共轭算子

                     

贡献者: 零穹

预备知识 共轭空间与代数共轭空间,拓扑线性空间中的线性算子

   设 $E,E_1$ 是拓扑线性空间,$A$ 是 $E$ 到 $E_1$ 的线性连续算子,$g$ 是 $E_1$ 上的线性连续泛函,即 $g\in$ $ E_1^*$,则由映射连续和线性的传递性,$gA$ 是 $E$ 上的线性连续泛函,即 $gA\in E^*$。因此,在线性连续算子 $A$ 的作用下,每一 $E_1$ 上的线性连续泛函 $g\in E_1^*$ 都对应一个泛函 $gA\in E^*$。即得从 $E_1^*$ 到 $E^*$ 的某个算子,这就是所谓的算子 $A$ 的共轭算子。

定义 1 共轭算子

   设 $A$ 是线性拓扑空间 $E$ 到 $E_1$ 的线性连续算子,则称映射 $E_1^*\rightarrow E^*:g\mapsto gA$ 为 $A$ 的共轭算子,记作 $A^*$。

定义 2 符号约定

   设 $f$ 是泛函,则记 $(f,x):=f(x)$。

定理 1 

   设 $A$ 是线性连续算子,则

\begin{equation} (g,Ax)=(A^* g,x).~ \end{equation}

   证明:由共轭算子定义 1 ,有

\begin{equation} A^*g=gA.~ \end{equation}
于是
\begin{equation} (A^*g,x)=(gA,x)=g(Ax)=(g,Ax).~ \end{equation}

   证毕! 式 1 往往被用作共轭算子的定义。

例 1 有限维空间的共轭算子

   设 $A:\mathbb R^n\rightarrow\mathbb R^m$ 是线性连续算子,则

\begin{equation} A(E_1 X)=A(E_1)X=E_2 \bar AX.~ \end{equation}
其中 $E_1=(e_1,\cdots,e_n)$ 是 $\mathbb R^n$ 的基,$E_2=(e'_1,\cdots,e'_n)$ 是 $\mathbb R^m$ 的基,$X=(x_1,\cdots,x_n)^T$ 是矢量 $E_1X\in\mathbb R^n$ 在基 $E_1$ 下的坐标,$\bar A$ 为算子 $A$ 在两基底下对应的矩阵。设 $f$ 是 $\mathbb R^m$ 上的线性连续泛函,则由共轭算子定义,
\begin{equation} A^*f=fA.~ \end{equation}
因此
\begin{equation} \begin{aligned} (A^*f)(E_1)X&=A^*f(E_1X)=(fA)(E_1X)\\ &=f(E_2 \bar AX)=f(E_2)\bar AX \end{aligned}.~ \end{equation}
从而 $(A^*f)(E_1)=f(E_2)\bar A=\bar A^T f(E_2)^T$,注意 $f(E_2)^T$ 是 $f$ 在 ${\mathbb R^m}^*$ 中的坐标,因此该式表明在 $A^*$ 的作用下,$f$ 的坐标变换由矩阵 $\bar A^T$ 作用,即 $A^*$ 对应的矩阵是 $A$ 矩阵的转置。

1. 性质

定理 2 

   设 $A,B$ 是连续线性算子,则成立:

  1. $A^*$ 是线性的;
  2. $(A+B)^*=A^*+B^*$;
  3. $(\alpha A)^*=\alpha A^*$。

   证明:定义 1

\begin{equation} \begin{aligned} A^*(\alpha f+\beta g)&=(\alpha f+\beta g)A\\ &=\alpha fA+\beta gA\\ &=\alpha A^*f+\beta A^*g. \end{aligned}~ \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} (A+B)^*(f)&=f(A+B)=fA+fB\\ &=A^*f+B^*f=(A^*+B^*)f. \end{aligned}~ \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} (\alpha A)^*(f)&=f(\alpha A)=\alpha fA=\alpha A^*f. \end{aligned}~ \end{equation}
其中用到了 $f(\alpha A+\beta B)=\alpha fA+\beta fB$,这是因为
\begin{equation} \begin{aligned} f(\alpha A+\beta B)(x)&=f(\alpha A(x)+\beta B(x))\\ &=\alpha fA(x)+\beta fB(x)\\ &=(\alpha fA+\beta fB)(x). \end{aligned}~ \end{equation}

   证毕!

定理 3 

   若 $A$ 是赋范空间之间的有界线性算子,则

\begin{equation} \left\lVert A^* \right\rVert = \left\lVert A \right\rVert .~ \end{equation}

   证明:根据定理 1 和赋范空间满足第一可数性,可知线性有界算子必定是线性连续算子,因此线性有界算子可以讨论共轭性。根据算子范数的性质

\begin{equation} \left\lvert (A^*g,x) \right\rvert = \left\lvert (g,Ax) \right\rvert \leq \left\lVert g \right\rVert \cdot \left\lVert A \right\rVert \cdot \left\lVert x \right\rVert .~ \end{equation}
\begin{equation} \left\lVert A^*g \right\rVert =\sup_{x\neq0} \frac{ \left\lvert (A^*g,x) \right\rvert }{ \left\lVert x \right\rVert }\leq \left\lVert g \right\rVert \cdot \left\lVert A \right\rVert .~ \end{equation}
因此,
\begin{equation} \frac{ \left\lVert A^*g \right\rVert }{ \left\lVert g \right\rVert }\leq \left\lVert A \right\rVert \quad\Rightarrow\quad \left\lVert A^* \right\rVert =\sup_{g\neq0}\frac{ \left\lVert A^*g \right\rVert }{ \left\lVert g \right\rVert }\leq \left\lVert A \right\rVert .~ \end{equation}

   设 $x\in E,Ax\neq0$。令 $y_0=\frac{Ax}{ \left\lVert Ax \right\rVert }\in E_1$。显然,$ \left\lVert y_0 \right\rVert =1$。由推论 1 ,存在全空间上的线性连续泛函 $g$,使得

\begin{equation} \left\lVert g \right\rVert =1,(g,y_0)= \left\lVert y_0 \right\rVert =1.~ \end{equation}
即 $(g,Ax)= \left\lVert Ax \right\rVert $(由 $y_0$ 的定义)。因此
\begin{equation} \left\lVert Ax \right\rVert =(g,Ax)= \left\lvert (A^*g,x) \right\rvert \leq \left\lVert A^* \right\rVert \cdot \left\lVert x \right\rVert .~ \end{equation}
式 12 得到式 14 一样,有 $ \left\lVert A \right\rVert \leq \left\lVert A^* \right\rVert $。从而命题得证。

   证毕!


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