贡献者： Siegfried; 叶月2_
对于给定的量子态，有意义的观测量主要为力学量本征值、本征值概率分布以及平均值。由于态矢随时间演化，平均值自然也有其运动方程。
定理 1 平均值的演化
设 $\hat A$ 为任意算符，$\left\langle\right\rangle$ 表示平均值，则有：
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{\left\langle \hat A \right\rangle}}{\mathrm{d}{t}} =\left\langle\frac{\partial \hat A}{\partial t}\right\rangle+\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}\langle[\hat H, \hat A]\rangle~.
\end{equation}
证明：
设 $t$ 时刻态矢为 $ \left\lvert a \right\rangle $，$\left\langle \hat A\right\rangle$ 为 $ \left\langle a \right\rvert \hat A(t) \left\lvert a \right\rangle $ 的简写，则运动方程为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}{\left\langle \hat A \right\rangle}}{\mathrm{d}{t}} &= \frac{\mathrm{d}{ \left\langle a \right\rvert \hat A(t) \left\lvert a \right\rangle }}{\mathrm{d}{t}} \\
&= \frac{\partial \left\langle a \right\rvert }{\partial t} \hat A(t) \left\lvert a \right\rangle + \left\langle a \right\rvert \frac{\partial \hat A}{\partial t} \left\lvert a \right\rangle + \left\langle a \right\rvert \hat A \frac{\partial \left\lvert a \right\rangle }{\partial t} \\
&=\left\langle \frac{\partial \hat A}{\partial t} \right\rangle+\frac{1}{ \mathrm{i} \hbar} \left\langle a \right\rvert -\hat H\hat A+\hat A\hat H \left\lvert a \right\rangle \\
&=\left\langle \frac{\partial \hat A}{\partial t} \right\rangle+\frac{ \mathrm{i} }{\hbar}\left\langle [\hat H,\hat A]\right\rangle~,
\end{aligned}
\end{equation}
得证。
如果可观察量 $\hat A$ 不随时间演化。且与哈密顿算符对易：
\begin{equation}
\frac{\partial \hat A}{\partial t}=0,\qquad[\hat H, \hat A]=0~,
\end{equation}
那么 $\hat A$ 的期望值不随时间演化，物理上一个可观测量 $\hat A$，如果满足
\begin{equation}
\frac{\partial\langle \hat A\rangle}{\partial t}=0~,
\end{equation}
被称为守恒量。
例 1 范数守恒
最简单的算符是单位算符：
\begin{equation}
\hat A\equiv \hat 1~.
\end{equation}
其对应的可观测量是全体概率之和（当然是 1），也是归一化的波函数 $\Psi$ 在希尔伯特空间的范数的平方：
\begin{equation}
\left\lVert \Psi(\boldsymbol{x}, t) \right\rVert ^2 = \langle\hat{1}\rangle=\int d^{3}x \Psi^{*}(\boldsymbol{x}, t) 1 \Psi(\boldsymbol{x}, t)=1~.
\end{equation}
因为单位算符不随时间变化，且和所有的算符对易，所以范数一定是守恒量。
\begin{equation}
\frac{\partial\langle \hat 1\rangle}{\partial t}=0~,
\end{equation}
例 2 能量守恒
我们观察哈密顿算符本身：
\begin{equation}
\hat A\equiv \hat H~.
\end{equation}
哈密顿算符对应的可观测量是系统的能量。由于 $\hat H$ 与 $\hat H$ 自身对易，对于一个系统，如果其哈密顿算符不随时间演化，那么能量就是守恒量。
\begin{equation}
\frac{\partial \hat H}{\partial t}=0 \quad\implies\quad \frac{\partial\langle \hat H\rangle}{\partial t}=0~.
\end{equation}
例 3 动量的期望
我们令 $\hat A$ 表示动量算符：
\begin{equation}
\hat A \equiv \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } = \frac{\hbar}{ \mathrm{i} } \nabla~.
\end{equation}
计算哈密顿算符和动量算符的对易子：
\begin{equation}
[\hat H, \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }]=\left[\frac{\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }^2}{2 m}+V(\boldsymbol{x}), \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\right]=[V(\boldsymbol{x}), \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }]=-\frac{\hbar}{ \mathrm{i} } \nabla V(\boldsymbol{x})~.
\end{equation}
再带入
式 1 ，从而得到动量的期望值：
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{\left \langle \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} } \right\rangle}}{\mathrm{d}{t}} =-\langle\nabla V(\boldsymbol{x})\rangle \equiv\langle\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})\rangle~,
\end{equation}
上式称为
Ehrenfest 定理。如果力的期望 $\langle\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})\rangle=-\langle\nabla V(\boldsymbol{x})\rangle$ 为零，则动量的期望值守恒。
例 4 位置的期望
我们令 $\hat A$ 表示位置算符：
\begin{equation}
\hat A \equiv \boldsymbol{x}~.
\end{equation}
相关的对易子是：
\begin{equation}
[\hat H, \boldsymbol{x}]=\left[\frac{\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }^2}{2 m}, \boldsymbol{x}\right]=\frac{1}{2 m}\left[p_k p_k, \boldsymbol{x}\right]=\frac{1}{2 m}\left(p_k\left[p_k, \boldsymbol{x}\right]+\left[p_k, \boldsymbol{x}\right] p_k\right)~,
\end{equation}
为了书写简便，这里使用了爱因斯坦求和约定，即对相同指标求和。继续应用动量与位置的对易关系：
\begin{equation}
\left[p_k, x_l\right]=- \mathrm{i} \hbar \delta_{k l}~,
\end{equation}
最终得到：
\begin{equation}
[\hat H, \boldsymbol{x}]=\frac{1}{m} \frac{\hbar}{ \mathrm{i} } \hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }~.
\end{equation}
带入 Ehrenfest 定理，从而得到位置的期望值：
\begin{equation}
\frac{\partial\langle\boldsymbol{x}\rangle}{\partial t}=\frac{1}{m}\langle\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\rangle ~.
\end{equation}
在 Griffiths 的量子力学概论
[1] 中，多次用到
式 17 。
注意：式 12 与 式 17 和经典运动方程非常相似。但这并不表示，相关的期望值 $\langle\boldsymbol{x}\rangle$ 与 $\langle\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\rangle$ 服从经典力学的运动方程。因为位置的期望的力，通常不等于位置的力的期望：
\begin{equation}
\langle\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x})\rangle \ne \boldsymbol{F}(\langle\boldsymbol{x}\rangle)~.
\end{equation}
[1] ^ David Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, 4ed
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。