贡献者: JierPeter; _Eden_
预备知识 传播子(量子力学)
,薛定谔绘景和海森堡绘景
1. 概念的引入
为了方便,我们考虑二维时空的情况,即空间只有一维。
在初始时刻 时,一个粒子处于 位置,将它的态记为 ,其在位置空间的波函数为 。
时间过去 后,我们在 位置测量,发现粒子的概率振幅为 。因此我们可以说,粒子在时间 后 “出现” 在1 的概率密度是 。
同样地,时间过去 后,粒子在 位置的概率振幅为 。
注意到 ,即恒等变换(其矩阵总是单位矩阵),因此我们可以把这个积分插入到任何位置,比如:
式 1 数学上成立,但它有什么物理意义呢?
每个 表达的是,粒子从 开始, 后出现在 的振幅,乘以从 开始,再过 后出现在 的振幅。而式 1 是对这个表达式关于 遍历全空间求积分。
综上,式 1 表达的是:求粒子从 出发、经过 后出现在 的概率振幅,等于先求出粒子经过 后传播到 后再从 经过 后传播到 的振幅,然后把所有可能的 遍历一遍,把得到的所有路径的振幅求积分。这个过程如图 1 所示:
图 1:路径积分的示意图。如图,计算粒子从 经过时间 后传播到 的概率振幅,相当于图中各路径的振幅关于 遍历整个空间求积分。也就是说, 取遍所有可能性,得到类似图中三条路径的所有路径,所有这些路径的振幅积分,即为所求。
同样地,我们可以把时间分成多段,产生更多的路径可能性,则我们所求的振幅 同样是所有这些可能路径的振幅之积分,如图 2 所示。
图 2:将时间分成多段后,得到更多可能路径。
积分表达式为:
最后,当我们给时间所分的段数趋于无穷时,能得到所有可能的路径,如图 3 所示。同样地,所有这些路径的振幅之积分就是我们所求的 。
图 3:全体可能的路径。
2. 路径积分的计算
无穷小路径的概率振幅与经典作用量
我们回到图 1 的例子。任取 时刻一个给定的位置 ,得到一条给定的折线路径。粒子沿着这条路径演化到 的概率振幅是2
这是两条直线段路径的概率振幅之
积。
由于概率振幅是个数字,即路径的泛函,这让人想到一个重要的泛函,经典作用量:,其中拉格朗日函数 。
折线段的作用量,是各直线段组分的作用量之和;而式 3 中,折线段的概率振幅,是各直线段组分的概率振幅之积。由此猜想,可以取作用量的指数,来对应概率振幅。
对于每条折线段(以图 2 为例),记其 和 之间直线段的作用量为
给定
无穷小段的作用量记为 。
我们猜测
其中 是比例和量纲的修正项。下面就讨论该猜想的合理性。
我们对自由粒子应用上述猜想。注意到自由粒子的拉格朗日函数为 ,而无穷小段可以近似于匀速直线运动,故无穷小段的作用量为(时间差 是小量,位置 到 ):
于是
式 7 右边的
指数恰为
自由粒子传播子式 12 的指数部分!
因此,对于一维自由粒子,其无穷小段路径的概率振幅为
其中 是该路径的经典作用量。
类似地,对于三维自由粒子,其无穷小段路径的概率振幅为
一维自由粒子的路径积分
考虑图 2 中任意给定路径,其起点与终点分别固定为 和 。
设时间段均匀划分为 段,即各 。当 时,各 趋于 ,则由式 2 、式 6 和式 8 ,粒子沿着这条路径的概率传播的振幅为
其中 代表泛函积分测度,这里意味着对所有可能的固定两端 的路径 作积分。注意到 为自由粒子沿路径 计算得到的作用量,因此可以将上式简记为
是依赖于泛函积分测度定义方式的一个常数因子,例如在上文中我们将 到 的时间划分为 段,这导致了常数因子 。
一维势场中粒子的路径积分
对于一维势场 中的粒子,其哈密顿量为 ,拉氏量为 。类似于自由粒子的无穷小段路径概率振幅的公式式 8 ,我们同样可以证明
其中
通过类似的推导,最终可以得到一维势场中粒子的路径积分公式:
其中 为粒子沿这条路径所对应的作用量。
路径积分的经典极限
在上面的推导中我们采取了自然单位制 。现在我们复原 ,并考察路径积分公式在经典极限下的行为。
在经典极限 下,路径积分公式中 取极值的路径对结果的贡献最大,而远离极值的路径对应的 相位角振荡会非常剧烈,以至于在经典极限下这些偏离作用量极值的路径的贡献相抵消。这也就是说,在经典极限 的情形下,粒子的运动将只由作用量泛函取极值的路径所决定,这样就从量子力学的情况退化到了经典力学体系,与我们所知的
最小作用量原理相符合。
3. 路径积分公式的 Dirac 方法推导
下面我们利用 Dirac 的思路给出一个更简洁的对路径积分公式的证明方法。
定理 1 量子力学路径积分公式
设有相互作用的哈密顿量
那么 的路径积分表达式为
其中 为粒子的作用量。
为泛函积分测度,当时间划分为 个间隔时它可以被定义为 ( 为第 个时刻的粒子坐标),
而此时常数 (依赖于泛函积分测度的定义)。
将时间 划分为 段,并在计算的最后取 的极限。设 。
将 改写为
当 时 的修正项可以忽略,代入上式可以得到
为了使得关于 的高斯积分收敛,我们可以手动的将 视作 ,这样高动量处积分的贡献就被指数压低了
Gell-Mann-Low 定理将说明这样做是合理的。}。
利用高斯积分公式 ,可以将上面积分公式中的动量积分部分全部约去。最终可以得到
1. ^ 我们也可以说 “传播” 到。
2. ^ 你可以理解为,在 时刻整个宇宙盖上了吸收粒子的材料,只有 处例外,然后立刻把材料取走,那么在 时刻在 找到粒子的概率振幅就是式 3 。这可以和单缝衍射作类比。
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