相对论加速度变换

                     

贡献者: JierPeter; addis

预备知识 相对论速度变换

1. 一般情况下的加速度变换

问题的限制条件

   为了简化讨论,不失一般性,我们可以把情景按以下方式设定:

   假设 K2 相对 K1 的运动速度是 v=(v00)。设在 K1 中,有一质点以速度 u=(uxuyuz) 运动,其在 K2 中的速度是 u=(uxuyuz)。同时,质点在 K1 中有加速度 a=ddtu=(axayaz),在 K2 中加速度则为 a=ddtu=(axayaz)。选取两坐标系的原点位置使它们重合、在质点轨迹上,并且设质点一直以匀速运动,直到在 K1 中测量的时间 t 时才有了非零加速度。

   计算的整体思路是,将 ddtu 拆成 ddtudtdt,分别计算两个微商,然后再乘起来。一阶微分的形式不变性保证了这个思路的合法性。

   注意,这里并不能简单地令 t=1v2t,因为质点的位置并不总是在 K2 的原点处,我们需要选所讨论位置的 t

   于是有

(1)u=1v211v2v2(uv)vv1uv ,
(2)t=tvuxt1v2 .

   从式 2 可得,

(3)dtdt=1dt/dt=1v21uxv .

习题 1 

   已知对于向量 ABC 有恒等式:C×(A×B)=(CB)A(CA)B,结合式 1 ,请证明:

(4)ddtu=1v2(1uv)2[a11v2+1v2(a×v)×v+1v2(a×u)×v] .

   将式 3 式 4 相乘,即得到

(5)a=ddtudtdt=(1v2)3/2(1uv)3[a11v2+1v2(a×v)×v+1v2(a×u)×v] .

   同样地,由于在 K2 眼中,质点以 u 运动且 K1v 运动,因此可以得到逆变换:

(6)a=(1v2)3/2(1+uv)3[a11v2+1v2(a×v)×v1v2(a×u)×v] .

2. 瞬时自身系中的变换

   对于运动的质点,和质点一直相对静止的参考系称为质点的自身系。如果质点在惯性系中有非零加速度,那么自身系就不是惯性系,不在狭义相对论的讨论范围内。但是,对于质点轨迹上的给定点,我们可以取质点在这里的速度,然后选择一个在这一瞬间和质点相对静止的惯性系。这样在某一点处和质点相对静止的参考系,称为质点的瞬时自身系

   在本节讨论中,如果设 u=v,即 u=0,那么在加速度出现时,K2 就是质点在这一事件位置的瞬时自身系。质点在瞬时自身系中的加速度是 a,那么由式 6 ,其在 K1 中的加速度是

(7)a=(1v2)3/2[a11v2+1v2(a×v)×v] .

   如果 av,则有

(8)a=(1v2)3/2a .
因此 av

   如果 av,则有

(9)a=(1v2)a ,
因此 av


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