平移算符

                     

贡献者: addis; JierPeter

预备知识 算符的指数函数

1. 一维情况

   在一维的情况下,平移算符(translation operator) $T(a)$ 可以把函数1 $f(x)$ 整体向右平移 $a$ 得到 $f(x - a)$.假设 $f(x)$ 是无穷阶可导函数,$a$ 是常数,那么 $f(x - a)$ 关于某点 $x$ 的泰勒级数可以用表示为2

\begin{equation} f(x - a) = \left[1 + (-a) \frac{\partial}{\partial{x}} + \frac{1}{2!} (-a)^2 \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} + \dots \right] f(x) \end{equation}
其中方括号中的部分可以表示为一个算符的指数函数,即
\begin{equation} T(a) = \exp\left(-a \frac{\partial}{\partial{x}} \right) \end{equation}
我们把这个算符叫做平移算符.

例 1 

   令 $f(x) = x^2$,现在我们使用平移算符将其向右平移 $a$.

\begin{equation} \begin{aligned} \exp\left(-a \frac{\partial}{\partial{x}} \right) x^2 &= \left(1 - a \frac{\partial}{\partial{x}} + \frac{1}{2!} a^2 \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} \dots \right) x^2\\ &= x^2 - 2ax + a^2 = (x - a)^2 \end{aligned} \end{equation}
我们还可以再次使用平移算符,
\begin{equation} \begin{aligned} \exp\left(-b \frac{\partial}{\partial{x}} \right) (x - a)^2 &= \left(1 - b \frac{\partial}{\partial{x}} + \frac{1}{2!} b^2 \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} \dots \right) (x - a)^2\\ &= (x - a)^2 - 2b(x - a) + b^2 = (x - a - b)^2 \end{aligned} \end{equation}
这就验证了 $T(b) T(a) = T(a + b)$,即
\begin{equation} \exp\left(-a \frac{\partial}{\partial{x}} \right) \exp\left(-b \frac{\partial}{\partial{x}} \right) = \exp \left[-(a + b) \frac{\partial}{\partial{x}} \right] \end{equation}

   当 $a$ 很小时,近似有

\begin{equation} T(a) = 1-a\frac{\partial}{\partial x} \end{equation}

2. 三维情况

   将以上的一维动量算符 $p$ 换成三维的 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} = - \mathrm{i} \hbar \boldsymbol\nabla $ 即可

\begin{equation} T( \boldsymbol{\mathbf{a}} ) = \exp\left(- \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla \right) = \exp\left(-\frac{ \mathrm{i} }{\hbar} \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} \right) \end{equation}
推导同理.


1. ^ 这里的讨论是一般性的,所以这里的函数不一定是量子力学中的波函数
2. ^ 这里可以考虑设自变量 $y=x-a$,将 $f(y)$ 于点 $x$ 处展开,得到 $f(y)=f(x)+(y-x)f'(x)+1/2!(y-x)^2f''(x)+\cdots$,再把 $f^{(n)}(x)$ 替换为 $\partial^n/\partial x^n f(x)$、把 $y-x$ 替换为 $-a$ 得到.


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