平移算符

贡献者： addis; JierPeter

预备知识　算符的指数函数

1. 一维情况

　　在一维的情况下，平移算符（translation operator） $T (a)$ 可以把函数¹ $f (x)$ 整体向右平移 $a$ 得到 $f (x - a)$ 。假设 $f (x)$ 是无穷阶可导函数， $a$ 是常数，那么 $f (x - a)$ 关于某点 $x$ 的泰勒级数可以用表示为²

\begin{matrix} (1) & f (x - a) = [1 + (- a) \frac{\partial}{\partial x} + \frac{1}{2!} (- a)^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \dots] f (x) . \end{matrix}

其中方括号中的部分可以表示为一个算符的指数函数，即

\begin{matrix} (2) & T (a) = \exp (- a \frac{\partial}{\partial x}), \end{matrix}

我们把这个算符叫做平移算符。

　　平移算符在量子力学中时常出现，量子力学中一维动量算符为 $p = - i ℏ \frac{\partial}{\partial x}$ ，所以平移算符也表示为

\begin{matrix} (3) & T (a) = \exp (- \frac{i}{ℏ} a p), \end{matrix}

例 1　

　　令 $f (x) = x^{2}$ ，现在我们使用平移算符将其向右平移 $a$ 。

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} \exp (- a \frac{\partial}{\partial x}) x^{2} & = (1 - a \frac{\partial}{\partial x} + \frac{1}{2!} a^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \dots) x^{2} \\ = x^{2} - 2 a x + a^{2} = (x - a)^{2} . \end{aligned} \end{matrix}

我们还可以再次使用平移算符，

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} \exp (- b \frac{\partial}{\partial x}) (x - a)^{2} & = (1 - b \frac{\partial}{\partial x} + \frac{1}{2!} b^{2} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \dots) (x - a)^{2} \\ = (x - a)^{2} - 2 b (x - a) + b^{2} = (x - a - b)^{2}, \end{aligned} \end{matrix}

这就验证了

T (b) T (a) = T (a + b)

，即

\begin{matrix} (6) & \exp (- a \frac{\partial}{\partial x}) \exp (- b \frac{\partial}{\partial x}) = \exp [- (a + b) \frac{\partial}{\partial x}] . \end{matrix}

　　当 $a$ 很小时，近似有

\begin{matrix} (7) & T (a) = 1 - a \frac{\partial}{\partial x} . \end{matrix}

2. 三维情况

　　将以上的一维动量算符 $p$ 换成三维的 $p = - i ℏ \nabla$ 即可

\begin{matrix} (8) & T (a) = \exp (- a \cdot \nabla) = \exp (- \frac{i}{ℏ} a \cdot p), \end{matrix}

推导同理。

1. ^ 这里的讨论是一般性的，所以这里的函数不一定是量子力学中的波函数
2. ^ 这里可以考虑设自变量 $y = x - a$ ，将 $f (y)$ 于点 $x$ 处展开，得到 $f (y) = f (x) + (y - x) f^{'} (x) + 1 / 2! (y - x)^{2} f^{″} (x) + \dots$ ，再把 $f^{(n)} (x)$ 替换为 $\partial^{n} / \partial x^{n} f (x)$ 、把 $y - x$ 替换为 $- a$ 得到。

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