平移算符

                     

贡献者: addis; JierPeter

预备知识 算符的指数函数

1. 一维情况

   在一维的情况下,平移算符(translation operator) T(a) 可以把函数1 f(x) 整体向右平移 a 得到 f(xa)。假设 f(x) 是无穷阶可导函数,a 是常数,那么 f(xa) 关于某点 x泰勒级数可以用表示为2

(1)f(xa)=[1+(a)x+12!(a)22x2+]f(x) .
其中方括号中的部分可以表示为一个算符的指数函数,即
(2)T(a)=exp(ax) ,
我们把这个算符叫做平移算符。

   平移算符在量子力学中时常出现,量子力学中一维动量算符为 p=ix,所以平移算符也表示为

(3)T(a)=exp(iap) ,

例 1 

   令 f(x)=x2,现在我们使用平移算符将其向右平移 a

(4)exp(ax)x2=(1ax+12!a22x2)x2=x22ax+a2=(xa)2 .
我们还可以再次使用平移算符,
(5)exp(bx)(xa)2=(1bx+12!b22x2)(xa)2=(xa)22b(xa)+b2=(xab)2 ,
这就验证了 T(b)T(a)=T(a+b),即
(6)exp(ax)exp(bx)=exp[(a+b)x] .

   当 a 很小时,近似有

(7)T(a)=1ax .

2. 三维情况

   将以上的一维动量算符 p 换成三维的 p=i 即可

(8)T(a)=exp(a)=exp(iap) ,
推导同理。


1. ^ 这里的讨论是一般性的,所以这里的函数不一定是量子力学中的波函数
2. ^ 这里可以考虑设自变量 y=xa,将 f(y) 于点 x 处展开,得到 f(y)=f(x)+(yx)f(x)+1/2!(yx)2f(x)+,再把 f(n)(x) 替换为 n/xnf(x)、把 yx 替换为 a 得到。


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