相对论加速度变换

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　相对论速度变换

1. 一般情况下的加速度变换

问题的限制条件

　　为了简化讨论，不失一般性，我们可以把情景按以下方式设定：

　　假设 $K_{2}$ 相对 $K_{1}$ 的运动速度是 $v = (\begin{matrix} v \\ 0 \\ 0 \end{matrix})$ 。设在 $K_{1}$ 中，有一质点以速度 $u = (\begin{matrix} u_{x} \\ u_{y} \\ u_{z} \end{matrix})$ 运动，其在 $K_{2}$ 中的速度是 $u^{'} = (\begin{matrix} u_{x}^{'} \\ u_{y}^{'} \\ u_{z}^{'} \end{matrix})$ 。同时，质点在 $K_{1}$ 中有加速度 $a = \frac{d}{d t} u = (\begin{matrix} a_{x} \\ a_{y} \\ a_{z} \end{matrix})$ ，在 $K_{2}$ 中加速度则为 $a^{'} = \frac{d}{d t^{'}} u^{'} = (\begin{matrix} a_{x}^{'} \\ a_{y}^{'} \\ a_{z}^{'} \end{matrix})$ 。选取两坐标系的原点位置使它们重合、在质点轨迹上，并且设质点一直以匀速运动，直到在 $K_{1}$ 中测量的时间 $t$ 时才有了非零加速度。

　　计算的整体思路是，将 $\frac{d}{d t^{'}} u^{'}$ 拆成 $\frac{d}{d t} u^{'} \cdot \frac{d t}{d t^{'}}$ ，分别计算两个微商，然后再乘起来。一阶微分的形式不变性保证了这个思路的合法性。

　　注意，这里并不能简单地令 $t^{'} = \sqrt{1 - v^{2}} t$ ，因为质点的位置并不总是在 $K_{2}$ 的原点处，我们需要选所讨论位置的 $t^{'}$ 。

　　于是有

\begin{matrix} (1) & u^{'} = \frac{\sqrt{1 - v^{2}} - \frac{1 - \sqrt{1 - v^{2}}}{v^{2}} (u \cdot v) v - v}{1 - u \cdot v}, \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & t^{'} = \frac{t - v u_{x} t}{\sqrt{1 - v^{2}}} . \end{matrix}

　　从式 2 可得，

\begin{matrix} (3) & \frac{d t}{d t^{'}} = \frac{1}{d t^{'} / d t} = \frac{\sqrt{1 - v^{2}}}{1 - u_{x} v} . \end{matrix}

习题 1　

　　已知对于向量 $A$ ， $B$ 和 $C$ 有恒等式： $C \times (A \times B) = (C \cdot B) A - (C \cdot A) B$ ，结合式 1 ，请证明：

\begin{matrix} (4) & \frac{d}{d t} u^{'} = \frac{1 - v^{2}}{(1 - u \cdot v)^{2}} [a - \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}} + 1 - v^{2}} (a \times v) \times v + \sqrt{1 - v^{2}} (a \times u) \times v] . \end{matrix}

　　将式 3 和式 4 相乘，即得到

\begin{matrix} (5) & a^{'} = \frac{d}{d t} u^{'} \cdot \frac{d t}{d t^{'}} = \frac{(1 - v^{2})^{3 / 2}}{(1 - u v)^{3}} [a - \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}} + 1 - v^{2}} (a \times v) \times v + \sqrt{1 - v^{2}} (a \times u) \times v] . \end{matrix}

　　同样地，由于在 $K_{2}$ 眼中，质点以 $u^{'}$ 运动且 $K_{1}$ 以 $- v$ 运动，因此可以得到逆变换：

\begin{matrix} (6) & a = \frac{(1 - v^{2})^{3 / 2}}{(1 + u^{'} v)^{3}} [a^{'} - \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}} + 1 - v^{2}} (a^{'} \times v) \times v - \sqrt{1 - v^{2}} (a^{'} \times u^{'}) \times v] . \end{matrix}

2. 瞬时自身系中的变换

　　对于运动的质点，和质点一直相对静止的参考系称为质点的自身系。如果质点在惯性系中有非零加速度，那么自身系就不是惯性系，不在狭义相对论的讨论范围内。但是，对于质点轨迹上的给定点，我们可以取质点在这里的速度，然后选择一个在这一瞬间和质点相对静止的惯性系。这样在某一点处和质点相对静止的参考系，称为质点的瞬时自身系。

　　在本节讨论中，如果设 $u = v$ ，即 $u^{'} = 0$ ，那么在加速度出现时， $K_{2}$ 就是质点在这一事件位置的瞬时自身系。质点在瞬时自身系中的加速度是 $a^{'}$ ，那么由式 6 ，其在 $K_{1}$ 中的加速度是

\begin{matrix} (7) & a = (1 - v^{2})^{3 / 2} [a^{'} - \frac{1}{\sqrt{1 - v^{2}} + 1 - v^{2}} (a^{'} \times v) \times v] . \end{matrix}

　　如果 $a^{'} ∥ v$ ，则有

\begin{matrix} (8) & a = (1 - v^{2})^{3 / 2} a^{'} . \end{matrix}

因此

a ∥ v

。

　　如果 $a^{'} ⊥ v$ ，则有

\begin{matrix} (9) & a = (1 - v^{2}) a^{'}, \end{matrix}

因此

a ⊥ v

。

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