相对论加速度变换

             

预备知识 相对论速度变换

1. 一般情况下的加速度变换

问题的限制条件

   为了简化讨论,不失一般性,我们可以把情景按以下方式设定:

   假设 $K_2$ 相对 $K_1$ 的运动速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} =\left(\begin{matrix}v\\0\\0\end{matrix} \right) $.设在 $K_1$ 中,有一质点以速度 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} =\left(\begin{matrix}u_x\\u_y\\u_z\end{matrix} \right)$ 运动,其在 $K_2$ 中的速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{u'}} =\left(\begin{matrix}u_x'\\u_y'\\u_z'\end{matrix} \right) $.同时,质点在 $K_1$ 中有加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} =\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{u}} =\left(\begin{matrix}a_x\\a_y\\a_z\end{matrix} \right)$,在 $K_2$ 中加速度则为 $ \boldsymbol{\mathbf{a'}} =\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t'} } \boldsymbol{\mathbf{u'}} =\left(\begin{matrix}a_x'\\a_y'\\a_z'\end{matrix} \right)$.选取两坐标系的原点位置使它们重合、在质点轨迹上,并且设质点一直以匀速运动,直到在 $K_1$ 中测量的时间 $t$ 时才有了非零加速度.

   计算的整体思路是,将 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t'} } \boldsymbol{\mathbf{u'}} $ 拆成 $\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{u'}} \cdot\frac{ \,\mathrm{d}{t} }{ \,\mathrm{d}{t'} }$,分别计算两个微商,然后再乘起来.一阶微分的形式不变性保证了这个思路的合法性.

   注意,这里并不能简单地令 $t'=\sqrt{1-v^2}t$,因为质点的位置并不总是在 $K_2$ 的原点处,我们需要选所讨论位置的 $t'$.

   于是有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{u'}} =\frac{\sqrt{1-v^2}-\frac{1-\sqrt{1-v^2}}{v^2}( \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} ) \boldsymbol{\mathbf{v}} - \boldsymbol{\mathbf{v}} }{1- \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} } \end{equation}
\begin{equation} t'=\frac{t-vu_xt}{\sqrt{1-v^2}} \end{equation}

   从式 2 可得,

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{t} }{ \,\mathrm{d}{t} '}=\frac{1}{ \,\mathrm{d}{t} '/ \,\mathrm{d}{t} }=\frac{\sqrt{1-v^2}}{1-u_xv} \end{equation}

习题 1 

   已知对于向量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $,$ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{C}} $ 有恒等式:$ \boldsymbol{\mathbf{C}} \times( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{B}} )=( \boldsymbol{\mathbf{C}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} ) \boldsymbol{\mathbf{A}} -( \boldsymbol{\mathbf{C}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{A}} ) \boldsymbol{\mathbf{B}} $,结合式 1 ,请证明:

\begin{equation} \frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{u'}} =\frac{1-v^2}{(1- \boldsymbol{\mathbf{u}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} )^2}[ \boldsymbol{\mathbf{a}} -\frac{1}{\sqrt{1-v^2}+1-v^2}( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{v}} )\times \boldsymbol{\mathbf{v}} +\sqrt{1-v^2}( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{u}} )\times \boldsymbol{\mathbf{v}} ] \end{equation}

   将式 3 式 4 相乘,即得到

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a'}} =\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{t} } \boldsymbol{\mathbf{u'}} \cdot\frac{ \,\mathrm{d}{t} }{ \,\mathrm{d}{t} '}=\frac{(1-v^2)^{3/2}}{(1- \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol{\mathbf{v}} )^3}[ \boldsymbol{\mathbf{a}} -\frac{1}{\sqrt{1-v^2}+1-v^2}( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{v}} )\times \boldsymbol{\mathbf{v}} +\sqrt{1-v^2}( \boldsymbol{\mathbf{a}} \times \boldsymbol{\mathbf{u}} )\times \boldsymbol{\mathbf{v}} ] \end{equation}

   同样地,由于在 $K_2$ 眼中,质点以 $ \boldsymbol{\mathbf{u'}} $ 运动且 $K_1$ 以 $- \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 运动,因此可以得到逆变换:

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} =\frac{(1-v^2)^{3/2}}{(1+ \boldsymbol{\mathbf{u'}} \boldsymbol{\mathbf{v}} )^3}[ \boldsymbol{\mathbf{a'}} -\frac{1}{\sqrt{1-v^2}+1-v^2}( \boldsymbol{\mathbf{a'}} \times \boldsymbol{\mathbf{v}} )\times \boldsymbol{\mathbf{v}} -\sqrt{1-v^2}( \boldsymbol{\mathbf{a'}} \times \boldsymbol{\mathbf{u'}} )\times \boldsymbol{\mathbf{v}} ] \end{equation}

2. 瞬时自身系中的变换

   对于运动的质点,和质点一直相对静止的参考系称为质点的自身系.如果质点在惯性系中有非零加速度,那么自身系就不是惯性系,不在狭义相对论的讨论范围内.但是,对于质点轨迹上的给定点,我们可以取质点在这里的速度,然后选择一个在这一瞬间和质点相对静止的惯性系.这样在某一点处和质点相对静止的参考系,称为质点的瞬时自身系

   在本节讨论中,如果设 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} = \boldsymbol{\mathbf{v}} $,即 $ \boldsymbol{\mathbf{u'}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $,那么在加速度出现时,$K_2$ 就是质点在这一事件位置的瞬时自身系.质点在瞬时自身系中的加速度是 $ \boldsymbol{\mathbf{a'}} $,那么由式 6 ,其在 $K_1$ 中的加速度是

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} =(1-v^2)^{3/2}[ \boldsymbol{\mathbf{a'}} -\frac{1}{\sqrt{1-v^2}+1-v^2}( \boldsymbol{\mathbf{a'}} \times \boldsymbol{\mathbf{v}} )\times \boldsymbol{\mathbf{v}} ] \end{equation}

   如果 $ \boldsymbol{\mathbf{a'}} \parallel \boldsymbol{\mathbf{v}} $,则有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} =(1-v^2)^{3/2} \boldsymbol{\mathbf{a'}} \end{equation}
因此 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} \parallel \boldsymbol{\mathbf{v}} $.

   如果 $ \boldsymbol{\mathbf{a'}} \perp \boldsymbol{\mathbf{v}} $,则有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{a}} =(1-v^2) \boldsymbol{\mathbf{a'}} \end{equation}
因此 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} \perp \boldsymbol{\mathbf{v}} $.

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