线性连续泛函

贡献者：零穹

预备知识　拓扑向量空间，泛函与线性泛函

　　 [1] 拓扑线性（或拓扑向量）空间的拓扑空间性质表明其上映射的连续性具有基本的重要性，而其线性空间性表明线性映射具有基本的重要性。因此，拓扑线性空间上的线性连续映射具有基本的重要性。特别，对拓扑线性空间上的泛函，线性连续泛函具有基本的重要性。

定义 1　连续

　　设 $f$ 是拓扑线性空间 $E$ 上的线性泛函。若对任意 $x_{0} \in E, 0 < ϵ \in R$ ，存在 $x_{0}$ 的邻域 $U$ ，使得 $x \in U$ 就有

\begin{matrix} (1) & | f (x) - f (x_{0}) | < ϵ, \end{matrix}

则称

f

是线性连续泛函。

　　一般定义映射的连续，往往是先定义映射在一点的连续。然而上面的定义是对每一点都连续，而没有事先定义在一点的连续。事实上，在拓扑线性空间中，线性映射在一点连续必定在全空间连续。这由下面的定理指定。

定理 1　在一点处连续的线性泛函处处连续

　　设线性泛函 $f$ 在某一点 $x \in E$ 处连续，则 $f$ 必定在 $E$ 上处处连续。

　　 证明：由定理 1 ，设 $U$ 是 $x$ 的满足式 1 的邻域，于是 $U - x$ 是零邻域，从而 $V = U - x + y = U + (y - x)$ 是（任一点） $y$ 的邻域。因此，若 $z \in V$ ，则 $z + x - y \in U$ ，进而

\begin{matrix} (2) & | f (z) - f (y) | = | f (z - y + x) - f (x) | < ϵ . \end{matrix}

即验证线性泛函在点

y

的连续性，只需要验证在某一点

x

的连续性即可。

　　 证毕！

定理 2　有限维的线性泛函必连续

　　设 $E$ 是有限维的拓扑向量空间，则 $E$ 中的任何线性泛函必定连续。

　　 证明：设 $e_{1}, \dots, e_{n}$ 是 $E$ 的基矢，于是对任意 $ϵ > 0$ ，要

\begin{matrix} (3) & f (x) - f (x_{0}) = \sum_{i = 1}^{n} Δ x_{0}^{i} f (e_{i}) < ϵ, Δ x^{i} = x^{i} - x_{0}^{i} \end{matrix}

只需取

\sum_{i = 1}^{n} Δ x_{0}^{i} < \frac{ϵ}{M}

即可，其中

M = max {| f (e_{i}) |}_{i = 1, \dots, n}

。从而

x_{0}

的邻域可以这样选择：由于

‖ x - x_{0} ‖ \leq \sum_{i = 1}^{n} | Δ x_{0}^{i} | ‖ e_{i} ‖ \leq m \sum_{i = 1}^{n} | Δ x_{0}^{i} |

，其中

m = max {‖ e_{i} ‖}_{i = 1, \dots, n}

。因此只需选择

x_{0}

的

\frac{ϵ}{M m}

开球邻域，则式 3 成立。

　　 证毕！

定理 3　

　　拓扑线性空间 $E$ 上线性泛函 $f$ 连续的充要条件是：存在 $E$ 中零邻域，使得 $f$ 在该邻域上有界。

　　 证明：必要性：设 $f$ 在点 0 连续，则由线性泛函连续的定义，那么对任意 $ϵ > 0$ ，存在零邻域，在该邻域上 $| f (x) | < ϵ$ （注意 $f (0) = 0$ ）。

　　 充分性：设 $U$ 是使得 $f$ 有界的零邻域，即 $| f (U) | < C$ ， $C$ 是某一正数。并设 $ϵ > 0$ ，则 $\frac{ϵ}{C} U$ 是这样的零邻域，在其上 $| f (x) | < ϵ$ 。即 $f$ 在点 0 处连续，于是由定理 1 ， $f$ 在 $E$ 上处处连续。

　　 证毕！

[1] ^ A.H.柯尔莫哥洛夫，C.B.佛明.函数论与泛函分析初步（段虞荣等译）第七版

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

线性连续泛函

定义 1 连续

定理 1 在一点处连续的线性泛函处处连续

定理 2 有限维的线性泛函必连续

定理 3

定义 1　连续

定理 1　在一点处连续的线性泛函处处连续

定理 2　有限维的线性泛函必连续

定理 3　