Klein-Gordon 方程

贡献者： JierPeter; addis

未完成：预备知识需要薛定谔量子力学的相关内容，但现在该部分还未整理好，不宜引用。

预备知识 1　自然单位制、普朗克单位制，爱因斯坦求和约定

　　 Klein-Gordon 方程（以下简称 “K-G 方程”）的命名源自两位物理学家 Oskar Klein 和 Walter Gordon，他们于 1926 年指出该方程能够描述狭义相对论中的电子。虽说实际上，电子这样有自旋的费米子应该用 Dirac 方程来描述，但 K-G 方程依然成功地描述了相对论性的无自旋复合粒子。

1. 问题的引入

　　 Schrödinger 方程（以下以通译称 “薛定谔方程”）在量子力学中的地位，就像牛顿三定律在经典力学中的地位一样，是描述理论结构的 “公理”。因此，如果要了解量子力学的局限性，可以从研究薛定谔方程本身入手。

质能关系问题

　　回顾单粒子薛定谔方程的表达（注意这里使用了自然单位制）：

\begin{matrix} (1) & (- \frac{\nabla^{2}}{2 m} + V) ψ = i \partial_{t} ψ . \end{matrix}

　　由于量子力学假设 $\hat{p} = - i \nabla$ 和 $\hat{E} = i \partial_{t}$ 分别是动量、能量算子，故式 1 左边体现的是经典力学中的哈密顿量：

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} \hat{H} = - \frac{\nabla^{2}}{2 m} + V & = \frac{{\hat{p}}^{2}}{2 m} + V, \\ ↕ \\ H & = \frac{p^{2}}{2 m} + V . \end{aligned} \end{matrix}

　　式 2 上下两部分含义完全不同¹，但其描述的能量-动量-质量关系是一致的。因此薛定谔方程本质上是经典力学的推广，与经典时空观契合，但与相对论时空观矛盾。

粒子数守恒问题

　　回顾量子力学的概率守恒。取薛定谔方程的复共轭，得

\begin{matrix} (3) & (- \frac{\nabla^{2}}{2 m} + V) ψ^{*} = - i \partial_{t} ψ^{*} . \end{matrix}

　　在式 1 上乘以 $ψ^{*}$ ，再减去式 3 乘以 $ψ$ ，得

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} ψ^{*} (- \frac{\nabla^{2}}{2 m} + V) ψ - ψ (- \frac{\nabla^{2}}{2 m} + V) ψ^{*} & = i (ψ^{*} \partial_{t} ψ + ψ \partial_{t} ψ^{*}) \\ - ψ^{*} \frac{\nabla^{2}}{2 m} ψ + ψ \frac{\nabla^{2}}{2 m} ψ^{*} & = i \partial_{t} (ψ ψ^{*}) \\ \partial_{t} ({| ψ |}^{2}) + \frac{- i \nabla}{2 m} (ψ^{*} \nabla ψ - ψ \nabla ψ^{*}) & = 0 \\ \partial_{t} ρ + \frac{\nabla}{2 m} (ψ^{*} \hat{p} ψ + (ψ^{*} \hat{p} ψ)^{*}) & = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

其中

ρ = {| ψ |}^{2}

可以理解为粒子的空间位置分布，即粒子数密度。

　　对于动量本征态容易验证，式 4 相当于

\begin{matrix} (5) & \partial_{t} ρ + \nabla \cdot (ρ v) = 0, \end{matrix}

其中

v = p / m = ψ^{*} \hat{p} ψ / m

是粒子的速度。对于非本征态也有类似的阐释，因为任何量子态都是动量本征态的叠加。

　　式 5 意味着任意空间区域内粒子随时间增加的速率，恰为粒子从外部进入该区域的速率，即整个宇宙中粒子数守恒。于是，薛定谔方程无法描述粒子数变化的现象，如质子和电子结合成中子的过程中，质子和电子的数目减少，中子的数目增多。

　　特别要注意的是，在推导式 4 的过程中，我们假设 $V$ 是实数。如果 $V$ 可以取复数，那么实际上能导出粒子数消失或产生的结果，这可以唯象地解释粒子数不守恒的情况，如对核反应的描述。

2. Klein-Gordon 方程

　　相对论的成功以及自然界广泛存在的粒子数改变的现象，都表明我们必须改变薛定谔方程的形式，才能扩展量子理论的适用范围。Klein-Gordon 方程即是一个良好的扩展。

方程的导出

　　我们考虑从质能关系切入。相对论中的质能关系为

\begin{matrix} (6) & E^{2} = p^{2} + m^{2} . \end{matrix}

用它代替经典力学的

E = p^{2} / 2 m + V

，代入量子力学的算符假设

\hat{p} = - i \nabla

和

\hat{E} = i \partial_{t}

，得到一个方程：

\begin{matrix} (7) & (- \nabla^{2} + m^{2}) ψ = - \partial_{t}^{2} ψ . \end{matrix}

　　如果使用抽象指标来表示，取 $η_{μ ν} = diag (- 1, 1, 1, 1)$ ，则式 7 也表达为

\begin{matrix} (8) & \partial_{μ} \partial^{μ} ψ = m^{2} ψ . \end{matrix}

　　如果取 $η_{μ ν} = diag (1, - 1, - 1, - 1)$ ，则式 7 应表达为

\begin{matrix} (9) & \partial_{μ} \partial^{μ} ψ = - m^{2} ψ . \end{matrix}

这仅仅是号差选择的习惯问题。

　　式 7 及其抽象指标表达式式 8 和式 9 被称为闵可夫斯基时空中的Klein-Gordon 方程。

　　我们也可以用达朗贝尔算子（d'Alembert operator）表示 K-G 方程。达朗贝尔算子是拉普拉斯算子 $\nabla^{2}$ 在闵可夫斯基时空中的推广，其定义为

\begin{matrix} (10) & ◻ = \partial_{t}^{2} - \nabla^{2}, \end{matrix}

　　于是式 7 又可以表示为

\begin{matrix} (11) & ◻ ψ + m^{2} ψ = 0 . \end{matrix}

注：使用正四边形是为了表示这是在四维时空中。以上是自然单位制的表述，回归国际单位制后应有

\begin{matrix} (12) & ◻ = \frac{1}{c^{2}} \partial_{t}^{2} - \nabla^{2}, \end{matrix}

此外，由于质量项的算符量纲应为长度平方的倒数，所以回归国际单位制后为

\begin{matrix} (13) & m \to \frac{m c}{ℏ} . \end{matrix}

　　达朗贝尔算子又称 “波算子（wave operator）”，因为 $◻ ψ = 0$ 正是经典的线性机械波方程。从这个视角看自然会发现 $m^{2} ψ$ 是 “多出来” 的一项，可以认为是一种 “势” $V (ψ)$ ，这样我们就可以把 K-G 方程拓展为更一般的形式

\begin{matrix} (14) & ◻ ψ + V (ψ) = 0 . \end{matrix}

　　除了 $m^{2} ψ$ 以外，实标量场 $ψ$ 在相互作用理论里也有一种常见的势： $V (ψ) = \frac{1}{2} m^{2} ψ^{2} + λ ψ^{4}$ 。

连续性方程

　　类似处理薛定谔方程的方法，我们给 K-G 方程左乘一个 $ψ^{*}$ ，再取结果的复共轭，相减：

\begin{matrix} (15) & \begin{aligned} ψ^{*} (- \nabla^{2} + m^{2}) ψ - ψ (- \nabla^{2} + m^{2}) ψ^{*} & = - ψ^{*} \partial_{t}^{2} ψ + ψ \partial_{t}^{2} ψ^{*} \\ - ψ^{*} \nabla^{2} ψ + ψ \nabla^{2} ψ^{*} & = - ψ^{*} \partial_{t}^{2} ψ + ψ \partial_{t}^{2} ψ^{*} \\ \nabla \cdot (ψ^{*} \nabla ψ - ψ \nabla ψ^{*}) & = \partial_{t} (ψ^{*} \partial_{t} ψ - ψ \partial_{t} ψ^{*}) \\ \partial_{μ} (ψ^{*} \partial^{μ} ψ - ψ \partial^{μ} ψ^{*}) & = 0, \end{aligned} \end{matrix}

　　式 15 的最后一步与 $η_{μ ν}$ 的号差选择无关。

　　记 $ρ = \frac{i}{2 m} (ψ^{*} \partial_{t} ψ - ψ \partial_{t} ψ^{*})$ 和 $j = - \frac{i}{2 m} (ψ^{*} \nabla ψ - ψ \nabla ψ^{*})$ ，则式 15 还可以写成

\begin{matrix} (16) & \partial_{t} ρ + \nabla \cdot j = 0, \end{matrix}

这意味着

j

是

ρ

的流。

　　 K-G 方程关于变量 $t$ 是二阶的，因此 $ψ$ 和 $\partial_{t} ψ$ 是相互独立的初值，因此可以自由选择 $ρ$ 作为位置的函数是正值还是负值。因负值的存在，把 $ρ$ 诠释为概率密度显然是不妥当的。

　　我们也可以用更统一的形式来表述式 16 。令 $J^{μ} = \frac{i}{2 m} (ψ^{*} \partial^{μ} ψ - ψ \partial^{μ} ψ^{*})$ ，则式 16 写为

\begin{matrix} (17) & \partial_{μ} J^{μ} = 0 . \end{matrix}

自由解

　　无外力作用下的自由 K-G 方程有两个线性无关的特解：

\begin{matrix} (18) & ψ (t, x) = e^{i E t - i p \cdot x}, \end{matrix}

　　其中 $E = \pm \sqrt{p^{2} + m^{2}}$ 。

拉格朗日形式

预备知识 2　从分析力学到场论

　　 K-G 方程描述了场的运动（变化）规律，采用了微分语言进行描述，但也可以借助拉格朗日函数或者说拉格朗日作用量来描述。

　　一个质量为 $M$ 的复标量场 $ψ$ 的 Klein-Gordon 作用量为

\begin{matrix} (19) & \int d^{4} x \frac{1}{2} (\partial^{μ} ψ \partial_{μ} ψ^{*} - M^{2} ψ ψ^{*}) . \end{matrix}

　　 $ψ$ 的能动张量可以由拉格朗日密度算出：

\begin{matrix} (20) & T^{μ ν} = 2 \partial^{μ} ψ^{*} \partial^{ν} ψ - η^{μ ν} (\partial^{ρ} ψ^{*} \partial_{ρ} ψ - M^{2} ψ^{*} ψ) . \end{matrix}

未完成：缺乏预备知识：如何用拉格朗日密度算出能动张量。考虑在《能动张量》中讲。

弯曲时空上的 K-G 方程

　　式 8 和式 9 在形式上可以直接推广到任意时空流形上：

\begin{matrix} (21) & \nabla_{μ} \nabla^{μ} = m^{2} ψ \end{matrix}

和

\begin{matrix} (22) & \nabla_{μ} \nabla^{μ} = - m^{2} ψ . \end{matrix}

其中

\nabla_{μ}

是该时空中的联络，

\nabla^{μ} = g^{μ ν} \nabla_{ν}

3. Klein-Gordon 场

　　本小节讨论一些满足 K-G 方程的场，即 Klein-Gordon 场。

1. ^ 上面一行各项是算符，它们作为量子态之间线性变换的本征值才是能量、动量等可观测量；下面一行各项就是实数，本身即为能量、动量等可观测量。

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