传播子（量子力学）

贡献者： JierPeter

预备知识　时间演化算符（量子力学）

　　本节采用自然单位制， $ℏ = 1$ 。

1. 传播子的概念

　　考虑一个 $t = 0$ 时刻的初始量子态，记为 $| s ⟩$ 。设有哈密顿算符 $H$ ，则时间演化算符是 $e^{- i H t}$ 。设 $H$ 的本征态为 $| a ⟩$ ，对应本征值为 $E_{a}$ 。

　　用 $H$ 的本征态来展开 $| s ⟩$ ，得到 $| s ⟩ = \sum_{a} | a ⟩ ⟨ a | s ⟩$ ，则有

\begin{matrix} (1) & ⟨ x | e^{- i H t} | s ⟩ = \sum_{a} ⟨ x | e^{- i H t} | a ⟩ ⟨ a | s ⟩ = \sum_{a} ⟨ x | a ⟩ ⟨ a | s ⟩ e^{- i E_{a} t} . \end{matrix}

　　用位置本征态 $| x ⟩$ 来展开 $| s ⟩$ ，得到 $| s ⟩ = \int d^{3} x | x ⟩ ⟨ x | s ⟩$ ，则有

\begin{matrix} (2) & ⟨ a | s ⟩ = \int d^{3} x ⟨ a | x ⟩ ⟨ x | s ⟩ . \end{matrix}

　　将式 2 代入式 1 ，设 $| y ⟩$ 是位置本征态， $ψ (y, t)$ 是 $| s ⟩$ 在时刻 $t$ 的波函数，则有

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} ψ (y, t) & = ⟨ y | e^{- i H t} | s ⟩ \\ = \sum_{a} ⟨ y | a ⟩ ⟨ a | s ⟩ e^{- i E_{a} t} \\ = \sum_{a} ⟨ y | a ⟩ e^{- i E_{a} t} \int d^{3} x ⟨ a | x ⟩ ⟨ x | s ⟩ \\ = \int d^{3} x \sum_{a} ⟨ y | a ⟩ e^{- i E_{a} t} ⟨ a | x ⟩ ⟨ x | s ⟩, \end{aligned} \end{matrix}

　　则定义 $K (y, x, t)$ 为 $\sum_{a} ⟨ y | a ⟩ e^{- i E_{a} t} ⟨ a | x ⟩$ 。根据式 3 ，这意味着

\begin{matrix} (4) & ψ (y, t) = \int d^{3} x K (y, x, t) ψ (x, 0), \end{matrix}

称

K

为传播子（propagator）。

　　注意，传播子也可以写成

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} K (y, x, t) & = ⟨ y | (\sum_{a} | a ⟩ e^{- i E_{a} t} ⟨ a |) | x ⟩ \\ = ⟨ y | (e^{- i H t} \sum_{a} | a ⟩ ⟨ a |) | x ⟩ \\ = ⟨ y | e^{- i H t} | x ⟩ . \end{aligned} \end{matrix}

　　实际计算中， $e^{- i H t} | x ⟩$ 可能难以算出，因此也常插入 $H$ 的本征态构造的恒等算符 $\sum_{a} | a ⟩ ⟨ a |$ 或 $\int d a | a ⟩ ⟨ a |$ 来方便计算。

2. 传播子的性质

　　对传播子 $K$ 关于时间求偏导，得到：

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} i \partial_{t} K & = ⟨ y | (i \partial_{t} e^{- i H t}) | x ⟩ \\ = ⟨ y | (H e^{- i H t}) | x ⟩ \\ = H K, \end{aligned} \end{matrix}

即

K

满足薛定谔方程。

　　另外，注意到

\begin{matrix} (7) & \begin{aligned} K (y, x, 0) & = ⟨ y | x ⟩ = δ^{3} (y - x), \end{aligned} \end{matrix}

即

K (y, x, 0)

可以看成是

t = 0

时位置本征态

| x ⟩

的波函数

ψ_{x} (y, 0)

。

　　由于量子态的演化遵循薛定谔方程，因此综上所述， $K (y, x, t)$ 可以视为一个自然演化的波函数 $ψ_{x} (y, t)$ ，其初态为 $| x ⟩$ 。

例 1　一维自由粒子

　　考虑一个一维自由粒子，显然 $[H, p] = 0$ 。具体地， $p = - i ℏ \partial_{x}$ ， $H = \frac{p^{2}}{2 m} = \frac{ℏ^{2}}{2 m} \partial_{x}^{2}$ 。

　　设 $| p_{a} ⟩$ 是 $p$ 与 $H$ 的共同本征态，其中下标 $a$ 取值范围为整个实数集，且 $p | p_{a} ⟩ = a$ ，这还意味着 $H | p_{a} ⟩ = a^{2} / 2 m$ 。

　　再注意到 $| p_{a} ⟩$ 的位置表象波函数为

未完成：引用关于

| p_{a} ⟩

的波函数归一化讨论的文章。

\begin{matrix} (8) & ψ_{a} (x) = ⟨ x | p_{a} ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \exp (i a x) . \end{matrix}

　　于是能计算出传播子

\begin{matrix} (9) & \begin{aligned} K (y, x, t) & = ⟨ y | (e^{- i H t} \int | p_{a} ⟩ ⟨ p_{a} | d a) | x ⟩ \\ = ⟨ y | (\int e^{- i a^{2} t / 2 m} | p_{a} ⟩ ⟨ p_{a} | d a) | x ⟩ \\ = \int e^{- i a^{2} t / 2 m} ⟨ y | p_{a} ⟩ ⟨ p_{a} | x ⟩ d a \\ = \frac{1}{2 π} \int e^{- i a^{2} t / 2 m} e^{i a (y - x)} d a, \end{aligned} \end{matrix}

　　以下是式 9 积分的计算。

　　令 $A = t / 2 m$ ， $B = x - y$ ，则

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} \int e^{- i a^{2} t / 2 m} e^{i a (y - x)} d a & = \int e^{- i (A a^{2} + B a)} d a \\ = e^{i \frac{B^{2}}{4 A}} \int e^{- i {(\sqrt{A} a + \frac{B}{2 \sqrt{A}})}^{2}} d a \\ = e^{i \frac{B^{2}}{4 A}} \cdot \frac{1}{\sqrt{A}} \int e^{- i b^{2}} d b . \end{aligned} \end{matrix}

根据高斯积分式 6 ，或者如果你对高斯积分向复数的拓展有疑虑的话，根据留数定理例 3 ，知

\int e^{- i b^{2}} d b = \sqrt{\frac{π}{i}} = \sqrt{\frac{π}{2}} (1 - i)

。代入式 10 得

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} \int e^{- i a^{2} t / 2 m} e^{i a (y - x)} d a & = \frac{1}{2 π} \cdot e^{i \frac{B^{2}}{4 A}} \cdot \frac{1}{\sqrt{A}} \cdot \sqrt{\frac{π}{2}} (1 - i) \\ = \frac{1}{2 π} \exp (\frac{m i {(x - y)}^{2}}{2 t}) \sqrt{\frac{π m}{t}} (1 - i) \\ = \exp (\frac{m i {(x - y)}^{2}}{2 t}) \sqrt{\frac{m}{4 π t}} (1 - i) . \end{aligned} \end{matrix}

式 11 也可以写为

\begin{matrix} (12) & \int e^{- i a^{2} t / 2 m} e^{i a (y - x)} d a = \exp (\frac{i m {(x - y)}^{2}}{2 t}) \sqrt{\frac{m}{2 π t i}} . \end{matrix}

习题 1　三维自由粒子

　　你已经学会了计算一维自由粒子的传播子（例 1 ），现在请仿照算出三维自由粒子的传播子。

　　答案是

\begin{matrix} (13) & ⟨ y | e^{- i H t} | x ⟩ = {(\frac{m}{2 π t i})}^{3 / 2} \exp (\frac{i m (x - y)^{2}}{2 t}) . \end{matrix}

3. 传播振幅

　　给定测量算符 $X$ ， $X$ 的本征值为 $x_{a}$ 的本征矢记为 $| a ⟩$ 。

　　给定量子态 $| s ⟩$ ，一段时间 $t$ 后它会变成 $e^{- i H t} | s ⟩$ 。此时若我们对它进行 $X$ 测量，则得到 $x_{a}$ 的概率为

\begin{matrix} (14) & {| ⟨ a | e^{- i H t} | s ⟩ |}^{2} . \end{matrix}

这可以理解为，时间

t

后，

| s ⟩

演化为

| a ⟩

的概率。

　　据以上结论，我们定义传播振幅，用于描述一个系统一段时间后演化为另一个系统的概率：

定义 1　传播振幅

　　给定量子态 $| s ⟩$ 和 $| a ⟩$ ，定义从 $| s ⟩$ ，经过时间 $t$ 后到 $| a ⟩$ 的传播振幅为 $⟨ a | e^{- i H t} | s ⟩$ 。

　　传播振幅的模方，式 14 ，即为传播的概率。

　　由定义 1 可见，传播子可以理解为一种跃迁振幅，即初始处于 $x$ 位置的粒子，在时间 $t$ 后出现在 $y$ 处的概率振幅。

4. 经典量子力学的局限性

　　根据传播振幅的概念，式 12 和式 13 意味着对于任意给定的位置 $y$ 和 $x$ ，自由粒子总能在任意短的时间 $t$ 内从一处传播到另一处（传播振幅的模方不为零），意即粒子允许瞬间移动。这是不符合相对论要求的因果性的。

　　直接将哈密顿量 $H$ 改为相对论形式 $H = \sqrt{p^{2} + m^{2}}$ 也无济于事（An Introduction to Quantum Field Theory [1]，2.1 节）。

　　对于该问题的讨论，请参见

未完成：写了相关文章后引用

[1] ^ Peskin. An introduction To Quantum Field Theory

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