 $ \left\lVert f_n-f_m \right\rVert <\epsilon$。由此，对任意 $x\in E$ 得到
\begin{equation}
\left\lvert f_n(x)-f_m(x) \right\rvert \leq \left\lVert f_n-f_m \right\rVert \cdot \left\lVert x \right\rVert <\epsilon \left\lVert x \right\rVert ,~
\end{equation}
即对任意 $x\in E$，数列 $\{f_n(x)\}$ 收敛（$ \left\lVert x \right\rVert $ 是某一确定的实数，而 $\epsilon$ 任意）。
令 $f(x):=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_n(x)$。则由
\begin{equation}
\begin{aligned}
f(\alpha x+\beta y)=&\lim_{n\rightarrow\infty}(\alpha x+\beta y)\\
=&\lim_{n\rightarrow\infty} \left[\alpha f_n(x)+\beta f_n(y) \right] \\
=&\alpha f(x)+\beta f(y),
\end{aligned}~
\end{equation}
得 $f$ 是线性的。此外，取
式 2 的 $m\rightarrow\infty$，则
\begin{equation}
\left\lvert f(x)-f_n(x) \right\rvert \leq \epsilon \left\lVert x \right\rVert .~
\end{equation}
由此得 $f-f_n$ 有界（$ \left\lVert x \right\rVert $ 有限，$\epsilon>0$ 任意）。因而 $f=f_n+(f-f_n)$ 有界（$\{f_n(x)\}$ 对任意 $x$ 收敛）。由
定理 3 ，$f$ 连续。另外，由
式 4 得 $ \left\lVert f-f_n \right\rVert \leq\epsilon$，即 $\{f_n\}$ 收敛于 $f$。
证毕！
该定理表明，无论赋范空间是否完备，其共轭空间都完备。
定理 2
若赋范空间 $E$ 不完备，而 $\bar{E}$ 是 $E$ 的完备化空间，则 $E^*,\bar{E}^*$ 同构。
证明： 因为 $\bar{E}$ 是 $E$ 的完备化空间，所以对任一 $x\in \bar{E}$，存在 $E$ 中的收敛于 $x$ 的序列 $\{x_n\}$（由定理 1 ，它是柯西序列）。设 $f$ 是 $E$ 上的线性连续泛函，则 $\{f(x_n)\}$ 是柯西数列，因而必收敛（实数集上的柯西序列必收敛），定义 $\bar f(x):=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)$，则 $\bar f$ 就是 $f$ 在 $\bar E$ 上的连续延拓。
该延拓是唯一的，否则存在 $x\in \bar E\backslash E$，使得 $\bar f(x)\neq g(x)$，而由 $E$ 中收敛到 $x$ 的柯西序列 $\{x_n\}$，恒有 $\bar f(x_n)=g(x_n)$，取极限就是 $\bar f(x)=g(x)$，这一矛盾就说明连续延拓是唯一的。显然 $\bar f\in(\bar E)^*$，且 $ \left\lVert \bar f \right\rVert = \left\lVert f \right\rVert $（由式 1 推得）。
另外，任一 $(\bar E)^*$ 中的线性连续泛函是其在 $E$ 上限制得到的泛函的延拓，因此，映射 $f\mapsto\bar f$ 是 $E$ 到 $(\bar E)^*$ 的同构映射。事实上，$f\mapsto\bar f$ 的线性性质可通过
\begin{equation}
\begin{aligned}
&f(x_n)+g(x_n)-(\bar f(x)+\bar g(x))\\
&=(f(x_n)-\bar f(x))+(g(x_n)-\bar g(x))\\
&<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon
\end{aligned}~
\end{equation}
获得。
证毕！
2. 拓扑线性空间的强拓扑
我们看到，赋范空间中的强拓扑是由于式 1 定义了其共轭空间上的范数引进的。在强拓扑下，赋范空间的共轭空间也是拓扑线性空间。赋范空间的共轭空间的零邻域自然定义为满足条件
\begin{equation}
\left\lVert f \right\rVert <\epsilon~
\end{equation}
的泛函的集合。
由式 1 $ \left\lVert f \right\rVert \left\lVert x \right\rVert \geq \left\lvert f(x) \right\rvert ,x\neq0$。因此，零邻域的定义相当于说：当 $x$ 遍历单位球 $ \left\lVert x \right\rVert =1$ 时，我们把 $ \left\lvert f(x) \right\rvert <\epsilon$ 的线性泛函取为赋范空间的共轭空间的零邻域。取所有可能的 $\epsilon$，便得到确定零邻域系1。由于拓扑线性空间的拓扑由零邻域系完全确定（定理 1 ），所以这一确定零邻域系给出了赋范空间的共轭空间的拓扑。
对应到一般的拓扑线性空间 $E$，单位球面自然被任意有界集 $A$ 代替，而 $E^*$ 的零邻域则定义为满足 $ \left\lvert f(x) \right\rvert <\epsilon,x\in A$ 的线性泛函的集合。
定义 2 共轭空间的零邻域
设 $E^*$ 是拓扑线性空间 $E$ 的共轭空间，$A\subset E$ 中的有界集，$\epsilon>0$ 是任一数，则称
\begin{equation}
U_{\epsilon,A}=\{f|f\text{是 $E$ 的线性连续泛函且} \left\lvert f(x) \right\rvert <\epsilon\}~
\end{equation}
是 $E^*$ 的（在 $A$ 上的 $\epsilon$）
零邻域。
类似的，采用不同的 $\epsilon,A$，变得到了共轭空间中的确定零邻域系，它们可以确定共轭空间的拓扑，这一拓扑称为共轭空间的强拓扑。
定义 3 强拓扑
设 $E^*$ 是拓扑线性空间 $E$ 的共轭空间，$A\subset E$ 中的有界集。则称
\begin{equation}
\{U_{\epsilon,A}|A\text{有界},\epsilon>0\}~
\end{equation}
确定的 $E^*$ 上的拓扑为 $E^*$ 的
强拓扑。
定理 3 强拓扑满足第一分离公理与局部凸
$E^*$ 的强拓扑必定满足第一分离公理 $T_1$ 和局部凸性。
1. ^ 即任一包含零的开集，都有该邻域系的一个包含在该开集中，由于范数定义的开集必然包含某一开球，所以文中所有可能的 $\epsilon$ 对应的系确实是确定邻域系
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。