路径积分(量子力学)

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 传播子(量子力学),薛定谔绘景和海森堡绘景

1. 概念的引入

   为了方便,我们考虑二维时空的情况,即空间只有一维.

   在初始时刻 $t=0$ 时,一个粒子处于 $x_0$ 位置,将它的态记为 $ \left\lvert x_0 \right\rangle $,其在位置空间的波函数为 $\psi_0(x)= \left\langle x \middle| x_0 \right\rangle =\delta(x-x_0)$.

   时间过去 $t_1$ 后,我们在 $x_1$ 位置测量,发现粒子的概率振幅为 $ \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_0 \right\rangle $.因此我们可以说,粒子在时间 $t_1$ 后 “出现” 在1$x_1$ 的概率密度是 $ \left\lvert \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_0 \right\rangle \right\rvert ^2$.

   同样地,时间过去 $t_2 > t_1$ 后,粒子在 $x_2$ 位置的概率振幅为 $ \left\langle x_2 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_2} \left\lvert x_0 \right\rangle $.

   注意到 $\int \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \,\mathrm{d}{x} _1=1$,即恒等变换(其矩阵总是单位矩阵),因此我们可以把这个积分插入到任何位置,比如:

\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle x_2 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_2} \left\lvert x_0 \right\rangle &= \left\langle x_2 \right\rvert \int \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \,\mathrm{d}{x} _1 \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_2} \left\lvert x_0 \right\rangle \\ &= \int \left\langle x_2 \middle| x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_2} \left\lvert x_0 \right\rangle \,\mathrm{d}{x} _1\\ &= \int \left\langle x_2 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H( t_2-t_1)} \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_0 \right\rangle \,\mathrm{d}{x} _1\\ \end{aligned} \end{equation}

   式 1 数学上成立,但它有什么物理意义呢?

   每个 $ \left\langle x_2 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H( t_2-t_1)} \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_0 \right\rangle $ 表达的是,粒子从 $x_0$ 开始,$t_1$ 后出现在 $x_1$ 的振幅,乘以从 $x_1$ 开始,再过 $t_2-t_1$ 后出现在 $x_2$ 的振幅.而式 1 是对这个表达式关于 $x_1$ 遍历全空间求积分.

   综上,式 1 表达的是:求粒子从 $x_0$ 出发、经过 $t_2$ 后出现在 $x_2$ 的概率振幅,等于先求出粒子经过 $t_1$ 后传播到 $x_1$ 后再从 $x_1$ 经过 $t_2-t_1$ 后传播到 $x_2$ 的振幅,然后把所有可能的 $x_1$ 遍历一遍,把得到的所有路径的振幅求积分.这个过程如图 1 所示:

图
图 1:路径积分的示意图.如图,计算粒子从 $x_0$ 经过时间 $t_2$ 后传播到 $x_2$ 的概率振幅,相当于图中各路径的振幅关于 $x_1$ 遍历整个空间求积分.也就是说,$x_1$ 取遍所有可能性,得到类似图中三条路径的所有路径,所有这些路径的振幅积分,即为所求.

   同样地,我们可以把时间分成多段,产生更多的路径可能性,则我们所求的振幅 $ \left\langle x_n \right\rvert \mathcal{U}(t) \left\lvert x_1 \right\rangle $ 同样是所有这些可能路径的振幅之积分,如图 2 所示.

图
图 2:将时间分成多段后,得到更多可能路径.

   积分表达式为:

\begin{equation} \begin{aligned} & \left\langle x_n \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_n} \left\lvert x_0 \right\rangle \\ =& \int \left\langle x_n \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H( t_n-t_1 )} \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_0 \right\rangle \,\mathrm{d}{x} _1\\ =& \int\int \left\langle x_n \right\rvert \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H (t_3-t_2)} \left\lvert x_2 \right\rangle \left\langle x_2 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H( t_2-t_1 )} \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_0 \right\rangle \,\mathrm{d}{x} _1 \,\mathrm{d}{x} _2\\ =& \cdots\\ =&\int\int\cdots\int \,\mathrm{d}{x} _1 \,\mathrm{d}{x} _2\cdots \,\mathrm{d}{x} _{n-1}\times \\ & \left( \left\langle x_n \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H( t_n-t_{n-1} )} \left\lvert x_{n-1} \right\rangle \cdots \left\langle x_2 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H( t_2-t_1 )} \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_0 \right\rangle \right) \end{aligned} \end{equation}

   最后,当我们给时间所分的段数趋于无穷时,能得到所有可能的路径,如图 3 所示.同样地,所有这些路径的振幅之积分就是我们所求的 $ \left\langle x_n \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_n} \left\lvert x_0 \right\rangle $.

图
图 3:全体可能的路径.

2. 路径积分的计算

无穷小路径的概率振幅与经典作用量

   我们回到图 1 的例子.任取 $t_1$ 时刻一个给定的位置 $x_1$,得到一条给定的折线路径.粒子沿着这条路径演化到 $x_2$ 的概率振幅是2

\begin{equation} \left\langle x_2 \right\rvert \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H (t_2-t_1)} \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_1 \right\rangle \end{equation}
这是两条直线段路径的概率振幅之

   由于概率振幅是个数字,即路径的泛函,这让人想到一个重要的泛函,经典作用量:$S=\int_{\text{给定路径}}L \,\mathrm{d}{t} $,其中拉格朗日函数 $L=\frac{m\dot{x}^2}{2}-V(x)$.

   折线段的作用量,是各直线段组分的作用量之;而式 3 中,折线段的概率振幅,是各直线段组分的概率振幅之.由此猜想,可以取作用量的指数,来对应概率振幅.

   对于每条折线段(以图 2 为例),记其 $t_{i-1}$ 和 $t_i$ 之间直线段的作用量为

\begin{equation} S(t_{i}-t_{i-1})=\int^{t_i}_{t_{i-1}} \,\mathrm{d}{t} L(x, \dot{x}) \end{equation}
给定无穷小段的作用量记为 $S( \,\mathrm{d}{t} )$.

   我们猜测

\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} H \,\mathrm{d}{t} } \left\lvert x_0 \right\rangle &= \left(\frac{1}{\omega( \,\mathrm{d}{t} )} \right) \exp \left( \mathrm{i} S( \,\mathrm{d}{t} ) \right) \\ \end{aligned} \end{equation}
其中 $\omega$ 是比例和量纲的修正项.下面就讨论该猜想的合理性.

   我们对自由粒子应用上述猜想.注意到自由粒子的拉格朗日函数为 $L=mv^2/2$,而无穷小段可以近似于匀速直线运动,故无穷小段的作用量为(时间差 $\Delta t$ 是小量,位置 $x_0$ 到 $x_1=x_0+v \Delta t$):

\begin{equation} \begin{aligned} S(\Delta t) &= \int^{\Delta t}_0 \,\mathrm{d}{t} \left(\frac{mv^2}{2} \right) \\ &= \frac{mv^2}{2}\Delta t\\ &= \frac{m}{2} \left(\frac{x_1-x_0}{\Delta t} \right) ^2\Delta t \end{aligned} \end{equation}
于是
\begin{equation} \begin{aligned} \exp \left( \mathrm{i} S(\Delta t) \right) &= \exp \left(\frac{ \mathrm{i} m(x_1-x_0)^2}{2\Delta t} \right) \end{aligned} \end{equation}
式 7 右边的指数恰为自由粒子传播子式 12 的指数部分!

   因此,对于一维自由粒子,其无穷小段路径的概率振幅为

\begin{equation} \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H \,\mathrm{d}{t} } \left\lvert x_0 \right\rangle = \sqrt{\frac{m}{2\pi \mathrm{i} \,\mathrm{d}{t} }}\exp \left( \mathrm{i} S( \,\mathrm{d}{t} ) \right) \end{equation}
其中 $S$ 是该路径的经典作用量.

   类似地,对于三维自由粒子,其无穷小段路径的概率振幅为

\begin{equation} \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H \,\mathrm{d}{t} } \left\lvert x_0 \right\rangle = \left(\frac{m}{2\pi \mathrm{i} \,\mathrm{d}{t} } \right) ^{3/2}\exp \left( \mathrm{i} S( \,\mathrm{d}{t} ) \right) \end{equation}

一维自由粒子的路径积分

   考虑图 2 中任意给定路径$\Gamma$,其起点与终点分别固定为 $(x_0, t_0)$ 和 $(x_n, t_n)$.

   设时间段均匀划分为 $n$ 段,即各 $t_{i+1}-t_i=t_n/n$.当 $n\to\infty$ 时,各 $t_{i+1}-t_i$ 趋于 $0$,则由式 2 式 6 式 8 ,粒子沿着这条路径的概率传播的振幅为

\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle x_n \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_n} \left\lvert x_0 \right\rangle &= \lim_{n\to\infty} \int\int\cdots\int \,\mathrm{d}{x} _1 \,\mathrm{d}{x} _2\cdots \,\mathrm{d}{x} _{n-1}\times \\ &\phantom{11} \left( \left\langle x_n \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H( t_n-t_{n-1} )} \left\lvert x_{n-1} \right\rangle \cdots \left\langle x_2 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H( t_2-t_1 )} \left\lvert x_1 \right\rangle \left\langle x_1 \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t_1} \left\lvert x_0 \right\rangle \right) \\ &= \lim_{n\to\infty} \left(\frac{m}{2\pi \mathrm{i} \,\mathrm{d}{t} } \right) ^{3n/2}\int\int\cdots\int \,\mathrm{d}{x} _1 \,\mathrm{d}{x} _2\cdots \,\mathrm{d}{x} _{n-1}\times \\ &\phantom{11}\exp \left( \mathrm{i} \frac{nm}{2t_n}\sum_{i=0}^{n-1}(x_{i+1}-x_i)^2 \right) \end{aligned} \end{equation}


1. ^ 我们也可以说 “传播” 到.
2. ^ 你可以理解为,在 $t_1$ 时刻整个宇宙盖上了吸收粒子的材料,只有 $x_1$ 处例外,然后立刻把材料取走,那么在 $t_2$ 时刻在 $x_2$ 找到粒子的概率振幅就是式 3 .这可以和单缝衍射作类比.


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