路径积分（量子力学）

贡献者： JierPeter; _Eden_

预备知识　传播子（量子力学），薛定谔绘景和海森堡绘景

1. 概念的引入

　　为了方便，我们考虑二维时空的情况，即空间只有一维。

　　在初始时刻 $t = 0$ 时，一个粒子处于 $x_{0}$ 位置，将它的态记为 $| x_{0} ⟩$ ，其在位置空间的波函数为 $ψ_{0} (x) = ⟨ x | x_{0} ⟩ = δ (x - x_{0})$ 。

　　时间过去 $t_{1}$ 后，我们在 $x_{1}$ 位置测量，发现粒子的概率振幅为 $⟨ x_{1} | e^{- i H t_{1}} | x_{0} ⟩$ 。因此我们可以说，粒子在时间 $t_{1}$ 后 “出现” 在¹ $x_{1}$ 的概率密度是 ${| ⟨ x_{1} | e^{- i H t_{1}} | x_{0} ⟩ |}^{2}$ 。

　　同样地，时间过去 $t_{2} > t_{1}$ 后，粒子在 $x_{2}$ 位置的概率振幅为 $⟨ x_{2} | e^{- i H t_{2}} | x_{0} ⟩$ 。

　　注意到 $\int | x_{1} ⟩ ⟨ x_{1} | d x_{1} = 1$ ，即恒等变换（其矩阵总是单位矩阵），因此我们可以把这个积分插入到任何位置，比如：

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} ⟨ x_{2} | e^{- i H t_{2}} | x_{0} ⟩ & = ⟨ x_{2} | \int | x_{1} ⟩ ⟨ x_{1} | d x_{1} e^{- i H t_{2}} | x_{0} ⟩ \\ = \int ⟨ x_{2} | x_{1} ⟩ ⟨ x_{1} | e^{- i H t_{2}} | x_{0} ⟩ d x_{1} \\ = \int ⟨ x_{2} | e^{- i H (t_{2} - t_{1})} | x_{1} ⟩ ⟨ x_{1} | e^{- i H t_{1}} | x_{0} ⟩ d x_{1} . \end{aligned} \end{matrix}

　　式 1 数学上成立，但它有什么物理意义呢？

　　每个 $⟨ x_{2} | e^{- i H (t_{2} - t_{1})} | x_{1} ⟩ ⟨ x_{1} | e^{- i H t_{1}} | x_{0} ⟩$ 表达的是，粒子从 $x_{0}$ 开始， $t_{1}$ 后出现在 $x_{1}$ 的振幅，乘以从 $x_{1}$ 开始，再过 $t_{2} - t_{1}$ 后出现在 $x_{2}$ 的振幅。而式 1 是对这个表达式关于 $x_{1}$ 遍历全空间求积分。

　　综上，式 1 表达的是：求粒子从 $x_{0}$ 出发、经过 $t_{2}$ 后出现在 $x_{2}$ 的概率振幅，等于先求出粒子经过 $t_{1}$ 后传播到 $x_{1}$ 后再从 $x_{1}$ 经过 $t_{2} - t_{1}$ 后传播到 $x_{2}$ 的振幅，然后把所有可能的 $x_{1}$ 遍历一遍，把得到的所有路径的振幅求积分。这个过程如图 1 所示：

图 1：路径积分的示意图。如图，计算粒子从

x_{0}

经过时间

t_{2}

后传播到

x_{2}

的概率振幅，相当于图中各路径的振幅关于

x_{1}

遍历整个空间求积分。也就是说，

x_{1}

取遍所有可能性，得到类似图中三条路径的所有路径，所有这些路径的振幅积分，即为所求。

　　同样地，我们可以把时间分成多段，产生更多的路径可能性，则我们所求的振幅 $⟨ x_{n} | U (t) | x_{1} ⟩$ 同样是所有这些可能路径的振幅之积分，如图 2 所示。

图 2：将时间分成多段后，得到更多可能路径。

　　积分表达式为：

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} ⟨ x_{n} | e^{- i H t_{n}} | x_{0} ⟩ \\ = & \int ⟨ x_{n} | e^{- i H (t_{n} - t_{1})} | x_{1} ⟩ ⟨ x_{1} | e^{- i H t_{1}} | x_{0} ⟩ d x_{1} \\ = & \int \int ⟨ x_{n} | e^{i H (t_{3} - t_{2})} | x_{2} ⟩ ⟨ x_{2} | e^{- i H (t_{2} - t_{1})} | x_{1} ⟩ ⟨ x_{1} | e^{- i H t_{1}} | x_{0} ⟩ d x_{1} d x_{2} \\ = & \dots \\ = & \int \int \dots \int d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n - 1} \times \\ (⟨ x_{n} | e^{- i H (t_{n} - t_{n - 1})} | x_{n - 1} ⟩ \dots ⟨ x_{2} | e^{- i H (t_{2} - t_{1})} | x_{1} ⟩ ⟨ x_{1} | e^{- i H t_{1}} | x_{0} ⟩) . \end{aligned} \end{matrix}

　　最后，当我们给时间所分的段数趋于无穷时，能得到所有可能的路径，如图 3 所示。同样地，所有这些路径的振幅之积分就是我们所求的 $⟨ x_{n} | e^{- i H t_{n}} | x_{0} ⟩$ 。

图 3：全体可能的路径。

2. 路径积分的计算

无穷小路径的概率振幅与经典作用量

　　我们回到图 1 的例子。任取 $t_{1}$ 时刻一个给定的位置 $x_{1}$ ，得到一条给定的折线路径。粒子沿着这条路径演化到 $x_{2}$ 的概率振幅是²

\begin{matrix} (3) & ⟨ x_{2} | e^{i H (t_{2} - t_{1})} | x_{1} ⟩ ⟨ x_{1} | e^{i H t_{1}} | x_{1} ⟩, \end{matrix}

这是两条直线段路径的概率振幅之积。

　　由于概率振幅是个数字，即路径的泛函，这让人想到一个重要的泛函，经典作用量： $S = \int_{给定路径} L d t$ ，其中拉格朗日函数 $L = \frac{m {\dot{x}}^{2}}{2} - V (x)$ 。

　　折线段的作用量，是各直线段组分的作用量之和；而式 3 中，折线段的概率振幅，是各直线段组分的概率振幅之积。由此猜想，可以取作用量的指数，来对应概率振幅。

　　对于每条折线段（以图 2 为例），记其 $t_{i - 1}$ 和 $t_{i}$ 之间直线段的作用量为

\begin{matrix} (4) & S (t_{i} - t_{i - 1}) = \int_{t_{i - 1}}^{t_{i}} d t L (x, \dot{x}), \end{matrix}

给定无穷小段的作用量记为

S (d t)

。

　　我们猜测

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} ⟨ x_{1} | e^{i H d t} | x_{0} ⟩ & = (\frac{1}{ω (d t)}) \exp (i S (d t)), \end{aligned} \end{matrix}

其中

ω

是比例和量纲的修正项。下面就讨论该猜想的合理性。

　　我们对自由粒子应用上述猜想。注意到自由粒子的拉格朗日函数为 $L = m v^{2} / 2$ ，而无穷小段可以近似于匀速直线运动，故无穷小段的作用量为（时间差 $Δ t$ 是小量，位置 $x_{0}$ 到 $x_{1} = x_{0} + v Δ t$ ）：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} S (Δ t) & = \int_{0}^{Δ t} d t (\frac{m v^{2}}{2}) \\ = \frac{m v^{2}}{2} Δ t \\ = \frac{m}{2} {(\frac{x_{1} - x_{0}}{Δ t})}^{2} Δ t, \end{aligned} \end{matrix}

于是

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} \exp (i S (Δ t)) & = \exp (\frac{i m (x_{1} - x_{0})^{2}}{2 Δ t}) . \end{aligned} \end{matrix}

式 7 右边的指数恰为自由粒子传播子式 12 的指数部分！

　　因此，对于一维自由粒子，其无穷小段路径的概率振幅为

\begin{matrix} (8) & ⟨ x_{1} | e^{- i H d t} | x_{0} ⟩ = \sqrt{\frac{m}{2 π i d t}} \exp (i S (d t)), \end{matrix}

其中

S

是该路径的经典作用量。

　　类似地，对于三维自由粒子，其无穷小段路径的概率振幅为

\begin{matrix} (9) & ⟨ x_{1} | e^{- i H d t} | x_{0} ⟩ = {(\frac{m}{2 π i d t})}^{3 / 2} \exp (i S (d t)) . \end{matrix}

一维自由粒子的路径积分

　　考虑图 2 中任意给定路径 $Γ$ ，其起点与终点分别固定为 $(x_{0}, t_{0})$ 和 $(x_{n}, t_{n})$ 。

　　设时间段均匀划分为 $n$ 段，即各 $t_{i + 1} - t_{i} = t_{n} / n$ 。当 $n \to \infty$ 时，各 $t_{i + 1} - t_{i}$ 趋于 $0$ ，则由式 2 、式 6 和式 8 ，粒子沿着这条路径的概率传播的振幅为

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} ⟨ x_{n} | e^{- i H t_{n}} | x_{0} ⟩ & = lim_{n \to \infty} \int \int \dots \int d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n - 1} \times \\ (⟨ x_{n} | e^{- i H (t_{n} - t_{n - 1})} | x_{n - 1} ⟩ \dots ⟨ x_{2} | e^{- i H (t_{2} - t_{1})} | x_{1} ⟩ ⟨ x_{1} | e^{- i H t_{1}} | x_{0} ⟩) \\ = lim_{n \to \infty} {(\frac{m}{2 π i d t})}^{n / 2} \int \int \dots \int d x_{1} d x_{2} \dots d x_{n - 1} \times \\ \exp (i \frac{n m}{2 t_{n}} \sum_{i = 0}^{n - 1} (x_{i + 1} - x_{i})^{2}) \\ \propto \int D [x] \exp (i \int_{0}^{T} \frac{m}{2} {\dot{x}}^{2}) . \end{aligned} \end{matrix}

其中

D [x]

代表泛函积分测度，这里意味着对所有可能的固定两端

x (t_{0}) = x_{i}, x (t_{n}) = x_{f}

的路径

Γ

作积分。注意到

S [x, \dot{x}] = \int_{t_{0}}^{t_{n}} d t m {\dot{x}}^{2} / 2

为自由粒子沿路径

Γ

计算得到的作用量，因此可以将上式简记为

\begin{matrix} (11) & ⟨ x_{f} | e^{- i H T} | x_{i} ⟩ = N \cdot \int D [x] |_{x (t_{0}) = x_{i}}^{x (t_{n}) = x_{f}} \exp (i S [x, \dot{x}]) . \end{matrix}

N

是依赖于泛函积分测度定义方式的一个常数因子，例如在上文中我们将

t_{0}

到

t_{n}

的时间划分为

n

段，这导致了常数因子

N = (\frac{m}{2 π i d t})^{n / 2}

。

一维势场中粒子的路径积分

　　对于一维势场 $V (x)$ 中的粒子，其哈密顿量为 $H = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + V (x)$ ，拉氏量为 $L = \frac{m}{2} {\dot{x}}^{2} - V (x)$ 。类似于自由粒子的无穷小段路径概率振幅的公式式 8 ，我们同样可以证明

\begin{matrix} (12) & ⟨ x_{1} | e^{- i H d t} | x_{0} ⟩ = \sqrt{\frac{m}{2 π i d t}} \exp (i S (d t)), \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (13) & \exp (i S (d t)) = \exp (i Δ t (\frac{m (x_{1} - x_{0})^{2}}{2 Δ t^{2}} - V (\frac{x_{0} + x_{1}}{2}))) . \end{matrix}

通过类似的推导，最终可以得到一维势场中粒子的路径积分公式：

\begin{matrix} (14) & ⟨ x_{f} | e^{- i H T} | x_{i} ⟩ = N \cdot \int D [x] |_{x (t_{0}) = x_{i}}^{x (t_{n}) = x_{f}} \exp (i S [x, \dot{x}]), \end{matrix}

其中

S [x, \dot{x}] = \int_{t_{0}}^{t_{n}} d t (m {\dot{x}}^{2} / 2 - V (x))

为粒子沿这条路径所对应的作用量。

路径积分的经典极限

　　在上面的推导中我们采取了自然单位制 $ℏ = 1$ 。现在我们复原 $ℏ$ ，并考察路径积分公式在经典极限下的行为。

\begin{matrix} (15) & ⟨ x_{f} | e^{- i \frac{H}{ℏ} T} | x_{i} ⟩ = N \cdot \int D [x] |_{x (t_{0}) = x_{i}}^{x (t_{n}) = x_{f}} \exp (\frac{i}{ℏ} S [x, \dot{x}]) . \end{matrix}

在经典极限

ℏ \to 0

下，路径积分公式中

S [x, \dot{x}]

取极值的路径对结果的贡献最大，而远离极值的路径对应的

\exp (\frac{i}{ℏ} S [x, \dot{x}])

相位角振荡会非常剧烈，以至于在经典极限下这些偏离作用量极值的路径的贡献相抵消。这也就是说，在经典极限

ℏ \to 0

的情形下，粒子的运动将只由作用量泛函取极值的路径所决定，这样就从量子力学的情况退化到了经典力学体系，与我们所知的最小作用量原理相符合。

3. 路径积分公式的 Dirac 方法推导

　　下面我们利用 Dirac 的思路给出一个更简洁的对路径积分公式的证明方法。

定理 1　量子力学路径积分公式

　　设有相互作用的哈密顿量

\begin{matrix} (16) & H = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + V (x), \end{matrix}

那么

⟨ x_{f} | e^{- i H T} | x_{i} ⟩

的路径积分表达式为

\begin{matrix} (17) & ⟨ x_{f} | e^{- i H T} | x_{i} ⟩ = N \cdot \int D [x] |_{x (0) = x_{i}}^{x (T) = x_{f}} \exp (i S [x, \dot{x}]) . \end{matrix}

其中

S [x, \dot{x}] = \int_{0}^{T} d t L (x (t), \dot{x} (t)) = \int_{0}^{T} d t [\frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} (t) - V (x (t))]

为粒子的作用量。

D [x]

为泛函积分测度，当时间划分为

N

个间隔时它可以被定义为

= d x_{1} \dots d x_{N - 1}

（

x_{i}

为第

i

个时刻的粒子坐标），而此时常数

N = {(\frac{m}{2 π i a})}^{N / 2}

（依赖于泛函积分测度的定义）。

　　将时间 $T$ 划分为 $N$ 段，并在计算的最后取 $N \to + \infty$ 的极限。设 $T = N a$ 。

\begin{matrix} (18) & \begin{aligned} ⟨ x_{f} | e^{- i H T} | x_{i} ⟩ \\ = \int d x_{1} \dots d x_{N - 1} ⟨ x_{f} | e^{- i H a} | x_{N - 1} ⟩ ⟨ x_{N - 1} | e^{- i H a} | x_{N - 2} ⟩ ⟨ x_{N - 2} | \dots | x_{1} ⟩ ⟨ x_{1} | e^{- i H a} | x_{i} ⟩ \\ = \int d x_{1} \dots d x_{N - 1} \frac{d p_{1}}{2 π} \dots \frac{d p_{N}}{2 π} ⟨ x_{f} | e^{- i H a} | p_{N} ⟩ ⟨ p_{N} | x_{N - 1} ⟩ \\ \times ⟨ x_{N - 1} | e^{- i H a} | p_{N - 1} ⟩ ⟨ p_{N - 1} | x_{N - 2} ⟩ \dots ⟨ x_{1} | e^{- i H a} | p_{1} ⟩ ⟨ p_{1} | x_{i} ⟩ . \end{aligned} \end{matrix}

　　将 $e^{- i H a} = \exp [- i a [{\hat{p}}^{2} / 2 m + V (x)]]$ 改写为

\begin{matrix} (19) & e^{- i H a} = \exp [- i a V (x)] \exp [- i a \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m}] + O (a^{2}) . \end{matrix}

　　当 $N \to \infty$ 时 $O (a^{2})$ 的修正项可以忽略，代入上式可以得到

\begin{matrix} (20) & \begin{aligned} ⟨ x_{f} | e^{- i H T} | x_{i} ⟩ \\ = \int d x_{1} \dots d x_{N - 1} \int \frac{d p_{1}}{2 π} \dots \frac{d p_{N}}{2 π} \\ \times \exp (- i a V (x_{f})) \exp (- i a p_{N}^{2} / 2 m) \exp (i p_{N} x_{f}) \exp (- i p_{N} x_{N - 1}) \\ \times \dots \times \exp (- i a V (x_{1})) \exp (- i a p_{1}^{2} / 2 m) \exp (i p_{1} x_{1}) \exp (- i p_{1} x_{i}) \\ = \int d x_{1} \dots d x_{N - 1} \int \frac{d p_{1}}{2 π} \dots \frac{d p_{N}}{2 π} \exp (i a \sum_{i = 1}^{N} (p_{i} \frac{x_{i} - x_{i - 1}}{a} - H (p_{N}, x_{N}))) \\ (x_{0} \equiv x_{i}, x_{N} \equiv x_{f}) . \end{aligned} \end{matrix}

为了使得关于

p_{i}

的高斯积分收敛，我们可以手动的将

p^{2}

视作

p^{2} (1 - i ϵ)

，这样高动量处积分的贡献就被指数压低了Gell-Mann-Low 定理将说明这样做是合理的。}。利用高斯积分公式

\int_{- \infty}^{\infty} d x e^{- x^{2} / A} = \sqrt{A π}

，可以将上面积分公式中的动量积分部分全部约去。最终可以得到

\begin{matrix} (21) & \begin{aligned} ⟨ x_{f} | e^{- i \hat{H} T} | x_{i} ⟩ & = {(\frac{m}{2 π i a})}^{N / 2} \int d x_{1} \dots d x_{N - 1} \exp (i a \sum_{i = 1}^{N} (\frac{1}{2} m {(\frac{x_{i} - x_{i - 1}}{a})}^{2} - V (x_{i}))) \\ = N \cdot \int d x_{1} \dots d x_{N - 1} \exp (i S [x, \dot{x}]) . \end{aligned} \end{matrix}

1. ^ 我们也可以说 “传播” 到。
2. ^ 你可以理解为，在 $t_{1}$ 时刻整个宇宙盖上了吸收粒子的材料，只有 $x_{1}$ 处例外，然后立刻把材料取走，那么在 $t_{2}$ 时刻在 $x_{2}$ 找到粒子的概率振幅就是式 3 。这可以和单缝衍射作类比。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。