传播子(量子力学)

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 时间演化算符(量子力学)

   本节采用自然单位制,$\hbar=1$.

1. 传播子的概念

   考虑一个 $t=0$ 时刻的初始量子态,记为 $ \left\lvert s \right\rangle $.设有哈密顿算符 $H$,则时间演化算符是 $ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht}$.设 $H$ 的本征态为 $ \left\lvert a \right\rangle $,对应本征值为 $E_a$.

   用 $H$的本征态来展开 $ \left\lvert s \right\rangle $,得到 $ \left\lvert s \right\rangle =\sum_a \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \middle| s \right\rangle $,则有

\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert s \right\rangle = \sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \middle| s \right\rangle = \sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| a \right\rangle \left\langle a \middle| s \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at} \end{equation}

   用位置本征态$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $ 来展开 $ \left\lvert s \right\rangle $,得到 $ \left\lvert s \right\rangle =\int\mathrm{d}^3 x \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| s \right\rangle $,则有

\begin{equation} \left\langle a \middle| s \right\rangle = \int\mathrm{d}^3x \left\langle a \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| s \right\rangle \end{equation}

   将式 2 代入式 1 ,设 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rangle $ 是位置本征态,$\psi( \boldsymbol{\mathbf{y}} , t)$ 是 $ \left\lvert s \right\rangle $ 在时刻 $t$ 的波函数,则有

\begin{equation} \begin{aligned} \psi( \boldsymbol{\mathbf{y}} , t)&= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert s \right\rangle \\ &=\sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \middle| a \right\rangle \left\langle a \middle| s \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at}\\ &=\sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \middle| a \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at}\int\mathrm{d}^3x \left\langle a \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| s \right\rangle \\ &=\int\mathrm{d}^3x\sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \middle| a \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at} \left\langle a \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} \middle| s \right\rangle \end{aligned} \end{equation}

   则定义 $K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , t)$ 为 $\sum_a \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \middle| a \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at} \left\langle a \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $.根据式 3 ,这意味着

\begin{equation} \psi( \boldsymbol{\mathbf{y}} , t) = \int\mathrm{d}^3x K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , t)\psi( \boldsymbol{\mathbf{x}} , 0) \end{equation}
称 $K$ 为传播子(propagator)

   注意,传播子也可以写成

\begin{equation} \begin{aligned} K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , t) &= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \left(\sum_a \left\lvert a \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} E_at} \left\langle a \right\rvert \right) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \\&= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \left( \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht}\sum_a \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \right\rvert \right) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \\ &= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \end{aligned} \end{equation}

   实际计算中,$ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $ 可能难以算出,因此也常插入 $H$ 的本征态构造的恒等算符 $\sum_a \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \right\rvert $ 或 $\int \,\mathrm{d}{a} \left\lvert a \right\rangle \left\langle a \right\rvert $ 来方便计算.

2. 传播子的性质

   对传播子 $K$ 关于时间求偏导,得到:

\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{i} \partial_t K &= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \left( \mathrm{i} \partial_t \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \right) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \\ &= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \left(H \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \right) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle \\ &= HK \end{aligned} \end{equation}
即 $K$满足薛定谔方程

   另外,注意到

\begin{equation} \begin{aligned} K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , 0) &= \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \middle| \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle = \delta^3( \boldsymbol{\mathbf{y}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} ) \end{aligned} \end{equation}
即 $K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , 0)$ 可以看成是 $t=0$ 时位置本征态 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $ 的波函数 $\psi_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }( \boldsymbol{\mathbf{y}} , 0)$.

   由于量子态的演化遵循薛定谔方程,因此综上所述,$K( \boldsymbol{\mathbf{y}} , \boldsymbol{\mathbf{x}} , t)$ 可以视为一个自然演化的波函数 $\psi_{ \boldsymbol{\mathbf{x}} }( \boldsymbol{\mathbf{y}} , t)$,其初态为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle $.

例 1 一维自由粒子

  

   考虑一个一维自由粒子,显然 $[H, p]=0$.具体地,$p=- \mathrm{i} \hbar\partial_x$,$H=\frac{p^2}{2m}=\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2$.

   设 $ \left\lvert p_a \right\rangle $ 是 $p$ 与 $H$ 的共同本征态,其中下标 $a$ 取值范围为整个实数集,且 $p \left\lvert p_a \right\rangle =a$,这还意味着 $H \left\lvert p_a \right\rangle =a^2/2m$.

   再注意到 $ \left\lvert p_a \right\rangle $ 的位置表象波函数为

未完成:引用关于 $ \left\lvert p_a \right\rangle $ 的波函数归一化讨论的词条.
\begin{equation} \psi_a(x) = \left\langle x \middle| p_a \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp\left( \mathrm{i} ax\right) \end{equation}

   于是能计算出传播子

\begin{equation} \begin{aligned} K(y, x, t) &= \left\langle y \right\rvert \left( \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht}\int \left\lvert p_a \right\rangle \left\langle p_a \right\rvert \,\mathrm{d}{a} \right) \left\lvert x \right\rangle \\ &= \left\langle y \right\rvert \left(\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \left\lvert p_a \right\rangle \left\langle p_a \right\rvert \,\mathrm{d}{a} \right) \left\lvert x \right\rangle \\ &= \int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \left\langle y \middle| p_a \right\rangle \left\langle p_a \middle| x \right\rangle \,\mathrm{d}{a} \\ &= \frac{1}{2\pi}\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} a(y-x)} \,\mathrm{d}{a} \end{aligned} \end{equation}

   以下是式 9 积分的计算.

   令 $A=t/2m$,$B=x-y$,则

\begin{equation} \begin{aligned} \int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} a(y-x)} \,\mathrm{d}{a} &= \int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \left(Aa^2+Ba \right) } \,\mathrm{d}{a} \\ &= \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \frac{B^2}{4A}}\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \left(\sqrt{A}a+\frac{B}{2\sqrt{A}} \right) ^2} \,\mathrm{d}{a} \\ &= \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \frac{B^2}{4A}}\cdot\frac{1}{\sqrt{A}}\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} b^2} \,\mathrm{d}{b} \end{aligned} \end{equation}
根据高斯积分式 6 ,或者如果你对高斯积分向复数的拓展有疑虑的话,根据留数定理例 3 ,知 $\int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} b^2} \,\mathrm{d}{b} = \sqrt{\frac{\pi}{ \mathrm{i} }} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}(1- \mathrm{i} )$.代入式 10
\begin{equation} \begin{aligned} \int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} a(y-x)} \,\mathrm{d}{a} &= \frac{1}{2\pi}\cdot \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \frac{B^2}{4A}}\cdot\frac{1}{\sqrt{A}}\cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}}(1- \mathrm{i} )\\ &= \frac{1}{2\pi}\exp \left(\frac{m \mathrm{i} \left(x-y \right) ^2}{2t} \right) \sqrt{\frac{\pi m}{t}}(1- \mathrm{i} )\\ &= \exp \left(\frac{m \mathrm{i} \left(x-y \right) ^2}{2t} \right) \sqrt{\frac{m}{4\pi t}}(1- \mathrm{i} ) \end{aligned} \end{equation}
式 11 也可以写为
\begin{equation} \int \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} a^2t/2m} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} a(y-x)} \,\mathrm{d}{a} = \exp \left(\frac{ \mathrm{i} m \left(x-y \right) ^2}{2t} \right) \sqrt{\frac{m}{2\pi t \mathrm{i} }} \end{equation}

习题 1 三维自由粒子

   你已经学会了计算一维自由粒子的传播子(例 1 ),现在请仿照算出三维自由粒子的传播子.

   答案是

\begin{equation} \left\langle \boldsymbol{\mathbf{y}} \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} H t} \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rangle = \left(\frac{m}{2\pi t \mathrm{i} } \right) ^{3/2}\exp \left(\frac{ \mathrm{i} m( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{y}} )^2}{2t} \right) \end{equation}

3. 传播振幅

   给定测量算符 $X$,$X$ 的本征值为 $x_a$ 的本征矢记为 $ \left\lvert a \right\rangle $.

   给定量子态 $ \left\lvert s \right\rangle $,一段时间 $t$ 后它会变成 $ \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert s \right\rangle $.此时若我们对它进行 $X$ 测量,则得到 $x_a$ 的概率为

\begin{equation} \left\lvert \left\langle a \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert s \right\rangle \right\rvert ^2 \end{equation}
这可以理解为,时间 $t$ 后,$ \left\lvert s \right\rangle $ 演化为 $ \left\lvert a \right\rangle $ 的概率.

   据以上结论,我们定义传播振幅,用于描述一个系统一段时间后演化为另一个系统的概率:

定义 1 传播振幅

   给定量子态 $ \left\lvert s \right\rangle $ 和 $ \left\lvert a \right\rangle $,定义从 $ \left\lvert s \right\rangle $,经过时间 $t$ 后到 $ \left\lvert a \right\rangle $ 的传播振幅为 $ \left\langle a \right\rvert \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} Ht} \left\lvert s \right\rangle $.

   传播振幅的模方,式 14 ,即为传播的概率.

   由定义 1 可见,传播子可以理解为一种跃迁振幅,即初始处于 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 位置的粒子,在时间 $t$ 后出现在 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 处的概率振幅.

4. 经典量子力学的局限性

   根据传播振幅的概念,式 12 式 13 意味着对于任意给定的位置 $ \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $,自由粒子总能在任意短的时间 $t$ 内从一处传播到另一处(传播振幅的模方不为零),意即粒子允许瞬间移动.这是不符合相对论要求的因果性的.

   直接将哈密顿量 $H$ 改为相对论形式 $H=\sqrt{ \boldsymbol{\mathbf{p}} ^2+m^2}$ 也无济于事(An Introduction to Quantum Field Theory [41],2.1 节).

   对于该问题的讨论,请参见

未完成:写了相关词条后引用


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利