极限的运算法则

                     

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1. 极限的基本性质与运算法则

   下面列出一些函数极限的定理,从直觉上来看它们是显然的,证明略,感兴趣的读者可以尝试自己证。

定理 1 极限的四则运算

   若两个函数分别存在极限 $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ 和 $\lim\limits_{x\to a} g(x)$($a$ 可取 $\pm \infty$),那么有

\begin{equation} \lim_{x\to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x\to a}f(x) \pm \lim_{x\to a} g(x)~, \end{equation}
\begin{equation} \lim_{x\to a} [f(x) g(x)] = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a} g(x)~, \end{equation}
\begin{equation} \lim_{x\to a} [f(x)/g(x)] = \lim_{x\to a}f(x)/\lim_{x\to a} g(x) \qquad (\lim_{x\to a} g(x) \ne 0)~. \end{equation}
注意,可以四则运算的前提是参与运算的各个极限均存在。

定理 2 局部保号性、保序性

   局部保号性:

\begin{equation} \lim_{x\to x_0}f(x)=A>0\Rightarrow \exists \mathring{U} (x_0), \forall x \in U(x_0), f(x)>0~. \end{equation}

   局部保序性:

\begin{equation} \lim_{x\to x_0}f(x)=A>0 \Rightarrow \exists \mathring{U} (x_0), \forall x \in U(x_0), f(x)>A/2~. \end{equation}

   $\mathring{U} (x_0)$ 指 $x_0$ 附近的一个小区间,但不包括 $x_0$ 自身,也称去心区间。1

   这是一组简单的、但却有点难以理解的结论。在处理一些刁钻的问题时,局部保号、保序性偶尔会派上用场。通俗地说,这意味着若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$,则 $x$ 在 $x_0$ 附近时,$f(x)$ 的函数值也会收缩到 $A$ 附近。

图
图 1:在 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 区间内,$f(x)>0$. 仿自 [1]

   局部保号性的一个幼稚 “证明”:如图 1 所示(其实就是图 4 ),我们总能取一个 $\varepsilon_1 \in (0,A)$,极限的定义保证了我们总能找到对应的 $\delta_1$。显然,在 $(x_0-\delta_1, x_0+\delta_1)$ 这个小去心区间2(即 $\mathring{U} ({x_0})$)内,有 $f(x)>0$。

   同理,将选取 $\varepsilon$ 的区间改为 $(0,A/2)$,我们就能找到相应的、使 $f(x)>A/2$ 的区间,即说明了局部保序性。原则上,由此可导出更广义的局部保序性,即总存在 $f(x)>A/3,A/4,A/5,...$ 的区间。


1. ^ “去心” 这个词让我想到 “比干挖心” 的传说故事
2. ^ 严格来说,或许应该写为 $(x_0-\delta_1,x_0)\cup(x_0, x_0+\delta_1)$,不过在正文中这么写实在太繁琐了,也不利于把握重点


[1] ^ J. Hass, C. Heil, M. Weir.Thomas' Cauculus 14ed

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