多元函数的极值

                     

贡献者： 零穹; addis

1. 极值

　　 设函数 $u=f(x_1,\cdots ,x_n)$ 定义于区域 $\mathcal{D}$ 中，且 $(x_1^0,\cdots ,x_n^0)$ 是这区域的内点。

2. 极值的必要条件

　　 证明：令 $x_2=x_2^0,\cdots ,x_n=x_n^0$，而 $x_1$ 仍保持为变量；那么，就得到 $x_1$ 的一元函数：

因为函数在点 $(x_1^0,\cdots ,x_n^0)$ 有极值（为明确，设为极大值）存在，由极值定义 1 ，在点 $x_1=x_1^0$ 的某一邻域 $(x_1^0-\delta ,x_1^0+\delta )$ 内，必成立不等式 于是上述一元函数在点 $x_1=x_1^0$ 将有极大值，由费马定理定理 1 ，就得 同样的方法可证明在点 $(x_1^0,\cdots ,x_n^0)$ 处其它偏导数也都为 0。

　　 证毕。

　　 于是，一阶偏导数等于 0 是极值存在的必要条件。

　　 因此，对极值的 “怀疑” 就是那些一阶偏导数全为 0 的点，它们的坐标可由解方程组

求出。这种点称为静止点。

3. 极值的充分条件

　　 设函数 $f(x_1,\cdots ,x_n)$ 是在某一静止点 $(x_1^0,\cdots ,x_n^0)$ 的邻域内定义着的连续并有一阶及二阶连续导数。 按照多元函数的泰勒公式（式 1 ）展开下式到二阶项（由于是在静止点，一阶项为 0）

得 式中的 $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_i^0$，一切导数都在某一点 计算它们的数值。

　　 引入数值

于是 且 现在，可把 $\mathrm{\Delta }$ 写为 括号前一部分是函数 $f$ 在所考察点的二阶微分，它是变元为 $\mathrm{\Delta }{x}_1,\cdots ,\mathrm{\Delta }{x}_n$ 的二次型。

　　 证明：引入点 $(x_1^0,\cdots ,x_n^0)$ 与 $(x_1,\cdots ,x_n)$ 之间的距离

并令 $\frac{\mathrm{\Delta }{x}_i}{\rho }={\xi }_i$ 则 $\mathrm{\Delta }$ 可改写为 一切 ${\xi }_i$ 并不同时为 0，因此，由二次型式 14 的正定性。式 16 括号的前一和式恒有正号。即，因为 所以必有正的常数 $m$，使得对于 ${\xi }_i$ 可能有的一切数值总有 式 16 括号后一和式当 $\rho$ 充分小时显然在绝对值上可小于 $m$（式 12 ），于是全括号内的值是正的。因此，在中心为点 $(x_1^0,\cdots ,x_n^0)$ 的充分小的球内，差 $\mathrm{\Delta }$ 必取正值。由此可见在所说的点处函数 $f(x_1,\cdots ,x_n)$ 有极小值。

　　 同样，当二次型式 14 是负定时函数有极大值。

　　 证毕。