闵可夫斯基时空中的能动张量

贡献者： JierPeter

预备知识　动力学假设，张量

1. 均匀等速尘埃云的动量通量

均匀等速尘埃云

　　在任意参考系中，空间中分布若干质点。这些质点的集合，被称为一片尘埃云（dust），各质点被称为尘埃粒子。如果在某个参考系中，一片尘埃云的各质点都保持静止，那么我们称这个参考系是尘埃云的自身系，称尘埃云为等速尘埃云，因为这意味着在其它参考系中，尘埃粒子的速度都会是相同的。如果在某个参考系中，尘埃粒子的质量相同、在空间中均匀分布，那么我们称这片尘埃云是均匀的。

　　任何一片均匀尘埃云，都可以看成是许多均匀等速尘埃云的叠加，只要把属于各个速度的尘埃粒子分别拿出来构成尘埃云即可。而任何一片尘埃云，也可以看成是局部均匀的。因此，研究均匀等速尘埃云的性质最为容易，也可以方便地拓展到任意尘埃云的性质中。

尘埃云数量通量密度

　　假设空间中有一片均匀等速尘埃云，在其自身系中各点的粒子数量密度都是 $n$ ，其中 $n$ 是一个实数。也就是说，在尘埃云的自身系中，在任何体积 $V$ 中，尘埃粒子的数量都是 $n V$ 。

　　取 $K_{1}$ 参考系作为观察者，设观察者认为尘埃云的速度是 $v = (v_{x}, v_{y}, v_{z})^{T}$ 。由于尺缩效应，在 $K_{1}$ 中，空间各点尘埃粒子的数量密度变为 $n / \sqrt{1 - v^{2}}$ 。

图 1：粒子数量通量示意图。绿色面表示计算粒子数量通量的参考平面

A_{y z}

；一个粒子在单位时间后通过这个平面，当且仅当这个粒子现在正在图示体积内。该体积的四条红色边和尘埃云的速度方向平行，而左右两个平面之间的距离是

v_{x}

，故体积为

A_{y z} \cdot v_{x}

。

　　固定 $x$ 坐标，取此处 $y - z$ 平面上的一个单位面积 $A_{y z}$ 。如所示，在单位时间内，通过 $A_{y z}$ 的是体积 $A_{y z} \cdot v_{x} = v_{x}$ 内的粒子，数量是

\begin{matrix} (1) & \frac{n}{\sqrt{1 - v^{2}}} \cdot v_{x} = \frac{n v_{x}}{\sqrt{1 - v^{2}}} . \end{matrix}

　　类似地，用 $i, j, k$ 代表任意的字母 $x, y, z$ ，那么对于固定的 $i$ 坐标，单位时间内通过 $j - k$ 平面上的单位面积的粒子数量是 $n v_{i} / \sqrt{1 - v^{2}}$ 。通过一个平面的尘埃粒子数量，称为尘埃云通过这个平面的数量通量；而当所通过平面的面积是单位面积时，数量通量也可以称为数量密度的通量，或者数量通量的密度。

　　总结下来，如果取所考察平面的面积向量为 $S$ ，那么对于上述均匀等速尘埃云，单位时间内通过这个平面的粒子数量是 $\frac{n}{\sqrt{1 - v^{2}}} | v \cdot S |$ 。

尘埃云动量通量密度

　　尘埃云设定同上，并假设每个尘埃云粒子的质量是 $m$ ，那么它在 $K_{1}$ 中的动量是 $m / \sqrt{1 - v^{2}}$ 。结合数量通量密度可知，在单位时间内通过面积 $S$ 的尘埃云动量是

\begin{matrix} (2) & \frac{n}{\sqrt{1 - v^{2}}} | v \cdot S | \cdot \frac{m}{\sqrt{1 - v^{2}}} v = \frac{n m v}{1 - v^{2}} | v \cdot S | = \frac{n m}{1 - v^{2}} | v \cdot S | \cdot (\begin{matrix} v_{x} \\ v_{y} \\ v_{z} \end{matrix}) . \end{matrix}

　　固定 $x$ 坐标时，单位时间内通过单位面积的尘埃云动量的 $y$ 分量就是

\begin{matrix} (3) & \frac{n m}{1 - v^{2}} v_{x} v_{y} . \end{matrix}

　　一般地，固定 $i$ 坐标时，单位时间内通过单位面积的尘埃云动量的 $j$ 分量就是

\begin{matrix} (4) & \frac{n m}{1 - v^{2}} v_{i} v_{j} . \end{matrix}

2. 四动量通量密度和能量-动量张量

　　上面所讨论的动量通量密度，在四维闵可夫斯基空间中可以表示为穿过单位时间、单位 $A_{y z}$ 面积的三维 “平面”¹的世界线数量乘以各世界线代表的动量。

　　图 2 是四维闵可夫斯基空间中的动量通量示意图，绿色的垂直线段表示单位时间长度里的单位面积 $A_{y z}$ ，相当于用一维线段表示了一个三维的体积；若干红色线段表示各尘埃粒子的世界线。动量通量密度，就是通过单位时间单位面积的世界线数量乘以各粒子的动量²。

图 2：四维闵可夫斯基空间中的动量通量

　　既然都用到四维表示了，我们也可以把结论拓展到四动量，以及固定时间的情况。

图 3：固定时间时，穿过单位三维空间超平面的世界线示意图。

　　如果设各尘埃粒子的四速度是 $U = 1 / \sqrt{1 - v^{2}} (1, v_{x}, v_{y}, v_{z})^{T}$ ，可以定义一个矩阵 $M$ ，其第 $i$ 行 $j$ 列的元素代表 “固定 $i$ 坐标时，单位时间内通过单位面积的尘埃云动量的 $j$ 分量”，那么就有

\begin{matrix} (5) & M = \frac{n m}{1 - v^{2}} (\begin{matrix} 1 & v_{x} & v_{y} & v_{z} \\ v_{x} & v_{x}^{2} & v_{x} v_{y} & v_{x} v_{z} \\ v_{y} & v_{x} v_{y} & v_{y}^{2} & v_{y} v_{z} \\ v_{z} & v_{x} v_{z} & v_{y} v_{z} & v_{z}^{2} \end{matrix}) = n m \cdot U U^{T} . \end{matrix}

　　这里的 $U$ 是一个列矩阵，也就是说， $M$ 是向量 $n U$ 和 $m U$ 的张量积。 $M$ 因而是一个二阶张量，被称作能量-动量张量。

3. 一般尘埃云的能动张量

　　均匀等速尘埃云是一种高度理想化的流体模型，现实中并不会存在。这个模型，如果在每个点处的质心系中观察，那么所有物质都是绝对静止的；现实中的流体模型，哪怕在每一个点处的质心系来观察，物质仍然有非零的速度分布。事实上，宏观情况下我们对流体的能动张量释义会有一些不同。

　　在时空流形上，固定时间时计算的四动量通量，也就是式 5 中的第一列，恰是流体在这一时刻的四动量空间密度；固定某一空间面时计算的四动量通量，则是单位时间内四动量通过这个面的量。动量随时间的变化率，就是 “力”，这是牛顿第二定律给出的定义。因此，我们推广时换用力的概念来定义能动张量。

　　由流体力学可知，流体作为一个宏观的统计模型，忽略了流体粒子之间的相互作用，只考虑由大量粒子构成的 “流体元” 之间的宏观相互作用。流体元之间可能有垂直接触面的压力，也可能有因摩擦产生的、平行于接触面的粘滞力。微观来看，两个流体元接触面上，从流体元 $A$ 流向流体元 $B$ 的三动量变化率，就是 $A$ 对 $B$ 的作用力；而牛顿第三定律就体现在，反过来从 $B$ 流向 $A$ 的三动量，一定时刻与之相反。

　　这就是均匀等速尘埃云所无法描述的现象，因为如果非要认为均匀等速尘埃云是非静止的流体，那么在任何一个面上，最多只会有单向流动的动量，也就是说没有反作用力。因此均匀等速尘埃云最多只能被认为是静止的流体。我们在计算均匀等速尘埃云的四动量通量时，并没有规定流出或流入流体元这两个方向上的动量交换，保留哪一个舍弃哪一个，而是都纳入计算，于是也无法体现出施力物体和受力物体的区别。因此在推广时，我们需要区分清楚流入流出方向，并分开计算。对于一个流体元，计算流入它的四动量通量，所得的是它受到的闵可夫斯基力；而流出它的通量，则是它施加于其它物体的力。

定义 1　

　　考虑一团实际的流体，对于每个时空点 $p$ ，取此处流体的局部质心系³，那么流体在该处的四动量通量就由一个嵌套矩阵 $T_{a b}$ 描述，其中各 $T_{a b}$ 是指在该处的一个小流体元在固定 $a$ 坐标的面上受闵可夫斯基力的 $b$ 分量。

　　为了方便建立广义相对论的基础，我们不考虑太复杂的模型，而是将物质都理解为以下 “没有粘滞力” 的理想流体。

定义 2　理想流体

　　对于一个流体，如果它在任何时空点处，任何表面上所受的力都是垂直于该表面的，则称此流体为理想流体（ideal fluid）。

　　这样一来，容易证明理想流体任何一个点上的 $T_{a b}$ 就可以写成：

\begin{matrix} (6) & T_{a b} = {(\begin{matrix} (\begin{matrix} ρ & 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} 0 & p & 0 & 0 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} 0 & 0 & p & 0 \end{matrix}) \\ (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & p \end{matrix}) \end{matrix})}^{T} . \end{matrix}

　　其中 $ρ$ 是能量在空间中的密度， $p$ 就是流体在该处受到的压强。

　　但是这个嵌套矩阵只是局部质心系里描述流体受力，我们希望摆脱具体参考系的约束，抽象地在时空流形上讨论受力、能量和动量等概念，因此我们使用已知的摆脱了具体参考系约束的量（也就是张量场）来描述这个嵌套矩阵：

\begin{matrix} (7) & T_{a b} = ρ U_{a} U_{b} + P g_{a b} + P U_{a} U_{b} . \end{matrix}

　　其中 $g_{a b}$ 是时空的度量张量场， $U_{a}$ 是局部质心的四速度的对偶，即 $U_{a} = U^{i} g_{i a}$ 。在局部质心系中， $g_{a b} = diag (- 1, 1, 1, 1)$ ，而 $U^{a} = (1, 0, 0, 0)^{T}$ ，因此在局部坐标系中式 6 和式 7 没有冲突，而式 7 则摆脱了坐标系限制。

　　能动张量能如何描述物质分布的性质呢？

定义 3　能量密度

　　令 $T_{a b}$ 为一理想流体在时空流形上的能动张量场， $u^{a}$ 是该流体在各时空点处局部质心系的四速度，则 $T_{a b} u^{a} u^{b}$ 是该流体在该处的能量密度。

　　这一定义是合理的。考虑到局部质心系中 $u^{a} = {(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})}^{T}$ ，根据理想流体的能动张量的定义，可以计算出 $T_{a b} u^{a} u^{b}$ 就是能量密度分布，而这是张量场的抽象指标分布，不依赖于参考系的选择，所以是合理的推广表达。

4. 守恒定律

　　理想流体的能动张量，满足方程

\begin{matrix} (8) & \partial^{a} T_{a b} = 0 . \end{matrix}

　　式 8 的理解可以类比向量场的散度 $\partial_{a} v^{a}$ 。如果向量场 $v^{a}$ 描述了某种东西的流，比如说流体的质量流，那么 $\partial_{a} v^{a}$ 就是流体质量的流失速率，在 $\partial_{a} v^{a} = 0$ 的地方自然就有质量密度守恒。

　　根据指标的升降法则，对于任何张量 $T$ ，我们定义 $\partial^{a} T = η^{a b} \partial_{a} T$ ，这样子我们就可以把式 8 理解为 $η^{a i} \partial_{i} (T_{b})^{a}$ ，相当于用余切向量场 $T_{b}$ 取代了光滑函数 $v$ ，形式不变，同样表达了某种量的守恒。

　　什么东西守恒呢？

　　利用式 7 ， $T_{a b} = ρ u_{a} u_{b} + P g_{a b} + P u_{a} u_{b}$ ，把式 4 展开，我们能得到：

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} 0 = \partial^{a} T_{a b} = & \partial^{a} (ρ u_{a} u_{b} + P g_{a b} + P u_{a} u_{b}) \\ = & u_{a} u_{b} \partial^{a} ρ + ρ u_{b} \partial^{a} u_{a} + ρ u_{a} \partial^{a} u_{b} + \\ g_{a b} \partial^{a} g_{a b} + P \partial^{a} g_{a b} + \\ u_{a} u_{b} \partial^{a} P + P u_{b} \partial^{a} u_{a} + P u_{a} \partial^{a} u_{b} . \end{aligned} \end{matrix}

　　式 9 最右边很长，我们可以把它分成两部分，分别是在度量 $η_{a b}$ 下垂直和平行于 $u^{b}$ 的项。显然，其中的 $u_{a} u_{b} \partial^{a} ρ + ρ u_{b} \partial^{a} u_{a} + P u_{b} \partial^{a} u_{a}$ 是平行于 $u^{b}$ 的，因为它们都是在 $u_{b}$ 前面乘以一个光滑函数的形式；我们断言，剩下的部分，是垂直于 $u^{b}$ 的，即与 $u^{b}$ 的内积为 $0$ 。

　　这是因为，剩下的那部分还可以再分成两部分，一个是 $(P + ρ) u_{a} \partial^{a} u_{b}$ ，一个是 $(η_{a b} + u_{a} u_{b}) \partial^{a} P$ 。考虑到 $u^{b}$ 按定义必须是单位向量，因此 $\partial_{a} u^{b}$ 必定与 $u^{a}$ 垂直，即 $u^{a} \partial_{a} u^{b} = 0$ ，因此 $u^{b} (P + ρ) u_{a} \partial^{a} u_{b} = 0$ ；再由洛伦兹度规的定义， $u^{a} u_{b} = 1$ ，因此 $u^{b} (η_{a b} + u_{a} u_{b}) = u_{a} - u_{a} = 0$ 。综上，剩下这部分与 $u^{b}$ 的乘积就是 $0$ ⁴。

　　将式 9 最右边按上述讨论分成垂直和平行于 $u^{b}$ 的两部分后，就分别得到了两个独立的等式（适当进行指标升降以获得更直观的表达）：

\begin{matrix} (10) & u^{a} \partial_{a} ρ + (ρ + P) \partial^{a} u_{a} = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & (P + ρ) u^{a} \partial_{a} u_{b} + (η_{a b} + u_{a} u_{b}) \partial^{a} P = 0 . \end{matrix}

　　回归经典极限时，三速度 $v$ 很小，以至于 $u^{μ} = (\begin{matrix} 1, v \end{matrix})$ ，而流体之间的压强也远小于密度，那么式 10 和式 11 就分别变成

\begin{matrix} (12) & \frac{\partial}{\partial t} ρ + \nabla \cdot (ρ v) = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (13) & ρ (\frac{\partial}{\partial t} v + (v \cdot \nabla) v) = - \nabla P . \end{matrix}

　　式 12 意味着任意点处质量密度 $ρ$ 的流失速率等于 $ρ v$ 的散度，即质量流就是 $ρ v$ ，因此是质量守恒的表达式。

　　式 13 是流体的欧拉方程⁵。

　　式 12 和式 13 都是取经典极限进行的讨论，说明了式 8 是经典力学的合理推广。对于一般的情况， $\partial^{a} T_{a b} = 0$ 可以看成是描述了四个分量的守恒定律，即固定 $b$ 指标来考虑，一共有四种固定方法。对于固定的 $b$ 指标， $T_{a b}$ 描述的是流体在 $a$ 面上单位面积受力的 $b$ 分量，因此式 8 描述了流体四动量的 $b$ 分量的守恒律。那么综合来看，该式描述的是四动量的守恒定律，即相对论动力学假设。

1. ^ 多维几何学中，将 $n$ 维空间中的一个 $n - 1$ 维子空间称为一个超平面（hypersurface），因此这里的三维平面，指的是四维空间中的三维超平面。
2. ^ 这里有一个视错觉现象，即绿色线段看起来不是垂直的，而是微微倒向左边。
3. ^ 即取包含此时空点 $p$ 的体积，计算体积中质心的轨迹，然后取体积趋于零的极限，所得的极限轨迹就是局部质心。
4. ^ 特别要注意的是 $u^{b} (η_{a b} + u_{a} u_{b})$ 这一部分，如果取 $η_{a b} = diag (\begin{matrix} 1 & - 1 & - 1 & - 1 \end{matrix})$ ，那它就不再垂直于 $u^{b}$ 了。
5. ^ 见流体运动的描述方法中的欧拉法。

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闵可夫斯基时空中的能动张量

1. 均匀等速尘埃云的动量通量

均匀等速尘埃云

尘埃云数量通量密度

尘埃云动量通量密度

2. 四动量通量密度和能量-动量张量

3. 一般尘埃云的能动张量

定义 1

定义 2 理想流体

定义 3 能量密度

4. 守恒定律

定义 1　

定义 2　理想流体

定义 3　能量密度