极限的运算法则
贡献者： Giacomo
1. 极限的基本性质与运算法则
下面列出一些函数极限的定理，从直觉上来看它们是显然的，证明略，感兴趣的读者可以尝试自己证。
定理 1 极限的四则运算
若两个函数分别存在极限 $\lim\limits_{x\to a} f(x)$ 和 $\lim\limits_{x\to a} g(x)$（$a$ 可取 $\pm \infty$），那么有
\begin{equation}
\lim_{x\to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x\to a}f(x) \pm \lim_{x\to a} g(x)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{x\to a} [f(x) g(x)] = \lim_{x\to a}f(x) \lim_{x\to a} g(x)~,
\end{equation}
\begin{equation}
\lim_{x\to a} [f(x)/g(x)] = \lim_{x\to a}f(x)/\lim_{x\to a} g(x) \qquad (\lim_{x\to a} g(x) \ne 0)~.
\end{equation}
注意，可以四则运算的前提是参与运算的各个极限均存在。
定理 2 局部保号性、保序性
局部保号性：
\begin{equation}
\lim_{x\to x_0}f(x)>0\Rightarrow \exists \mathring{U} (x_0), \forall x \in \mathring{U} (x_0), f(x)>0~.
\end{equation}
局部保序性：
\begin{equation}
\lim_{x\to x_0}f(x)=A>0 \Rightarrow \exists \mathring{U} (x_0), \forall x \in \mathring{U} (x_0), f(x)>A/2~.
\end{equation}
$\mathring{U} (x_0)$ 指 $x_0$ 附近的一个小区间，但不包括 $x_0$ 自身，也称去心区间。1
这是一组简单的、但却有点难以理解的结论。在处理一些刁钻的问题时，局部保号、保序性偶尔会派上用场。通俗地说，这意味着若 $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$，则 $x$ 在 $x_0$ 附近时，$f(x)$ 的函数值也会收缩到 $A$ 附近。
图 1：在 $(x_0-\delta, x_0+\delta)$ 区间内，$f(x)>0$. 仿自
[1]
局部保号性的一个幼稚 “证明”：如图 1 所示（其实就是图 4 ），我们总能取一个 $\varepsilon_1 \in (0,A)$，极限的定义保证了我们总能找到对应的 $\delta_1$。显然，在 $(x_0-\delta_1, x_0+\delta_1)$ 这个小去心区间2(即 $\mathring{U} ({x_0})$)内，有 $f(x)>0$。
同理，将选取 $\varepsilon$ 的区间改为 $(0,A/2)$，我们就能找到相应的、使 $f(x)>A/2$ 的区间，即说明了局部保序性。原则上，由此可导出更广义的局部保序性，即总存在 $f(x)>A/3,A/4,A/5,...$ 的区间。
未完成：如果在 $x_0$ 附近（不包括）$f(x) > 0$，那么 $\lim_{x \to x_0} f(x) \geq 0$
1. ^ “去心” 这个词让我想到 “比干挖心” 的传说故事
2. ^ 严格来说，或许应该写为 $(x_0-\delta_1,x_0)\cup(x_0, x_0+\delta_1)$，不过在正文中这么写实在太繁琐了，也不利于把握重点
[1] ^ J. Hass, C. Heil, M. Weir．Thomas' Cauculus 14ed
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
