算符平均值的演化、Ehrenfest 定理

贡献者： Siegfried; 叶月2_; addis

预备知识　量子力学中的基本算符

　　对于给定的量子态，有意义的观测量主要为力学量本征值、本征值概率分布以及平均值。由于态矢随时间演化，平均值自然也有其运动方程。

定理 1　平均值的演化

　　设 $\hat{A}$ 为任意算符， $⟨ ⟩$ 表示平均值，则有：

\begin{matrix} (1) & \frac{d ⟨ \hat{A} ⟩}{d t} = ⟨ \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} ⟩ + \frac{i}{ℏ} ⟨ [\hat{H}, \hat{A}] ⟩ . \end{matrix}

　　 证明：

　　设 $t$ 时刻态矢为 $| a ⟩$ ， $⟨ \hat{A} ⟩$ 为 $⟨ a | \hat{A} (t) | a ⟩$ 的简写，则运动方程为

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \frac{d ⟨ \hat{A} ⟩}{d t} & = \frac{d ⟨ a | \hat{A} (t) | a ⟩}{d t} \\ = \frac{\partial ⟨ a |}{\partial t} \hat{A} (t) | a ⟩ + ⟨ a | \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} | a ⟩ + ⟨ a | \hat{A} \frac{\partial | a ⟩}{\partial t} \\ = ⟨ \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} ⟩ + \frac{1}{i ℏ} ⟨ a | - \hat{H} \hat{A} + \hat{A} \hat{H} | a ⟩ \\ = ⟨ \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} ⟩ + \frac{i}{ℏ} ⟨ [\hat{H}, \hat{A}] ⟩, \end{aligned} \end{matrix}

得证。

　　如果可观察量 $\hat{A}$ 不随时间演化。且与哈密顿算符对易：

\begin{matrix} (3) & \frac{\partial \hat{A}}{\partial t} = 0, [\hat{H}, \hat{A}] = 0, \end{matrix}

那么

\hat{A}

的期望值不随时间演化，物理上一个可观测量

\hat{A}

，如果满足

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial ⟨ \hat{A} ⟩}{\partial t} = 0, \end{matrix}

被称为守恒量。

例 1　范数守恒

　　最简单的算符是单位算符：

\begin{matrix} (5) & \hat{A} \equiv \hat{1} . \end{matrix}

其对应的可观测量是全体概率之和（当然是 1），也是归一化的波函数

Ψ

在希尔伯特空间的范数的平方：

\begin{matrix} (6) & {‖ Ψ (x, t) ‖}^{2} = ⟨ \hat{1} ⟩ = \int d^{3} x Ψ^{*} (x, t) 1 Ψ (x, t) = 1 . \end{matrix}

因为单位算符不随时间变化，且和所有的算符对易，所以范数一定是守恒量。

\begin{matrix} (7) & \frac{\partial ⟨ \hat{1} ⟩}{\partial t} = 0, \end{matrix}

例 2　能量守恒

　　我们观察哈密顿算符本身：

\begin{matrix} (8) & \hat{A} \equiv \hat{H} . \end{matrix}

哈密顿算符对应的可观测量是系统的能量。由于

\hat{H}

与

\hat{H}

自身对易，对于一个系统，如果其哈密顿算符不随时间演化，那么能量就是守恒量。

\begin{matrix} (9) & \frac{\partial \hat{H}}{\partial t} = 0 ⟹ \frac{\partial ⟨ \hat{H} ⟩}{\partial t} = 0 . \end{matrix}

例 3　动量的期望

　　我们令 $\hat{A}$ 表示动量算符：

\begin{matrix} (10) & \hat{A} \equiv \hat{p} = \frac{ℏ}{i} \nabla . \end{matrix}

计算哈密顿算符和动量算符的对易子：

\begin{matrix} (11) & [\hat{H}, \hat{p}] = [\frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + V (x), \hat{p}] = [V (x), \hat{p}] = - \frac{ℏ}{i} \nabla V (x) . \end{matrix}

再带入式 1 ，从而得到动量的期望值：

\begin{matrix} (12) & \frac{d ⟨ \hat{p} ⟩}{d t} = - ⟨ \nabla V (x) ⟩ \equiv ⟨ F (x) ⟩, \end{matrix}

上式称为 Ehrenfest 定理。如果力的期望

⟨ F (x) ⟩ = - ⟨ \nabla V (x) ⟩

为零，则动量的期望值守恒。

例 4　位置的期望

　　我们令 $\hat{A}$ 表示位置算符：

\begin{matrix} (13) & \hat{A} \equiv x . \end{matrix}

相关的对易子是：

\begin{matrix} (14) & [\hat{H}, x] = [\frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m}, x] = \frac{1}{2 m} [p_{k} p_{k}, x] = \frac{1}{2 m} (p_{k} [p_{k}, x] + [p_{k}, x] p_{k}), \end{matrix}

为了书写简便，这里使用了爱因斯坦求和约定，即对相同指标求和。继续应用动量与位置的对易关系：

\begin{matrix} (15) & [p_{k}, x_{l}] = - i ℏ δ_{k l}, \end{matrix}

最终得到：

\begin{matrix} (16) & [\hat{H}, x] = \frac{1}{m} \frac{ℏ}{i} \hat{p} . \end{matrix}

带入 Ehrenfest 定理，从而得到位置的期望值：

\begin{matrix} (17) & \frac{\partial ⟨ x ⟩}{\partial t} = \frac{1}{m} ⟨ \hat{p} ⟩ . \end{matrix}

在 Griffiths 的量子力学概论 [1] 中，多次用到式 17 。

　　注意：式 12 与式 17 和经典运动方程非常相似。但这并不表示，相关的期望值 $⟨ x ⟩$ 与 $⟨ \hat{p} ⟩$ 服从经典力学的运动方程。因为位置的期望的力，通常不等于位置的力的期望：

\begin{matrix} (18) & ⟨ F (x) ⟩ \neq F (⟨ x ⟩) . \end{matrix}

[1] ^ David Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 4ed

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算符平均值的演化、Ehrenfest 定理

定理 1 平均值的演化

例 1 范数守恒

例 2 能量守恒

例 3 动量的期望

例 4 位置的期望

定理 1　平均值的演化

例 1　范数守恒

例 2　能量守恒

例 3　动量的期望

例 4　位置的期望