Klein-Gordon 方程

                     

贡献者: JierPeter

  

未完成:预备知识需要薛定谔量子力学的相关内容,但现在该部分还未整理好,不宜引用.

预备知识 自然单位制、普朗克单位制,爱因斯坦求和约定

   Klein-Gordon 方程(以下简称 “K-G 方程”)的命名源自两位物理学家 Oskar Klein 和 Walter Gordon,他们于 1926 年指出该方程能够描述狭义相对论中的电子.虽说实际上,电子这样有自旋的费米子应该用 Dirac 方程来描述,但 K-G 方程依然成功地描述了相对论性的无自旋复合粒子.

1. 问题的引入

   Schrödinger 方程(以下以通译称 “薛定谔方程”)在量子力学中的地位,就像牛顿三定律在经典力学中的地位一样,是描述理论结构的 “公理”.因此,如果要了解量子力学的局限性,可以从研究薛定谔方程本身入手.

质能关系问题

   回顾单粒子薛定谔方程的表达(注意这里使用了自然单位制):

\begin{equation} \left(-\frac{\nabla^2}{2m}+V \right) \psi = \mathrm{i} \partial_t \psi \end{equation}

   由于量子力学假设 $\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }=- \mathrm{i} \nabla$ 和 $\hat{E}= \mathrm{i} \partial_t$ 分别是动量、能量算子,故式 1 左边体现的是经典力学中的哈密顿量

\begin{equation} \begin{aligned} \hat{H}=-\frac{\nabla^2}{2m}+V &= \frac{\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }^2}{2m}+V \\ &\updownarrow\\ H &= \frac{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2}{2m}+V \end{aligned} \end{equation}

   式 2 上下两部分含义完全不同1,但其描述的能量-动量-质量关系是一致的.因此薛定谔方程本质上是经典力学的推广,与经典时空观契合,但与相对论时空观矛盾.

粒子数守恒问题

   回顾量子力学的概率守恒.取薛定谔方程的复共轭,得

\begin{equation} \left(-\frac{\nabla^2}{2m}+V \right) \psi^* = - \mathrm{i} \partial_t \psi^* \end{equation}

   在式 1 上乘以 $\psi^*$,再减去式 3 乘以 $\psi$,得

\begin{equation} \begin{aligned} \psi^* \left(-\frac{\nabla^2}{2m}+V \right) \psi - \psi \left(-\frac{\nabla^2}{2m}+V \right) \psi^* &= \mathrm{i} \left(\psi^*\partial_t\psi + \psi\partial_t\psi^* \right) \\ -\psi^*\frac{\nabla^2}{2m}\psi + \psi\frac{\nabla^2}{2m}\psi^* &= \mathrm{i} \partial_t \left(\psi\psi^* \right) \\ \partial_t \left( \left\lvert \psi \right\rvert ^2 \right) + \frac{- \mathrm{i} \nabla}{2m} \left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^* \right) &= 0\\ \partial_t \rho + \frac{\nabla}{2m} \left(\psi^*\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\psi + (\psi^*\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\psi)^* \right) &= 0 \end{aligned} \end{equation}
其中 $\rho= \left\lvert \psi \right\rvert ^2$ 可以理解为粒子的空间位置分布,即粒子数密度.

   对于动量本征态容易验证,式 4 相当于

\begin{equation} \partial_t\rho + \nabla\cdot(\rho \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = 0 \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{p}} /m=\psi^*\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }\psi/m$ 是粒子的速度.对于非本征态也有类似的阐释,因为任何量子态都是动量本征态的叠加.

   式 5 意味着任意空间区域内粒子随时间增加的速率,恰为粒子从外部进入该区域的速率,即整个宇宙中粒子数守恒.于是,薛定谔方程无法描述粒子数变化的现象,如质子和电子结合成中子的过程中,质子和电子的数目减少,中子的数目增多.

   特别要注意的是,在推导式 4 的过程中,我们假设 $V$ 是实数.如果 $V$ 可以取复数,那么实际上能导出粒子数消失或产生的结果,这可以唯象地解释粒子数不守恒的情况,如对核反应的描述.

2. Klein-Gordon 方程

   相对论的成功以及自然界广泛存在的粒子数改变的现象,都表明我们必须改变薛定谔方程的形式,才能扩展量子理论的适用范围.Klein-Gordon 方程即是一个良好的扩展.

方程的导出

   我们考虑从质能关系切入.相对论中的质能关系为

\begin{equation} E^2= \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2+m^2 \end{equation}
用它代替经典力学的 $E=p^2/2m+V$,代入量子力学的算符假设 $\hat{ \boldsymbol{\mathbf{p}} }=- \mathrm{i} \nabla$ 和 $\hat{E}= \mathrm{i} \partial_t$,得到一个方程:
\begin{equation} \left(-\nabla^2+m^2 \right) \psi = -\partial_t^2 \psi \end{equation}

   如果使用抽象指标来表示,取 $\eta_{\mu\nu}= \operatorname {diag}(-1, 1, 1, 1)$,则式 7 也表达为

\begin{equation} \partial_\mu\partial^\mu \psi = m^2\psi \end{equation}

   如果取 $\eta_{\mu\nu}= \operatorname {diag}(1, -1, -1, -1)$,则式 7 应表达为

\begin{equation} \partial_\mu\partial^\mu \psi = -m^2\psi \end{equation}
这仅仅是号差选择的习惯问题.

   式 7 及其抽象指标表达式式 8 式 9 被称为闵可夫斯基时空中的Klein-Gordon 方程

   我们也可以用达朗贝尔算子(d'Alembert operator)表示 K-G 方程.达朗贝尔算子是拉普拉斯算子 $\nabla^2$ 在闵可夫斯基时空中的推广,其定义为

\begin{equation} \square = \partial_t^2-\nabla^2 \end{equation}
使用正边形是为了表示这是在维时空中.以上是自然单位制的表述,回归国际单位制后应有
\begin{equation} \square = \frac{1}{c}\partial_t^2-\nabla^2 \end{equation}

   于是式 7 又可以表示为

\begin{equation} \square \psi + m^2\psi = 0 \end{equation}

   达朗贝尔算子又称 “波算子(wave operator)”,因为 $\square \psi=0$ 正是经典的线性机械波方程.从这个视角看自然会发现 $m^2\psi$ 是 “多出来” 的一项,可以认为是一种 “势”$V(\psi)$,这样我们就可以把 K-G 方程拓展为更一般的形式

\begin{equation} \square\psi + V(\psi) = 0 \end{equation}

   除了 $m^2\psi$ 以外,实标量场 $\psi$ 在相互作用理论里也有一种常见的势:$V(\psi)=\frac{1}{2}m^2\psi^2+\lambda\psi^4$.

连续性方程

   类似处理薛定谔方程的方法,我们给 K-G 方程左乘一个 $\psi^*$,再取结果的复共轭,相减:

\begin{equation} \begin{aligned} \psi^* \left(-\nabla^2+m^2 \right) \psi-\psi \left(-\nabla^2+m^2 \right) \psi^* &= -\psi^*\partial_t^2 \psi+\psi\partial_t^2 \psi^*\\ -\psi^*\nabla^2\psi+\psi\nabla^2\psi^* &= -\psi^*\partial_t^2\psi+\psi\partial_t^2\psi^*\\ \nabla\cdot \left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^* \right) &= \partial_t \left(\psi^*\partial_t\psi-\psi\partial_t\psi^* \right) \\ \partial_\mu \left(\psi^*\partial^\mu\psi-\psi\partial^\mu\psi^* \right) & =0 \end{aligned} \end{equation}

   式 14 的最后一步与 $\eta_{\mu\nu}$ 的号差选择无关.

   记 $\rho=\frac{ \mathrm{i} }{2m} \left(\psi^*\partial_t\psi-\psi\partial_t\psi^* \right) $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} =-\frac{ \mathrm{i} }{2m} \left(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^* \right) $,则式 14 还可以写成

\begin{equation} \partial_t\rho+\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{j}} = 0 \end{equation}
这意味着 $ \boldsymbol{\mathbf{j}} $ 是 $\rho$ 的流.

   K-G 方程关于变量 $t$ 是二阶的,因此 $\psi$ 和 $\partial_t\psi$ 是相互独立的初值,因此可以自由选择 $\rho$ 作为位置的函数是正值还是负值.因负值的存在,把 $\rho$ 诠释为概率密度显然是不妥当的.

   我们也可以用更统一的形式来表述式 15 .令 $J^\mu=\frac{ \mathrm{i} }{2m} \left(\psi^*\partial^\mu\psi-\psi\partial^\mu\psi^* \right) $,则式 15 写为

\begin{equation} \partial_\mu J^\mu = 0 \end{equation}

自由解

   无外力作用下的自由 K-G 方程有两个线性无关的特解:

\begin{equation} \psi(t, \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} Et- \mathrm{i} \boldsymbol{\mathbf{p}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} } \end{equation}

   其中 $E=\pm\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2+m^2}$.

拉格朗日形式

预备知识 从分析力学到场论

   K-G 方程描述了场的运动(变化)规律,采用了微分语言进行描述,但也可以借助拉格朗日函数或者说拉格朗日作用量来描述.

   一个质量为 $M$ 的复标量场 $\psi$ 的 Klein-Gordon 作用量为

\begin{equation} \int { \,\mathrm{d}{}} ^4 x \frac{1}{2} \left(\partial^\mu\psi\partial_\mu\psi^*-M^2\psi\psi^* \right) \end{equation}

   $\psi$ 的能动张量可以由拉格朗日密度算出:

\begin{equation} T^{\mu\nu} = 2\partial^\mu\psi^*\partial^\nu\psi-\eta^{\mu\nu} \left(\partial^\rho\psi^*\partial_\rho\psi-M^2\psi^*\psi \right) \end{equation}
未完成:缺乏预备知识:如何用拉格朗日密度算出能动张量.考虑在《能动张量》中讲.

弯曲时空上的 K-G 方程

   式 8 式 9 在形式上可以直接推广到任意时空流形上:

\begin{equation} \nabla_\mu\nabla^\mu=m^2\psi \end{equation}
\begin{equation} \nabla_\mu\nabla^\mu=-m^2\psi \end{equation}
其中 $\nabla_\mu$ 是该时空中的联络,$\nabla^\mu=g^{\mu\nu}\nabla_\nu$

3. Klein-Gordon 场

   本小节讨论一些满足 K-G 方程的场,即 Klein-Gordon 场.


1. ^ 上面一行各项是算符,它们作为量子态之间线性变换的特征值才是能量、动量等可观测量;下面一行各项就是实数,本身即为能量、动量等可观测量.


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