协变矢量、逆变矢量与指标升降

贡献者： _Eden_

预备知识　狭义相对论与洛伦兹对称性

　　约定使用东海岸度规 $η_{μ ν} = d i a g (- 1, 1, 1, 1)$ 和自然单位制 $c = 1$ 。本文对于重复出现在上指标和下指标的希腊字母 $μ, ν, ρ, σ$ 等采用爱因斯坦求和约定，例如

\begin{matrix} (1) & A_{μ} B^{μ ν} := \sum_{μ = 0, 1, 2, 3} A_{μ} B^{μ ν} . \end{matrix}

1. 协变矢量变换法则

　　四矢量 $A^{μ} = (A^{0}, A^{1}, A^{2}, A^{3})$ 被称为协变矢量，当且仅当它满足一下的相对论变换法则

\begin{matrix} (2) & A^{μ} \to {A^{'}}^{μ} = Λ^{μ}_{ν} A^{ν} . \end{matrix}

其中

Λ^{μ}_{ν}

为洛伦兹变换矩阵，它满足¹

\begin{matrix} (3) & Λ^{μ}_{ρ} Λ^{ν}_{σ} η_{μ ν} = η_{ρ σ} . \end{matrix}

常见的协变矢量有时空坐标四矢量

\begin{matrix} (4) & x^{μ} = (x^{0}, x^{1}, x^{2}, x^{3}) = (t, x) . \end{matrix}

协变矢量的特征是有一个上指标，一般用希腊字母

μ, ν, ρ, σ

等表示。变换公式

A^{μ} \to Λ^{μ}_{ν} A^{ν}

描述了协变矢量在洛伦兹变换下的行为。

2. 逆变矢量变换法则

　　如果将矩阵 $η_{μ ν}$ 与 $x^{ν}$ 相乘，对所有指标 $ν = 0, 1, 2, 3$ 求和，得到的 $x_{μ} = η_{μ ν} x^{ν} = x^{ν} η_{ν μ}$ 就被称为是逆变矢量。对所有指标 $ν = 0, 1, 2, 3$ 进行求和的过程叫做 “缩并”，这里采用了爱因斯坦求和约定。

逆变矢量的性质 1

引理 1　

　　协变矢量与逆变矢量的缩并 $A^{μ} B_{μ} = A_{μ} B^{μ}$ 是一个洛伦兹不变的量，也被称为洛伦兹标量。

　　证明： $A^{μ} B_{μ} = η_{μ ν} A^{μ} B^{ν} = A_{ν} B^{ν}$ ，在洛伦兹变换下

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} A^{μ} B_{μ} = η_{μ ν} A^{μ} B^{ν}, \\ \to & {A^{'}}^{μ} {B^{'}}_{μ} = η_{μ ν} {A^{'}}^{μ} {B^{'}}^{ν} = η_{μ ν} Λ^{μ}_{ρ} Λ^{ν}_{σ} A^{ρ} B^{σ}, \\ = η_{ρ σ} A^{ρ} B^{σ} = A^{ρ} B_{ρ} \end{aligned} \end{matrix}

最后一行利用了式 3 ，最终我们发现

{A^{'}}^{μ} {B^{'}}_{μ} = A^{μ} B_{μ}

，这也就意味着

A^{μ} B_{μ}

是一个洛伦兹不变的量。

引理 2　

　　根据逆变矢量的定义公式 $A_{μ} = η_{μ ν} A^{ν}$ ，再定义一个矩阵 $η^{ρ σ}$ ，满足 $A^{μ} = η^{μ ν} A_{ν}$ 。那么 $η^{μ ν}$ 是 $η_{μ ν}$ 的逆矩阵：

\begin{matrix} (6) & η^{μ ν} η_{ν ρ} = δ_{ρ}^{μ} . \end{matrix}

　　在度规 $η_{μ ν} = diag (- 1, 1, 1, 1)$ 的情况下，逆矩阵很容易求得是 $η^{μ ν} = diag (- 1, 1, 1, 1)$ 。

逆变矢量的性质 2

引理 3　

　　逆变矢量 $A_{μ}$ 在洛伦兹变换下的行为是

\begin{matrix} (7) & A_{μ} \to A_{μ}^{'} = Λ_{μ}^{ν} A_{ν} \equiv η_{μ ρ} Λ^{ρ}_{σ} η^{σ ν} A_{ν} . \end{matrix}

其中

Λ_{μ}^{ν}

被定义为

Λ_{μ}^{ν} \equiv η_{μ ρ} Λ^{ρ}_{σ} η^{σ ν}

。且满足：

\begin{matrix} (8) & Λ_{μ}^{ν} \cdot Λ^{μ}_{λ} = δ_{λ}^{ν}, Λ^{μ}_{ν} \cdot Λ_{λ}^{ν} = δ_{λ}^{μ} . \end{matrix}

　　证明： $Λ_{μ}^{ν} \cdot Λ^{μ}_{λ} = η_{μ ρ} Λ^{ρ}_{σ} η^{σ ν} Λ^{μ}_{λ}$ ，利用式 3 和式 6 ，可以得到

\begin{matrix} (9) & Λ_{μ}^{ν} \cdot Λ^{μ}_{λ} = η_{μ ρ} Λ^{ρ}_{σ} η^{σ ν} Λ^{μ}_{λ} = η_{λ σ} η^{σ ν} = δ_{λ}^{ν} . \end{matrix}

这表明了

[Λ_{μ}^{ν}]^{T} = [Λ^{μ}_{ν}]^{- 1}

，所以交换两个矩阵它们的乘积仍然是单位矩阵

Λ^{μ}_{ν} \cdot Λ_{λ}^{ν} = δ_{λ}^{μ}

。

1. ^ 具体的推导见狭义相对论与洛伦兹对称性。

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