相对论动力学假设

贡献者： JierPeter; addis; int256

预备知识　相对论加速度变换，时空的四维表示

1. 什么是动力学

　　初学牛顿力学时，你也许注意到了，课本将它分为两大部分：运动学和动力学。

　　运动学的研究范畴，基本上是纯数学的，只讨论了什么是位移、速度、加速度等概念，以及这些概念之间的数学联系。在运动学中有一个看起来很自然的假设，在了解相对论之前常常被忽略，那就是在不同参考系中这些概念和它们的联系是如何变化的。

　　动力学的研究范畴，则加上了 “力” 的概念，讨论力是如何影响物体的运动状态、力有什么性质等的。在牛顿力学中，力的性质由牛顿三定律决定，由此可以引申出更深刻的动量守恒和能量守恒等定律。

　　在狭义相对论中，参考系的变换导致的运动学变换复杂了很多，力的作用也不再像牛顿力学中那样简单。

2. 常见误解的辟谣

　　一个常见的误导是，许多科普读物和视频会使用光子钟等模型来 “推导” 出爱因斯坦的明星方程，$E=mc^2$，或者用我们约定的单位制（自然单位制），$E=m$。这些推导的思路是用牛顿第二定律 $F=m \,\mathrm{d}{v} / \,\mathrm{d}{t} $ 来定义 “力”，然后利用洛伦兹变换计算在不同惯性系中，物体加速度的变化。当然，在使用伽利略变换的牛顿力学中，任何惯性系下物体的加速度都一样，因此质量是不会变化的；但是在狭义相对论中，由于不同惯性系下加速度一般是不同的，加之相对性原理要求力是不随参考系而变化的¹，因此套入牛顿第二定律以后，必须认为质量是可以变化的。这种思路所计算出的质点质量变化，就是 $m/\sqrt{1-\beta^2}$，其中 $\beta$ 是质点在观察者眼中的运动速度（以光速为单位，实际速度 $v = \beta c$）。这个质量，就是所谓的 “动质量”。以 $\beta^2$ 为自变量，对 $m/\sqrt{1-\beta^2}$ 进行 Maclaulin 展开（即 $\beta_0^2=0$ 处的泰勒展开），我们可以得到

\begin{equation} \frac{m}{\sqrt{1-\beta^2}} = m+\frac{1}{2}m\beta^2+\frac{3}{8}m\beta^4+\frac{5}{16}m\beta^6 + \frac{35}{128}m\beta^8\cdots~ \end{equation}

其中第二项就是牛顿力学中的动能。在 $\beta$ 远远小于光速 $1$ 的时候，我们可以只看前两项，也就是 $m+m\beta^2/2$，或者为了更明显地表现量纲，我们把光速添加回去：$mc^2+mv^2/2$。这看上去像是物体的动能加上某种能量。把 $mc^2$ 看成是物体固有的一种能量，那么式 1 就变成了

\begin{equation} \frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = mc^2+\frac{1}{2}mv^2+\frac{3}{8c^2}mv^4+\cdots=\text{固有能量 + 动能}~. \end{equation}

把质点的固有能量 + 动能理解为质点含有的总能量，记为 $E$，那么就有

\begin{equation} \frac{mc^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} = E~, \end{equation}

这就是著名的质能方程。

　　 但是，这种推导思路是误导的。

　　从相对论加速度变换文章中可以看到，在质点加速度方向垂直和平行于速度方向时，加速度的变化系数是不一样的，这就导致在沿用牛顿第二定律来计算质量的时候，会出现质量随着方向变化的情况。旧版教科书会认为，这意味着不应该把质量简单地看成一个标量，而应该看成一个二阶张量。但现代早已抛弃了 “质量随方向变化” 的概念，甚至也不再强调 “动质量” 的概念。

　　本节将会解释现代的相对论动力学概念。

3. 四动量

　　仍采用自然单位制，$v$ 以光素为单位，实际速度是 $vc$。设质点静止时的质量是 $m$。在参考系 $K_1$ 中，质点的四速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $，定义 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} =m \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 为质点的四动量（4-momentum）。

　　具体地，如果在 $K_1$ 中，质点的速度是 $(v_x, v_y, v_z)^T$，那么其四速度就是 $\gamma(1, v_x, v_y, v_z)^T$，其中 $\gamma=1/\sqrt{1-v^2}$。这样，质点的四动量就表示为（这里仍采用自然单位制）

\begin{equation} \frac{m}{\sqrt{1-v^2}} \begin{pmatrix}1\\v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix} ~. \end{equation}

　　特别地，四动量的第一个分量又被称为能量，后三个分量称为（三）动量。

　　牛顿第二定律可以看作是牛顿力学中 “力” 的定义，即 “力是动量随时间的变化率”。我们把这一概念引申到狭义相对论中，可以得到 “闵可夫斯基力” 的定义：

定义 1　闵可夫斯基力

　　物质的四动量随固有时间的变化率，称为闵可夫斯基力（Minkowski force），记为 $K^{\mu}= \,\mathrm{d}{P} ^\mu/ \,\mathrm{d}{\tau} $。

　　值得一提的是，牛顿对牛顿第二定律的表述也为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } / \,\mathrm{d}{t} $，而非 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} = m \boldsymbol{\mathbf{a}} $。

4. 动力学假设

　　在牛顿力学中，动量守恒和能量守恒是三定律的推论。在实验中，这两个守恒定律在很高的精度上一直成立。你可以认为推论的成立是对牛顿定律的证明，也可以换个角度，认为守恒定律才是更基本的规律。

　　狭义相对论中，加速度的变换复杂多了，因此更难以猜想应该怎么拓展牛顿定律。由于牛顿定律是有效的，我们相信它在限定范围内，也就是宏观低速的情况下是正确的，这也意味着，狭义相对论成立的必要条件之一，是当光速取为无穷大的时候，整个狭义相对论理论就变成了牛顿理论。现在的问题是，该从什么方向拓展牛顿定律呢？

　　最简洁的可能性，是四动量守恒。也就是说，在任何惯性系看来，一个孤立系统中的若干质点相互作用前后，系统的总四动量守恒。这就是相对论的动力学假设，描述了相互作用的规律，作为牛顿定律的拓展。

　　需要强调的是，这仅仅是一个假设，无法由别的定律推导出来。也就是说，这个动力学假设是一个公理，和牛顿第二第三定律的地位一样。如果这个公理所得出的理论和实际相差太大，那么理论物理学家会选择抛弃它，改用别的假设。幸运的是，迄今为止，四动量守恒和实验很好地相符，因此沿用至今。

1. ^ 比如说，一个正在施加张力的弹簧，应该看成是在任何参考系下都产生一样的张力，而不受弹簧尺缩效应的影响。