传播子(量子力学)

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 时间演化算符(量子力学)

   本节采用自然单位制,$\hbar=1$。

1. 传播子的概念

   考虑一个 $t=0$ 时刻的初始量子态,记为 $ \left\lvert s \right\rangle $。设有哈密顿算符 $H$,则时间演化算符是 $ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht}$。设 $H$ 的本征态为 $ \left\lvert a \right\rangle $,对应本征值为 $E_a$。

   用 $H$的本征态来展开 $ \left\lvert s \right\rangle $,得到 $ \left\lvert s \right\rangle =\sum_a \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \middle| s \right\rangle $,则有

\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert s \right\rangle = \sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \middle| s \right\rangle = \sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| a \right\rangle \left\langle a \middle| s \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at}~. \end{equation}

   用位置本征态$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $ 来展开 $ \left\lvert s \right\rangle $,得到 $ \left\lvert s \right\rangle =\int\mathrm{d}^3 x \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| s \right\rangle $,则有

\begin{equation} \left\langle a \middle| s \right\rangle = \int\mathrm{d}^3x \left\langle a \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| s \right\rangle ~. \end{equation}

   将式 2 代入式 1 ,设 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rangle $ 是位置本征态,$\psi( \boldsymbol{\mathbf{y}} , t)$ 是 $ \left\lvert s \right\rangle $ 在时刻 $t$ 的波函数,则有

\begin{equation} \begin{aligned} \psi( \boldsymbol{\mathbf{y}} , t)&= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert s \right\rangle \\ &=\sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \middle| a \right\rangle \left\langle a \middle| s \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at}\\ &=\sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \middle| a \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at}\int\mathrm{d}^3x \left\langle a \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| s \right\rangle \\ &=\int\mathrm{d}^3x\sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \middle| a \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at} \left\langle a \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| s \right\rangle ~, \end{aligned} \end{equation}

   则定义 $K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , t)$ 为 $\sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \middle| a \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at} \left\langle a \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $。根据式 3 ,这意味着

\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{y}} , t) = \int\mathrm{d}^3x K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , t)\psi( \boldsymbol{\mathbf{x}} , 0)~, \end{equation}
称 $K$ 为传播子(propagator)

   注意,传播子也可以写成

\begin{equation} \begin{aligned} K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , t) &= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \left(\sum_a \left\lvert a \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at} \left\langle a \right\rvert \right) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \\&= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \left( \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht}\sum_a \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \right\rvert \right) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \\ &= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle ~. \end{aligned} \end{equation}

   实际计算中,$ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $ 可能难以算出,因此也常插入 $H$ 的本征态构造的恒等算符 $\sum_a \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \right\rvert $ 或 $\int \,\mathrm{d}{a} \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \right\rvert $ 来方便计算。

2. 传播子的性质

   对传播子 $K$ 关于时间求偏导,得到:

\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{i} \partial_t K &= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \left( \mathrm{i} \partial_t \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \right) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \\ &= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \left(H \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \right) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \\ &= HK~, \end{aligned} \end{equation}
即 $K$满足薛定谔方程

   另外,注意到

\begin{equation} \begin{aligned} K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , 0) &= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle = \delta^3( \boldsymbol{\mathbf{y}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} )~, \end{aligned} \end{equation}
即 $K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , 0)$ 可以看成是 $t=0$ 时位置本征态 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $ 的波函数 $\psi_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }( \boldsymbol{\mathbf{y}} , 0)$。

   由于量子态的演化遵循薛定谔方程,因此综上所述,$K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , t)$ 可以视为一个自然演化的波函数 $\psi_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }( \boldsymbol{\mathbf{y}} , t)$,其初态为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $。

例 1 一维自由粒子

  

   考虑一个一维自由粒子,显然 $[H, p]=0$。具体地,$p=- \mathrm{i} \hbar\partial_x$,$H=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2$。

   设 $ \left\lvert p_a \right\rangle $ 是 $p$ 与 $H$ 的共同本征态,其中下标 $a$ 取值范围为整个实数集,且 $p \left\lvert p_a \right\rangle =a$,这还意味着 $H \left\lvert p_a \right\rangle =a^2/2m$。

   再注意到 $ \left\lvert p_a \right\rangle $ 的位置表象波函数为

未完成:引用关于 $ \left\lvert p_a \right\rangle $ 的波函数归一化讨论的文章。
\begin{equation} \psi_a(x) = \left\langle x \middle| p_a \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( \mathrm{i} ax\right) ~. \end{equation}

   于是能计算出传播子

\begin{equation} \begin{aligned} K(y, x, t) &= \left\langle y \right\rvert \left( \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht}\int \left\lvert p_a \right\rangle \left\langle p_a \right\rvert \,\mathrm{d}{a} \right) \left\lvert x \right\rangle \\ &= \left\langle y \right\rvert \left(\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \left\lvert p_a \right\rangle \left\langle p_a \right\rvert \,\mathrm{d}{a} \right) \left\lvert x \right\rangle \\ &= \int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \left\langle y \middle| p_a \right\rangle \left\langle p_a \middle| x \right\rangle \,\mathrm{d}{a} \\ &= \frac{1}{2\pi}\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} a(y-x)} \,\mathrm{d}{a} ~, \end{aligned} \end{equation}

   以下是式 9 积分的计算。

   令 $A=t/2m$,$B=x-y$,则

\begin{equation} \begin{aligned} \int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} a(y-x)} \,\mathrm{d}{a} &= \int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \left(Aa^2+Ba \right) } \,\mathrm{d}{a} \\ &= \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \frac{B^2}{4A}}\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \left(\sqrt{A}a+\frac{B}{2\sqrt{A}} \right) ^2} \,\mathrm{d}{a} \\ &= \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \frac{B^2}{4A}}\cdot\frac{1}{\sqrt{A}}\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} b^2} \,\mathrm{d}{b} ~. \end{aligned} \end{equation}
根据高斯积分式 6 ,或者如果你对高斯积分向复数的拓展有疑虑的话,根据留数定理例 3 ,知 $\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} b^2} \,\mathrm{d}{b} = \sqrt{\frac{\pi}{ \mathrm{i} }} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}(1- \mathrm{i} )$。代入式 10
\begin{equation} \begin{aligned} \int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} a(y-x)} \,\mathrm{d}{a} &= \frac{1}{2\pi}\cdot \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \frac{B^2}{4A}}\cdot\frac{1}{\sqrt{A}}\cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}}(1- \mathrm{i} )\\ &= \frac{1}{2\pi}\exp \left(\frac{m \mathrm{i} \left(x-y \right) ^2}{2t} \right) \sqrt{\frac{\pi m}{t}}(1- \mathrm{i} )\\ &= \exp \left(\frac{m \mathrm{i} \left(x-y \right) ^2}{2t} \right) \sqrt{\frac{m}{4\pi t}}(1- \mathrm{i} )~. \end{aligned} \end{equation}
式 11 也可以写为
\begin{equation} \int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} a(y-x)} \,\mathrm{d}{a} = \exp \left(\frac{ \mathrm{i} m \left(x-y \right) ^2}{2t} \right) \sqrt{\frac{m}{2\pi t \mathrm{i} }}~. \end{equation}

习题 1 三维自由粒子

   你已经学会了计算一维自由粒子的传播子(例 1 ),现在请仿照算出三维自由粒子的传播子。

   答案是

\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle = \left(\frac{m}{2\pi t \mathrm{i} } \right) ^{3/2}\exp \left(\frac{ \mathrm{i} m( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{y}} )^2}{2t} \right) ~. \end{equation}

3. 传播振幅

   给定测量算符 $X$,$X$ 的本征值为 $x_a$ 的本征矢记为 $ \left\lvert a \right\rangle $。

   给定量子态 $ \left\lvert s \right\rangle $,一段时间 $t$ 后它会变成 $ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert s \right\rangle $。此时若我们对它进行 $X$ 测量,则得到 $x_a$ 的概率为

\begin{equation} \left\lvert \left\langle a \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert s \right\rangle \right\rvert ^2~. \end{equation}
这可以理解为,时间 $t$ 后,$ \left\lvert s \right\rangle $ 演化为 $ \left\lvert a \right\rangle $ 的概率。

   据以上结论,我们定义传播振幅,用于描述一个系统一段时间后演化为另一个系统的概率:

定义 1 传播振幅

   给定量子态 $ \left\lvert s \right\rangle $ 和 $ \left\lvert a \right\rangle $,定义从 $ \left\lvert s \right\rangle $,经过时间 $t$ 后到 $ \left\lvert a \right\rangle $ 的传播振幅为 $ \left\langle a \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert s \right\rangle $。

   传播振幅的模方,式 14 ,即为传播的概率。

   由定义 1 可见,传播子可以理解为一种跃迁振幅,即初始处于 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 位置的粒子,在时间 $t$ 后出现在 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 处的概率振幅。

4. 经典量子力学的局限性

   根据传播振幅的概念,式 12 式 13 意味着对于任意给定的位置 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $,自由粒子总能在任意短的时间 $t$ 内从一处传播到另一处(传播振幅的模方不为零),意即粒子允许瞬间移动。这是不符合相对论要求的因果性的。

   直接将哈密顿量 $H$ 改为相对论形式 $H=\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2+m^2}$ 也无济于事(An Introduction to Quantum Field Theory [1],2.1 节)。

   对于该问题的讨论,请参见

未完成:写了相关文章后引用


[1] ^ Peskin. An introduction To Quantum Field Theory

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