闵可夫斯基时空中的能动张量

             

预备知识 动力学假设,张量

1. 均匀等速尘埃云的动量通量

均匀等速尘埃云

   在任意参考系中,空间中分布若干质点.这些质点的集合,被称为一片尘埃云(dust),各质点被称为尘埃粒子.如果在某个参考系中,一片尘埃云的各质点都保持静止,那么我们称这个参考系是尘埃云的自身系,称尘埃云为等速尘埃云,因为这意味着在其它参考系中,尘埃粒子的速度都会是相同的.如果在某个参考系中,尘埃粒子的质量相同、在空间中均匀分布,那么我们称这片尘埃云是均匀的

   任何一片均匀尘埃云,都可以看成是许多均匀等速尘埃云的叠加,只要把属于各个速度的尘埃粒子分别拿出来构成尘埃云即可.而任何一片尘埃云,也可以看成是局部均匀的.因此,研究均匀等速尘埃云的性质最为容易,也可以方便地拓展到任意尘埃云的性质中.

尘埃云数量通量密度

   假设空间中有一片均匀等速尘埃云,在其自身系中各点的粒子数量密度都是 $n$,其中 $n$ 是一个实数.也就是说,在尘埃云的自身系中,在任何体积 $V$ 中,尘埃粒子的数量都是 $nV$.

   取 $K_1$ 参考系作为观察者,设观察者认为尘埃云的速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} =(v_x, v_y, v_z)^T$.由于尺缩效应,在 $K_1$ 中,空间各点尘埃粒子的数量密度变为 $n/\sqrt{1-v^2}$.

图
图 1:粒子数量通量示意图.绿色面表示计算粒子数量通量的参考平面 $A_{yz}$;一个粒子在单位时间后通过这个平面,当且仅当这个粒子现在正在图示体积内.该体积的四条红色边和尘埃云的速度方向平行,而左右两个平面之间的距离是 $v_x$,故体积为 $A_{yz}\cdot v_x$.

   固定 $x$ 坐标,取此处 $y-z$ 平面上的一个单位面积 $A_{yz}$.如所示,在单位时间内,通过 $A_{yz}$ 的是体积 $A_{yz}\cdot v_x=v_x$ 内的粒子,数量是

\begin{equation} \frac{n}{\sqrt{1-v^2}}\cdot v_x=\frac{nv_x}{\sqrt{1-v^2}} \end{equation}

   类似地,用 $i, j, k$ 代表任意的字母 $x, y, z$,那么对于固定的 $i$ 坐标,单位时间内通过 $j-k$ 平面上的单位面积的粒子数量是 $nv_i/\sqrt{1-v^2}$.通过一个平面的尘埃粒子数量,称为尘埃云通过这个平面的数量通量;而当所通过平面的面积是单位面积时,数量通量也可以称为数量密度的通量,或者数量通量的密度.

   总结下来,如果取所考察平面的面积向量为 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $,那么对于上述均匀等速尘埃云,单位时间内通过这个平面的粒子数量是 $\frac{n}{\sqrt{1-v^2}} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{S}} \right\rvert $.

尘埃云动量通量密度

   尘埃云设定同上,并假设每个尘埃云粒子的质量是 $m$,那么它在 $K_1$ 中的动量是 $m/\sqrt{1-v^2}$.结合数量通量密度可知,在单位时间内通过面积 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 的尘埃云动量是

\begin{equation} \frac{n}{\sqrt{1-v^2}} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{S}} \right\rvert \cdot\frac{m}{\sqrt{1-v^2}} \boldsymbol{\mathbf{v}} =\frac{nm \boldsymbol{\mathbf{v}} }{1-v^2} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{S}} \right\rvert =\frac{nm}{1-v^2} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{S}} \right\rvert \cdot \begin{pmatrix}v_x\\v_y\\v_z\end{pmatrix} \end{equation}

   固定 $x$ 坐标时,单位时间内通过单位面积的尘埃云动量的 $y$ 分量就是

\begin{equation} \frac{nm}{1-v^2}v_xv_y \end{equation}

   一般地,固定 $i$ 坐标时,单位时间内通过单位面积的尘埃云动量的 $j$ 分量就是

\begin{equation} \frac{nm}{1-v^2}v_iv_j \end{equation}

2. 四动量通量密度和能量-动量张量

   上面所讨论的动量通量密度,在四维闵可夫斯基空间中可以表示为穿过单位时间、单位 $A_{yz}$ 面积的三维 “平面”1的世界线数量乘以各世界线代表的动量.

   图 2 是四维闵可夫斯基空间中的动量通量示意图,绿色的垂直线段表示单位时间长度里的单位面积 $A_{yz}$,相当于用一维线段表示了一个三维的体积;若干红色线段表示各尘埃粒子的世界线.动量通量密度,就是通过单位时间单位面积的世界线数量乘以各粒子的动量2

图
图 2:四维闵可夫斯基空间中的动量通量

   既然都用到四维表示了,我们也可以把结论拓展到四动量,以及固定时间的情况.

图
图 3:固定时间时,穿过单位三维空间超平面的世界线示意图.

   如果设各尘埃粒子的四速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} =1/\sqrt{1-v^2}(1, v_x, v_y, v_z)^T$,可以定义一个矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{M}} $,其第 $i$ 行 $j$ 列的元素代表 “固定 $i$ 坐标时,单位时间内通过单位面积的尘埃云动量的 $j$ 分量”,那么就有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{M}} =\frac{nm}{1-v^2} \begin{pmatrix}1&v_x&v_y&v_z\\v_x&v_x^2&v_xv_y&v_xv_z\\v_y&v_xv_y&v_y^2&v_yv_z\\v_z&v_xv_z&v_yv_z&v_z^2\end{pmatrix} =nm\cdot \boldsymbol{\mathbf{U}} \boldsymbol{\mathbf{U}} ^T \end{equation}

   这里的 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 是一个列矩阵,也就是说,$ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 是向量 $n \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 和 $m \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 的张量积.$ \boldsymbol{\mathbf{M}} $ 因而是一个二阶张量,被称作能量-动量张量

3. 一般尘埃云的能动张量

   均匀等速尘埃云是一种高度理想化的流体模型,现实中并不会存在.这个模型,如果在每个点处的质心系中观察,那么所有物质都是绝对静止的;现实中的流体模型,哪怕在每一个点处的质心系来观察,物质仍然有非零的速度分布.事实上,宏观情况下我们对流体的能动张量释义会有一些不同.

   在时空流形上,固定时间时计算的四动量通量,也就是式 5 中的第一列,恰是流体在这一时刻的四动量空间密度;固定某一空间面时计算的四动量通量,则是单位时间内四动量通过这个面的量.动量随时间的变化率,就是 “力”,这是牛顿第二定律给出的定义.因此,我们推广时换用力的概念来定义能动张量.

   由流体力学可知,流体作为一个宏观的统计模型,忽略了流体粒子之间的相互作用,只考虑由大量粒子构成的 “流体元” 之间的宏观相互作用.流体元之间可能有垂直接触面的压力,也可能有因摩擦产生的、平行于接触面的粘滞力.微观来看,两个流体元接触面上,从流体元 $A$ 流向流体元 $B$ 的三动量变化率,就是 $A$ 对 $B$ 的作用力;而牛顿第三定律就体现在,反过来从 $B$ 流向 $A$ 的三动量,一定时刻与之相反.

   这就是均匀等速尘埃云所无法描述的现象,因为如果非要认为均匀等速尘埃云是非静止的流体,那么在任何一个面上,最多只会有单向流动的动量,也就是说没有反作用力.因此均匀等速尘埃云最多只能被认为是静止的流体.我们在计算均匀等速尘埃云的四动量通量时,并没有规定流出或流入流体元这两个方向上的动量交换,保留哪一个舍弃哪一个,而是都纳入计算,于是也无法体现出施力物体和受力物体的区别.因此在推广时,我们需要区分清楚流入流出方向,并分开计算.对于一个流体元,计算流入它的四动量通量,所得的是它受到的闵可夫斯基力;而流出它的通量,则是它施加于其它物体的力.

定义 1 

   考虑一团实际的流体,对于每个时空点 $p$,取此处流体的局部质心系3,那么流体在该处的四动量通量就由一个嵌套矩阵 $T_{ab}$ 描述,其中各 $T_{ab}$ 是指在该处的一个小流体元在固定 $a$ 坐标的面上闵可夫斯基力的 $b$ 分量.

   为了方便建立广义相对论的基础,我们不考虑太复杂的模型,而是将物质都理解为以下 “没有粘滞力” 的理想流体.

定义 2 理想流体

   对于一个流体,如果它在任何时空点处,任何表面上所受的力都是垂直于该表面的,则称此流体为理想流体(ideal fluid)

   这样一来,容易证明理想流体任何一个点上的 $T_{ab}$ 就可以写成:

\begin{equation} T_{ab}= \begin{pmatrix} \begin{pmatrix}\rho&0&0&0\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}0&p&0&0\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}0&0&p&0\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}0&0&0&p\end{pmatrix} \end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} \end{equation}

   其中 $\rho$ 是能量在空间中的密度,$p$ 就是流体在该处受到的压强.

   但是这个嵌套矩阵只是局部质心系里描述流体受力,我们希望摆脱具体参考系的约束,抽象地在时空流形上讨论受力、能量和动量等概念,因此我们使用已知的摆脱了具体参考系约束的量(也就是张量场)来描述这个嵌套矩阵:

\begin{equation} T_{ab}=\rho U_aU_b+P g_{ab}+P U_aU_b\\ \end{equation}

   其中 $g_{ab}$ 是时空的度量张量场,$U_a$ 是局部质心的四速度的对偶,即 $U_a=U^ig_{ia}$.在局部质心系中,$g_{ab}= \operatorname {diag}(-1, 1, 1, 1)$,而 $U^{a}=(1, 0, 0 ,0) ^{\mathrm{T}} $,因此在局部坐标系中式 6 式 7 没有冲突,而式 7 则摆脱了坐标系限制.

   能动张量能如何描述物质分布的性质呢?

定义 3 能量密度

   令 $T_{ab}$ 为一理想流体在时空流形上的能动张量场,$u^a$ 是该流体在各时空点处局部质心系的四速度,则 $T_{ab}u^au^b$ 是该流体在该处的能量密度

   这一定义是合理的.考虑到局部质心系中 $u^a= \begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $,根据理想流体的能动张量的定义,可以计算出 $T_{ab}u^au^b$ 就是能量密度分布,而这是张量场的抽象指标分布,不依赖于参考系的选择,所以是合理的推广表达.

4. 守恒定律

   理想流体的能动张量,满足方程

\begin{equation} \partial^aT_{ab}=0 \end{equation}

   式 8 的理解可以类比向量场的散度 $\partial_av^a$.如果向量场 $v^a$ 描述了某种东西的流,比如说流体的质量流,那么 $\partial_av^a$ 就是流体质量的流失速率,在 $\partial_av^a=0$ 的地方自然就有质量密度守恒.

   根据指标的升降法则,对于任何张量 $ \boldsymbol{\mathbf{T}} $,我们定义 $\partial^a \boldsymbol{\mathbf{T}} =\eta^{ab}\partial_a \boldsymbol{\mathbf{T}} $,这样子我们就可以把式 8 理解为 $\eta^{ai}\partial_i(T_b)^a$,相当于用余切向量场 $T_b$ 取代了光滑函数 $v$,形式不变,同样表达了某种量的守恒.

   什么东西守恒呢?

   利用式 7 ,$T_{ab}=\rho u_au_b+P g_{ab}+P u_au_b$,把式 4 展开,我们能得到:

\begin{equation} \begin{aligned} 0=\partial^aT_{ab}=&\partial^a(\rho u_au_b+P g_{ab}+P u_au_b)\\ =&u_au_b\partial^a\rho+\rho u_b\partial^au_a+\rho u_a\partial^au_b+\\ &g_{ab}\partial^ag_{ab}+P\partial^ag_{ab}+\\ &u_au_b\partial^aP+P u_b\partial^au_a+P u_a\partial^au_b \end{aligned} \end{equation}

   式 9 最右边很长,我们可以把它分成两部分,分别是在度量 $\eta_{ab}$ 下垂直和平行于 $u^b$ 的项.显然,其中的 $u_au_b\partial^a\rho+\rho u_b\partial^au_a+P u_b\partial^au_a$ 是平行于 $u^b$ 的,因为它们都是在 $u_b$ 前面乘以一个光滑函数的形式;我们断言,剩下的部分,是垂直于 $u^b$ 的,即与 $u^b$ 的内积为 $0$.

   这是因为,剩下的那部分还可以再分成两部分,一个是 $(P+\rho)u_a\partial^au_b$,一个是 $(\eta_{ab}+u_au_b)\partial^aP$.考虑到 $u^b$ 按定义必须是单位向量,因此 $\partial_au^b$ 必定与 $u^a$ 垂直,即 $u^a\partial_au^b=0$,因此 $u^b(P+\rho)u_a\partial^au_b=0$;再由洛伦兹度规的定义,$u^au_b=1$,因此 $u^b(\eta_{ab}+u_au_b)=u_a-u_a=0$.综上,剩下这部分与 $u^b$ 的乘积就是 $0$4

   将式 9 最右边按上述讨论分成垂直和平行于 $u^b$ 的两部分后,就分别得到了两个独立的等式(适当进行指标升降以获得更直观的表达):

\begin{equation} u^a\partial_a\rho+(\rho+P)\partial^au_a=0 \end{equation}
\begin{equation} (P+\rho)u^a\partial_au_b+(\eta_{ab}+u_au_b)\partial^aP=0 \end{equation}

   回归经典极限时,三速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 很小,以至于 $u^\mu= \begin{pmatrix}1, \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{pmatrix} $,而流体之间的压强也远小于密度,那么式 10 式 11 就分别变成

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial t}\rho+ \boldsymbol{\nabla} \cdot(\rho \boldsymbol{\mathbf{v}} )=0 \end{equation}
\begin{equation} \rho(\frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{\mathbf{v}} +( \boldsymbol{\mathbf{v}} \cdot \boldsymbol{\nabla} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} )=- \boldsymbol{\nabla} P \end{equation}

   式 12 意味着任意点处质量密度 $\rho$ 的流失速率等于 $\rho \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的散度,即质量流就是 $\rho \boldsymbol{\mathbf{v}} $,因此是质量守恒的表达式.

   式 13 是流体的欧拉方程5

   式 12 式 13 都是取经典极限进行的讨论,说明了式 8 是经典力学的合理推广.对于一般的情况,$\partial^aT_{ab}=0$ 可以看成是描述了四个分量的守恒定律,即固定 $b$ 指标来考虑,一共有四种固定方法.对于固定的 $b$ 指标,$T_{ab}$ 描述的是流体在 $a$ 面上单位面积受力的 $b$ 分量,因此式 8 描述了流体四动量的 $b$ 分量的守恒律.那么综合来看,该式描述的是四动量的守恒定律,即相对论动力学假设.


1. ^ 多维几何学中,将 $n$ 维空间中的一个 $n-1$ 维子空间称为一个超平面(hypersurface),因此这里的三维平面,指的是四维空间中的三维超平面.
2. ^ 这里有一个视错觉现象,即绿色线段看起来不是垂直的,而是微微倒向左边.
3. ^ 即取包含此时空点 $p$ 的体积,计算体积中质心的轨迹,然后取体积趋于零的极限,所得的极限轨迹就是局部质心.
4. ^ 特别要注意的是 $u^b(\eta_{ab}+u_au_b)$ 这一部分,如果取 $\eta_{ab}= \operatorname {diag} \begin{pmatrix}1&-1&-1&-1\end{pmatrix} $,那它就不再垂直于 $u^b$ 了.
5. ^流体运动的描述方法中的欧拉法.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利