共轭空间中的强拓扑

                     

贡献者: 零穹

预备知识 共轭空间与代数共轭空间,线性算子的范数

   在共轭空间中可以定义拓扑使之成为拓扑线性空间,一种最自然的方法就是从赋范空间获得启示,由之在共轭空间上定义的拓扑便是强拓扑。

1. 赋范空间中的强拓扑

   由例 1 可知,赋范空间是一个拓扑线性空间,因此其上自然由线性连续泛函的定义。而赋范空间上根据

\begin{equation} \left\lVert f \right\rVert :=\sup_{x\neq0}\frac{ \left\lvert f(x) \right\rvert }{ \left\lVert x \right\rVert }~ \end{equation}
可引入线性连续泛函的范数,证明式 1 满足范数的定义和例 1 的证明完全一样。因此赋范空间的共轭空间可赋予赋范空间的自然结构。范数可以用来定义度量,度量有一个自然定义开集的方式,即在赋范空间上有一个自然定义的拓扑,在赋范空间的共轭空间中这样定义的拓扑就是强拓扑。

定义 1 强拓扑

   设 $E$ 是赋范空间,则其共轭空间 $E^*$ 上由式 1 定义的范数相应的拓扑称为 $E^*$ 的强拓扑

   当希望把 $E^*$ 当作赋范空间时,我们将其写作 $(E^*, \left\lVert * \right\rVert )$。

定理 1 

   设 $E$ 是赋范空间,则 $(E^*, \left\lVert * \right\rVert )$ 是完备的。

   证明:设 $\{f_n\}$ 是线性连续泛函的柯西序列(定义 1 )。那么对任意 $\epsilon>0$,存在 $N$,使得对所有的 $n,m>N$ 有 $ \left\lVert f_n-f_m \right\rVert <\epsilon$。由此,对任意 $x\in E$ 得到

\begin{equation} \left\lvert f_n(x)-f_m(x) \right\rvert \leq \left\lVert f_n-f_m \right\rVert \cdot \left\lVert x \right\rVert <\epsilon \left\lVert x \right\rVert ,~ \end{equation}
即对任意 $x\in E$,数列 $\{f_n(x)\}$ 收敛($ \left\lVert x \right\rVert $ 是某一确定的实数,而 $\epsilon$ 任意)。

   令 $f(x):=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f_n(x)$。则由

\begin{equation} \begin{aligned} f(\alpha x+\beta y)=&\lim_{n\rightarrow\infty}(\alpha x+\beta y)\\ =&\lim_{n\rightarrow\infty} \left[\alpha f_n(x)+\beta f_n(y) \right] \\ =&\alpha f(x)+\beta f(y), \end{aligned}~ \end{equation}
得 $f$ 是线性的。此外,取式 2 的 $m\rightarrow\infty$,则
\begin{equation} \left\lvert f(x)-f_n(x) \right\rvert \leq \epsilon \left\lVert x \right\rVert .~ \end{equation}
由此得 $f-f_n$ 有界($ \left\lVert x \right\rVert $ 有限,$\epsilon>0$ 任意)。因而 $f=f_n+(f-f_n)$ 有界($\{f_n(x)\}$ 对任意 $x$ 收敛)。由定理 3 ,$f$ 连续。另外,由式 4 得 $ \left\lVert f-f_n \right\rVert \leq\epsilon$,即 $\{f_n\}$ 收敛于 $f$。

   证毕!

   该定理表明,无论赋范空间是否完备,其共轭空间都完备。

定理 2 

   若赋范空间 $E$ 不完备,而 $\bar{E}$ 是 $E$ 的完备化空间,则 $E^*,\bar{E}^*$ 同构。

   证明: 因为 $\bar{E}$ 是 $E$ 的完备化空间,所以对任一 $x\in \bar{E}$,存在 $E$ 中的收敛于 $x$ 的序列 $\{x_n\}$(由定理 1 ,它是柯西序列)。设 $f$ 是 $E$ 上的线性连续泛函,则 $\{f(x_n)\}$ 是柯西数列,因而必收敛(实数集上的柯西序列必收敛),定义 $\bar f(x):=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}f(x_n)$,则 $\bar f$ 就是 $f$ 在 $\bar E$ 上的连续延拓。

   该延拓是唯一的,否则存在 $x\in \bar E\backslash E$,使得 $\bar f(x)\neq g(x)$,而由 $E$ 中收敛到 $x$ 的柯西序列 $\{x_n\}$,恒有 $\bar f(x_n)=g(x_n)$,取极限就是 $\bar f(x)=g(x)$,这一矛盾就说明连续延拓是唯一的。显然 $\bar f\in(\bar E)^*$,且 $ \left\lVert \bar f \right\rVert = \left\lVert f \right\rVert $(由式 1 推得)。

   另外,任一 $(\bar E)^*$ 中的线性连续泛函是其在 $E$ 上限制得到的泛函的延拓,因此,映射 $f\mapsto\bar f$ 是 $E$ 到 $(\bar E)^*$ 的同构映射。事实上,$f\mapsto\bar f$ 的线性性质可通过

\begin{equation} \begin{aligned} &f(x_n)+g(x_n)-(\bar f(x)+\bar g(x))\\ &=(f(x_n)-\bar f(x))+(g(x_n)-\bar g(x))\\ &<\epsilon/2+\epsilon/2=\epsilon \end{aligned}~ \end{equation}
获得。

   证毕!

2. 拓扑线性空间的强拓扑

   我们看到,赋范空间中的强拓扑是由于式 1 定义了其共轭空间上的范数引进的。在强拓扑下,赋范空间的共轭空间也是拓扑线性空间。赋范空间的共轭空间的零邻域自然定义为满足条件

\begin{equation} \left\lVert f \right\rVert <\epsilon~ \end{equation}
的泛函的集合。

   由式 1 $ \left\lVert f \right\rVert \left\lVert x \right\rVert \geq \left\lvert f(x) \right\rvert ,x\neq0$。因此,零邻域的定义相当于说:当 $x$ 遍历单位球 $ \left\lVert x \right\rVert =1$ 时,我们把 $ \left\lvert f(x) \right\rvert <\epsilon$ 的线性泛函取为赋范空间的共轭空间的零邻域。取所有可能的 $\epsilon$,便得到确定零邻域系1。由于拓扑线性空间的拓扑由零邻域系完全确定(定理 1 ),所以这一确定零邻域系给出了赋范空间的共轭空间的拓扑。

   对应到一般的拓扑线性空间 $E$,单位球面自然被任意有界集 $A$ 代替,而 $E^*$ 的零邻域则定义为满足 $ \left\lvert f(x) \right\rvert <\epsilon,x\in A$ 的线性泛函的集合。

定义 2 共轭空间的零邻域

   设 $E^*$ 是拓扑线性空间 $E$ 的共轭空间,$A\subset E$ 中的有界集,$\epsilon>0$ 是任一数,则称

\begin{equation} U_{\epsilon,A}=\{f|f\text{是 $E$ 的线性连续泛函且} \left\lvert f(x) \right\rvert <\epsilon\}~ \end{equation}
是 $E^*$ 的(在 $A$ 上的 $\epsilon$)零邻域

   类似的,采用不同的 $\epsilon,A$,变得到了共轭空间中的确定零邻域系,它们可以确定共轭空间的拓扑,这一拓扑称为共轭空间的强拓扑。

定义 3 强拓扑

   设 $E^*$ 是拓扑线性空间 $E$ 的共轭空间,$A\subset E$ 中的有界集。则称

\begin{equation} \{U_{\epsilon,A}|A\text{有界},\epsilon>0\}~ \end{equation}
确定的 $E^*$ 上的拓扑为 $E^*$ 的强拓扑

定理 3 强拓扑满足第一分离公理与局部凸

   $E^*$ 的强拓扑必定满足第一分离公理 $T_1$ 和局部凸性


1. ^ 即任一包含零的开集,都有该邻域系的一个包含在该开集中,由于范数定义的开集必然包含某一开球,所以文中所有可能的 $\epsilon$ 对应的系确实是确定邻域系


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