里斯引理（泛函分析）

贡献者： addis; DTSIo

　　 里斯引理（Riesz's lemma） 是赋范空间理论中的一个基本引理。它的表述如下：

　　 这个引理有鲜明的直观意义：任给赋范空间中的 “平面”，总有一个单位向量与这平面 “几乎垂直”。

1. 证明

　　 证明是直接的构造。任取 $y\in X\setminus M$，命 $\delta=\text{dist}(y,M)$。由于 $M$ 是闭的，故 $\delta>0$。根据距离的定义，任给 $\varepsilon>0$，皆存在 $z_0\in M$ 使得 $$ \delta\leq \|y-z_0\|<\delta+\varepsilon~. $$ 命 $x=(y-z_0)/\|y-z_0\|$，则 $\|x\|=1$，而且对于任何 $z\in M$ 皆有 $$ \|x-z\| =\left\|\frac{y-z_0}{\|y-z_0\|}-z\right\| =\left\|\frac{y-(z_0+z\|y-z_0\|)}{\|y-z_0\|}\right\|~. $$ 由于 $z_0+z\|y-z_0\|\in M$，所以上式右边大于 $$ \frac{\delta}{\delta+\varepsilon}~. $$ 于是对于给定的 $0<\alpha<1$，只要取 $\varepsilon$ 足够小即可使得 $$ \text{dist}(x,M) =\inf_{z\in M}\|x-z\| >\frac{\delta}{\delta+\varepsilon} >\alpha~. $$

2. 应用举例

　　 如果 $X$ 是无穷维的赋范空间，那么存在递增的子空间族 $$ M_1\subset M_2\subset M_3\subset...~ $$ 使得 $\text{dim}(M_k)=k$。有限维的子空间都是闭子空间，所以根据里斯引理，存在 $x_k\in M_k\setminus M_{k-1}$ 使得 $$ \|x_k\|=1,\,\text{dist}(x_k,M_k)>\frac{1}{2}~. $$ 这样一来，恒有 $\|x_m-x_n\|>1/2$ 成立，于是 $X$ 中闭单位球面上的序列 $\{x_n\}$ 没有收敛子序列。这表示无穷维赋范空间中的闭单位球不可能是紧的。