里斯引理(赋范空间)

             

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预备知识 范数

   里斯引理(Riesz's lemma) 是赋范空间理论中的一个基本引理.它的表述如下:

引理 1 里斯引理 (Riesz's lemma)

   设 $X$ 是赋范空间,$\|\cdot\|$ 是它的范数,$M$ 是它的真闭子空间.则任给 $\alpha\in(0,1)$,都存在 $x$ 使得 $\|x\|=1$,且 $\text{dist}(x,M)\geq\alpha$.

   这个引理有鲜明的直观意义:任给赋范空间中的 “平面”,总有一个单位向量与这平面 “几乎垂直”.

1. 证明

   证明是直接的构造.任取 $y\in X\setminus M$,命 $\delta=\text{dist}(y,M)$.由于 $M$ 是闭的,故 $\delta > 0$.根据距离的定义,任给 $\varepsilon > 0$,皆存在 $z_0\in M$ 使得 $$ \delta\leq \|y-z_0\|<\delta+\varepsilon. $$ 命 $x=(y-z_0)/\|y-z_0\|$,则 $\|x\|=1$,而且对于任何 $z\in M$ 皆有 $$ \|x-z\| =\left\|\frac{y-z_0}{\|y-z_0\|}-z\right\| =\left\|\frac{y-(z_0+z\|y-z_0\|)}{\|y-z_0\|}\right\|. $$ 由于 $z_0+z\|y-z_0\|\in M$,所以上式右边大于 $$ \frac{\delta}{\delta+\varepsilon}. $$ 于是对于给定的 $0 < \alpha<1$,只要取 $\varepsilon$ 足够小即可使得 $$ \text{dist}(x,M) =\inf_{z\in M}\|x-z\| >\frac{\delta}{\delta+\varepsilon} >\alpha. $$

2. 应用举例

   如果 $X$ 是无穷维的赋范空间,那么存在递增的子空间族 $$ M_1\subset M_2\subset M_3\subset..., $$ 使得 $\text{dim}(M_k)=k$.有限维的子空间都是闭子空间,所以根据里斯引理,存在 $x_k\in M_k\setminus M_{k-1}$ 使得 $$ \|x_k\|=1,\,\text{dist}(x_k,M_k)>\frac{1}{2}. $$ 这样一来,恒有 $\|x_m-x_n\| > 1/2$ 成立,于是 $X$ 中闭单位球面上的序列 $\{x_n\}$ 没有收敛子序列.这表示无穷维赋范空间中的闭单位球不可能是紧的.

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