极限的运算法则
贡献者： addis; Giacomo
1. 极限的基本性质与运算法则
下面列出一些函数极限的定理，从直觉上来看它们是显然的，证明略，感兴趣的读者可以尝试自己证。
定理 1 极限的四则运算
若两个函数分别存在极限 $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ 和 $\lim\limits_{x\to a} g(x)$（$a$ 可取 $\pm \infty$），那么有
\begin{equation}
\lim_{x\to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x\to a}f(x) \pm \lim_{x\to a} g(x)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{x\to a} [f(x) g(x)] = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a} g(x)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{x\to a} [f(x)/g(x)] = \lim_{x\to a}f(x)/\lim_{x\to a} g(x) \qquad (\lim_{x\to a} g(x) \ne 0)~.
\end{equation}
注意，可以四则运算的前提是参与运算的各个极限均存在。
定理 2 局部保号性、保序性
局部保号性：
\begin{equation}
\lim_{x\to x_0}f(x)>0\Rightarrow \exists \mathring{U} (x_0), \forall x \in \mathring{U} (x_0), f(x)>0~.
\end{equation}
局部保序性：
\begin{equation}
\lim_{x\to x_0}f(x)=A>0 \Rightarrow \exists \mathring{U} (x_0), \forall x \in \mathring{U} (x_0), f(x)>A/2~.
\end{equation}
$\mathring{U} (x_0)$ 指 $x_0$ 附近的一个小区间，但不包括 $x_0$ 自身，也称去心区间。1
这是一组简单的、但却有点难以理解的结论。在处理一些刁钻的问题时，局部保号、保序性偶尔会派上用场。通俗地说，这意味着若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$，则 $x$ 在 $x_0$ 附近时，$f(x)$ 的函数值也会收缩到 $A$ 附近。
图 1：在 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 区间内，$f(x)>0$. 仿自
[1]
局部保号性的一个幼稚 “证明”：如图 1 所示（其实就是图 4 ），我们总能取一个 $\varepsilon_1 \in (0,A)$，极限的定义保证了我们总能找到对应的 $\delta_1$。显然，在 $(x_0-\delta_1, x_0+\delta_1)$ 这个小去心区间2(即 $\mathring{U} ({x_0})$)内，有 $f(x)>0$。
同理，将选取 $\varepsilon$ 的区间改为 $(0,A/2)$，我们就能找到相应的、使 $f(x)>A/2$ 的区间，即说明了局部保序性。原则上，由此可导出更广义的局部保序性，即总存在 $f(x)>A/3,A/4,A/5,...$ 的区间。
未完成：如果在 $x_0$ 附近（不包括）$f(x) > 0$，那么 $\lim_{x \to x_0} f(x) \geq 0$
1. ^ “去心” 这个词让我想到 “比干挖心” 的传说故事
2. ^ 严格来说，或许应该写为 $(x_0-\delta_1,x_0)\cup(x_0, x_0+\delta_1)$，不过在正文中这么写实在太繁琐了，也不利于把握重点
[1] ^ J. Hass, C. Heil, M. Weir．Thomas' Cauculus 14ed
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