共轭空间中的强拓扑

贡献者：零穹

预备知识　共轭空间与代数共轭空间，线性算子的范数

　　在共轭空间中可以定义拓扑使之成为拓扑线性空间，一种最自然的方法就是从赋范空间获得启示，由之在共轭空间上定义的拓扑便是强拓扑。

1. 赋范空间中的强拓扑

　　由例 1 可知，赋范空间是一个拓扑线性空间，因此其上自然由线性连续泛函的定义。而赋范空间上根据

\begin{matrix} (1) & ‖ f ‖ := sup_{x \neq 0} \frac{| f (x) |}{‖ x ‖} \end{matrix}

可引入线性连续泛函的范数，证明式 1 满足范数的定义和例 1 的证明完全一样。因此赋范空间的共轭空间可赋予赋范空间的自然结构。范数可以用来定义度量，度量有一个自然定义开集的方式，即在赋范空间上有一个自然定义的拓扑，在赋范空间的共轭空间中这样定义的拓扑就是强拓扑。

定义 1　强拓扑

　　设 $E$ 是赋范空间，则其共轭空间 $E^{*}$ 上由式 1 定义的范数相应的拓扑称为 $E^{*}$ 的强拓扑。

　　当希望把 $E^{*}$ 当作赋范空间时，我们将其写作 $(E^{*}, ‖ * ‖)$ 。

定理 1　

　　设 $E$ 是赋范空间，则 $(E^{*}, ‖ * ‖)$ 是完备的。

　　 证明：设 ${f_{n}}$ 是线性连续泛函的柯西序列（定义 1 ）。那么对任意 $ϵ > 0$ ，存在 $N$ ，使得对所有的 $n, m > N$ 有 $‖ f_{n} - f_{m} ‖ < ϵ$ 。由此，对任意 $x \in E$ 得到

\begin{matrix} (2) & | f_{n} (x) - f_{m} (x) | \leq ‖ f_{n} - f_{m} ‖ \cdot ‖ x ‖ < ϵ ‖ x ‖, \end{matrix}

即对任意

x \in E

，数列

{f_{n} (x)}

收敛（

‖ x ‖

是某一确定的实数，而

ϵ

任意）。

　　令 $f (x) := lim_{n \to \infty} f_{n} (x)$ 。则由

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} f (α x + β y) = & lim_{n \to \infty} (α x + β y) \\ = & lim_{n \to \infty} [α f_{n} (x) + β f_{n} (y)] \\ = & α f (x) + β f (y), \end{aligned} \end{matrix}

得

f

是线性的。此外，取式 2 的

m \to \infty

，则

\begin{matrix} (4) & | f (x) - f_{n} (x) | \leq ϵ ‖ x ‖ . \end{matrix}

由此得

f - f_{n}

有界（

‖ x ‖

有限，

ϵ > 0

任意）。因而

f = f_{n} + (f - f_{n})

有界（

{f_{n} (x)}

对任意

x

收敛）。由定理 3 ，

f

连续。另外，由式 4 得

‖ f - f_{n} ‖ \leq ϵ

，即

{f_{n}}

收敛于

f

。

　　 证毕！

　　该定理表明，无论赋范空间是否完备，其共轭空间都完备。

定理 2　

　　若赋范空间 $E$ 不完备，而 $\bar{E}$ 是 $E$ 的完备化空间，则 $E^{*}, {\bar{E}}^{*}$ 同构。

　　 证明： 因为 $\bar{E}$ 是 $E$ 的完备化空间，所以对任一 $x \in \bar{E}$ ，存在 $E$ 中的收敛于 $x$ 的序列 ${x_{n}}$ （由定理 1 ，它是柯西序列）。设 $f$ 是 $E$ 上的线性连续泛函，则 ${f (x_{n})}$ 是柯西数列，因而必收敛（实数集上的柯西序列必收敛），定义 $\bar{f} (x) := lim_{n \to \infty} f (x_{n})$ ，则 $\bar{f}$ 就是 $f$ 在 $\bar{E}$ 上的连续延拓。

　　该延拓是唯一的，否则存在 $x \in \bar{E} ∖ E$ ，使得 $\bar{f} (x) \neq g (x)$ ，而由 $E$ 中收敛到 $x$ 的柯西序列 ${x_{n}}$ ，恒有 $\bar{f} (x_{n}) = g (x_{n})$ ，取极限就是 $\bar{f} (x) = g (x)$ ，这一矛盾就说明连续延拓是唯一的。显然 $\bar{f} \in (\bar{E})^{*}$ ，且 $‖ \bar{f} ‖ = ‖ f ‖$ （由式 1 推得）。

　　另外，任一 $(\bar{E})^{*}$ 中的线性连续泛函是其在 $E$ 上限制得到的泛函的延拓，因此，映射 $f \mapsto \bar{f}$ 是 $E$ 到 $(\bar{E})^{*}$ 的同构映射。事实上， $f \mapsto \bar{f}$ 的线性性质可通过

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} f (x_{n}) + g (x_{n}) - (\bar{f} (x) + \bar{g} (x)) \\ = (f (x_{n}) - \bar{f} (x)) + (g (x_{n}) - \bar{g} (x)) \\ < ϵ / 2 + ϵ / 2 = ϵ \end{aligned} \end{matrix}

获得。

　　 证毕！

2. 拓扑线性空间的强拓扑

　　我们看到，赋范空间中的强拓扑是由于式 1 定义了其共轭空间上的范数引进的。在强拓扑下，赋范空间的共轭空间也是拓扑线性空间。赋范空间的共轭空间的零邻域自然定义为满足条件

\begin{matrix} (6) & ‖ f ‖ < ϵ \end{matrix}

的泛函的集合。

　　由式 1 $‖ f ‖ ‖ x ‖ \geq | f (x) |, x \neq 0$ 。因此，零邻域的定义相当于说：当 $x$ 遍历单位球 $‖ x ‖ = 1$ 时，我们把 $| f (x) | < ϵ$ 的线性泛函取为赋范空间的共轭空间的零邻域。取所有可能的 $ϵ$ ，便得到确定零邻域系¹。由于拓扑线性空间的拓扑由零邻域系完全确定（定理 1 ），所以这一确定零邻域系给出了赋范空间的共轭空间的拓扑。

　　对应到一般的拓扑线性空间 $E$ ，单位球面自然被任意有界集 $A$ 代替，而 $E^{*}$ 的零邻域则定义为满足 $| f (x) | < ϵ, x \in A$ 的线性泛函的集合。

定义 2　共轭空间的零邻域

　　设 $E^{*}$ 是拓扑线性空间 $E$ 的共轭空间， $A \subset E$ 中的有界集， $ϵ > 0$ 是任一数，则称

\begin{matrix} (7) & U_{ϵ, A} = {f | f 是 E 的线性连续泛函且 | f (x) | < ϵ} \end{matrix}

是

E^{*}

的（在

A

上的

ϵ

）零邻域。

　　类似的，采用不同的 $ϵ, A$ ，变得到了共轭空间中的确定零邻域系，它们可以确定共轭空间的拓扑，这一拓扑称为共轭空间的强拓扑。

定义 3　强拓扑

　　设 $E^{*}$ 是拓扑线性空间 $E$ 的共轭空间， $A \subset E$ 中的有界集。则称

\begin{matrix} (8) & {U_{ϵ, A} | A 有界, ϵ > 0} \end{matrix}

确定的

E^{*}

上的拓扑为

E^{*}

的强拓扑。

定理 3　强拓扑满足第一分离公理与局部凸

　　 $E^{*}$ 的强拓扑必定满足第一分离公理 $T_{1}$ 和局部凸性。

1. ^ 即任一包含零的开集，都有该邻域系的一个包含在该开集中，由于范数定义的开集必然包含某一开球，所以文中所有可能的 $ϵ$ 对应的系确实是确定邻域系

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共轭空间中的强拓扑

1. 赋范空间中的强拓扑

定义 1 强拓扑

定理 1

定理 2

2. 拓扑线性空间的强拓扑

定义 2 共轭空间的零邻域

定义 3 强拓扑

定理 3 强拓扑满足第一分离公理与局部凸

定义 1　强拓扑

定理 1　

定理 2　

定义 2　共轭空间的零邻域

定义 3　强拓扑

定理 3　强拓扑满足第一分离公理与局部凸