路径积分(量子力学)

                     

贡献者: JierPeter; _Eden_

预备知识 传播子(量子力学),薛定谔绘景和海森堡绘景

1. 概念的引入

   为了方便,我们考虑二维时空的情况,即空间只有一维。

   在初始时刻 t=0 时,一个粒子处于 x0 位置,将它的态记为 |x0,其在位置空间的波函数为 ψ0(x)=x|x0=δ(xx0)

   时间过去 t1 后,我们在 x1 位置测量,发现粒子的概率振幅为 x1|eiHt1|x0。因此我们可以说,粒子在时间 t1 后 “出现” 在1x1 的概率密度是 |x1|eiHt1|x0|2

   同样地,时间过去 t2>t1 后,粒子在 x2 位置的概率振幅为 x2|eiHt2|x0

   注意到 |x1x1|dx1=1,即恒等变换(其矩阵总是单位矩阵),因此我们可以把这个积分插入到任何位置,比如:

(1)x2|eiHt2|x0=x2||x1x1|dx1eiHt2|x0=x2|x1x1|eiHt2|x0dx1=x2|eiH(t2t1)|x1x1|eiHt1|x0dx1 .

   式 1 数学上成立,但它有什么物理意义呢?

   每个 x2|eiH(t2t1)|x1x1|eiHt1|x0 表达的是,粒子从 x0 开始,t1 后出现在 x1 的振幅,乘以从 x1 开始,再过 t2t1 后出现在 x2 的振幅。而式 1 是对这个表达式关于 x1 遍历全空间求积分。

   综上,式 1 表达的是:求粒子从 x0 出发、经过 t2 后出现在 x2 的概率振幅,等于先求出粒子经过 t1 后传播到 x1 后再从 x1 经过 t2t1 后传播到 x2 的振幅,然后把所有可能的 x1 遍历一遍,把得到的所有路径的振幅求积分。这个过程如图 1 所示:

图
图 1:路径积分的示意图。如图,计算粒子从 x0 经过时间 t2 后传播到 x2 的概率振幅,相当于图中各路径的振幅关于 x1 遍历整个空间求积分。也就是说,x1 取遍所有可能性,得到类似图中三条路径的所有路径,所有这些路径的振幅积分,即为所求。

   同样地,我们可以把时间分成多段,产生更多的路径可能性,则我们所求的振幅 xn|U(t)|x1 同样是所有这些可能路径的振幅之积分,如图 2 所示。

图
图 2:将时间分成多段后,得到更多可能路径。

   积分表达式为:

(2)xn|eiHtn|x0=xn|eiH(tnt1)|x1x1|eiHt1|x0dx1=xn|eiH(t3t2)|x2x2|eiH(t2t1)|x1x1|eiHt1|x0dx1dx2==dx1dx2dxn1×(xn|eiH(tntn1)|xn1x2|eiH(t2t1)|x1x1|eiHt1|x0) .

   最后,当我们给时间所分的段数趋于无穷时,能得到所有可能的路径,如图 3 所示。同样地,所有这些路径的振幅之积分就是我们所求的 xn|eiHtn|x0

图
图 3:全体可能的路径。

2. 路径积分的计算

无穷小路径的概率振幅与经典作用量

   我们回到图 1 的例子。任取 t1 时刻一个给定的位置 x1,得到一条给定的折线路径。粒子沿着这条路径演化到 x2 的概率振幅是2

(3)x2|eiH(t2t1)|x1x1|eiHt1|x1 ,
这是两条直线段路径的概率振幅之

   由于概率振幅是个数字,即路径的泛函,这让人想到一个重要的泛函,经典作用量:S=给定路径Ldt,其中拉格朗日函数 L=mx˙22V(x)

   折线段的作用量,是各直线段组分的作用量之;而式 3 中,折线段的概率振幅,是各直线段组分的概率振幅之。由此猜想,可以取作用量的指数,来对应概率振幅。

   对于每条折线段(以图 2 为例),记其 ti1ti 之间直线段的作用量为

(4)S(titi1)=ti1tidtL(x,x˙) ,
给定无穷小段的作用量记为 S(dt)

   我们猜测

(5)x1|eiHdt|x0=(1ω(dt))exp(iS(dt)) ,
其中 ω 是比例和量纲的修正项。下面就讨论该猜想的合理性。

   我们对自由粒子应用上述猜想。注意到自由粒子的拉格朗日函数为 L=mv2/2,而无穷小段可以近似于匀速直线运动,故无穷小段的作用量为(时间差 Δt 是小量,位置 x0x1=x0+vΔt):

(6)S(Δt)=0Δtdt(mv22)=mv22Δt=m2(x1x0Δt)2Δt ,
于是
(7)exp(iS(Δt))=exp(im(x1x0)22Δt) .
式 7 右边的指数恰为自由粒子传播子式 12 的指数部分!

   因此,对于一维自由粒子,其无穷小段路径的概率振幅为

(8)x1|eiHdt|x0=m2πidtexp(iS(dt)) ,
其中 S 是该路径的经典作用量。

   类似地,对于三维自由粒子,其无穷小段路径的概率振幅为

(9)x1|eiHdt|x0=(m2πidt)3/2exp(iS(dt)) .

一维自由粒子的路径积分

   考虑图 2 中任意给定路径Γ,其起点与终点分别固定(x0,t0)(xn,tn)

   设时间段均匀划分为 n 段,即各 ti+1ti=tn/n。当 n 时,各 ti+1ti 趋于 0,则由式 2 式 6 式 8 ,粒子沿着这条路径的概率传播的振幅为

(10)xn|eiHtn|x0=limndx1dx2dxn1×11(xn|eiH(tntn1)|xn1x2|eiH(t2t1)|x1x1|eiHt1|x0)=limn(m2πidt)n/2dx1dx2dxn1×11exp(inm2tni=0n1(xi+1xi)2)D[x]exp(i0Tm2x˙2) .
其中 D[x] 代表泛函积分测度,这里意味着对所有可能的固定两端 x(t0)=xi,x(tn)=xf 的路径 Γ 作积分。注意到 S[x,x˙]=t0tndt mx˙2/2 为自由粒子沿路径 Γ 计算得到的作用量,因此可以将上式简记为
(11)xf|eiHT|xi=ND[x]|x(t0)=xix(tn)=xfexp(iS[x,x˙]) .
N 是依赖于泛函积分测度定义方式的一个常数因子,例如在上文中我们将 t0tn 的时间划分为 n 段,这导致了常数因子 N=(m2πidt)n/2

一维势场中粒子的路径积分

   对于一维势场 V(x) 中的粒子,其哈密顿量为 H=p^22m+V(x),拉氏量为 L=m2x˙2V(x)。类似于自由粒子的无穷小段路径概率振幅的公式式 8 ,我们同样可以证明

(12)x1|eiHdt|x0=m2πidtexp(iS(dt)) ,
其中
(13)exp(iS(dt))=exp(iΔt(m(x1x0)22Δt2V(x0+x12))) .
通过类似的推导,最终可以得到一维势场中粒子的路径积分公式:
(14)xf|eiHT|xi=ND[x]|x(t0)=xix(tn)=xfexp(iS[x,x˙]) ,
其中 S[x,x˙]=t0tndt (mx˙2/2V(x)) 为粒子沿这条路径所对应的作用量。

路径积分的经典极限

   在上面的推导中我们采取了自然单位制 =1。现在我们复原 ,并考察路径积分公式在经典极限下的行为。

(15)xf|eiHT|xi=ND[x]|x(t0)=xix(tn)=xfexp(iS[x,x˙]) .
在经典极限 0 下,路径积分公式中 S[x,x˙] 取极值的路径对结果的贡献最大,而远离极值的路径对应的 exp(iS[x,x˙]) 相位角振荡会非常剧烈,以至于在经典极限下这些偏离作用量极值的路径的贡献相抵消。这也就是说,在经典极限 0 的情形下,粒子的运动将只由作用量泛函取极值的路径所决定,这样就从量子力学的情况退化到了经典力学体系,与我们所知的最小作用量原理相符合。

3. 路径积分公式的 Dirac 方法推导

   下面我们利用 Dirac 的思路给出一个更简洁的对路径积分公式的证明方法。

定理 1 量子力学路径积分公式

   设有相互作用的哈密顿量

(16)H=p^22m+V(x) ,
那么 xf|eiHT|xi 的路径积分表达式为
(17)xf|eiHT|xi=ND[x]|x(0)=xix(T)=xfexp(iS[x,x˙]) .
其中 S[x,x˙]=0TdtL(x(t),x˙(t))=0Tdt[12mx˙2(t)V(x(t))] 为粒子的作用量。 D[x] 为泛函积分测度,当时间划分为 N 个间隔时它可以被定义为 =dx1dxN1xi 为第 i 个时刻的粒子坐标), 而此时常数 N=(m2πia)N/2(依赖于泛函积分测度的定义)。

   将时间 T 划分为 N 段,并在计算的最后取 N+ 的极限。设 T=Na

(18)xf|eiHT|xi=dx1dxN1xf|eiHa|xN1xN1|eiHa|xN2xN2||x1x1|eiHa|xi=dx1dxN1dp12πdpN2πxf|eiHa|pNpN|xN1×xN1|eiHa|pN1pN1|xN2x1|eiHa|p1p1|xi .

   将 eiHa=exp[ia[p^2/2m+V(x)]] 改写为

(19)eiHa=exp[iaV(x)]exp[iap^22m]+O(a2) .

   当 NO(a2) 的修正项可以忽略,代入上式可以得到

(20)xf|eiHT|xi=dx1dxN1dp12πdpN2π×exp(iaV(xf))exp(iapN2/2m)exp(ipNxf)exp(ipNxN1)××exp(iaV(x1))exp(iap12/2m)exp(ip1x1)exp(ip1xi)=dx1dxN1dp12πdpN2πexp(iai=1N(pixixi1aH(pN,xN)))(x0xi,xNxf) .
为了使得关于 pi 的高斯积分收敛,我们可以手动的将 p2 视作 p2(1iϵ),这样高动量处积分的贡献就被指数压低了Gell-Mann-Low 定理将说明这样做是合理的。}。 利用高斯积分公式 dxex2/A=Aπ,可以将上面积分公式中的动量积分部分全部约去。最终可以得到
(21)xf|eiH^T|xi=(m2πia)N/2dx1dxN1exp(iai=1N(12m(xixi1a)2V(xi)))=Ndx1dxN1exp(iS[x,x˙]) .


1. ^ 我们也可以说 “传播” 到。
2. ^ 你可以理解为,在 t1 时刻整个宇宙盖上了吸收粒子的材料,只有 x1 处例外,然后立刻把材料取走,那么在 t2 时刻在 x2 找到粒子的概率振幅就是式 3 。这可以和单缝衍射作类比。


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