多元函数的极值

                     

贡献者: 零穹; addis

预备知识 二元函数的极值(简明微积分),二次多项式与二次型

1. 极值

   设函数 $u=f(x_1,\cdots,x_n)$ 定义于区域 $\mathcal{D}$ 中,且 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$ 是这区域的内点.

定义 1 极值

   若点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$ 有这样一个邻域 \[(x_1^0-\delta,x_1^0+\delta;\cdots;x_n^0-\delta,x_n^0+\delta)\] 使对于其中一切点都能成立不等式

\begin{equation} \begin{aligned} f(x_1,\cdots,x_n)&\leq f(x_1^0,\cdots,x_n^0)\\ &(\geq) \end{aligned} \end{equation}
就说,函数 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 在点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$ 处有极大值极小值).

   若在除去点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$ 本身以外区域中的每一点都能成立严格不等式

\begin{equation} \begin{aligned} f(x_1,\cdots,x_n)& < f(x_1^0,\cdots,x_n^0)\\ &( > ) \end{aligned} \end{equation}
就说,函数 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 在点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$ 处有真正的极大值(极小值);否则,极大值(极小值)就称为广义的

   极大值和极小值总称为极值

2. 极值的必要条件

定理 1 

   若函数 $f$ 在某一点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$ 处有极值,且在这一点处存在着(有限)偏导数 \[f'_{x_1}(x_1^0,\cdots,x_n^0),\cdots,f'_{x_n}(x_1^0,\cdots,x_n^0)\] 则这些偏导数都为 0.

   证明:令 $x_2=x_2^0,\cdots,x_n=x_n^0$,而 $x_1$ 仍保持为变量;那么,就得到 $x_1$ 的一元函数:

\begin{equation} u=f(x_1,x_2^0,\cdots,x_n^0) \end{equation}
因为函数在点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$ 有极值(为明确,设为极大值)存在,由极值定义 1 ,在点 $x_1=x_1^0$ 的某一邻域 $(x_1^0-\delta,x_1^0+\delta)$ 内,必成立不等式
\begin{equation} f(x_1,x_2^0\cdots,x_n^0)\leq f(x_1^0,\cdots,x_n^0) \end{equation}
于是上述一元函数在点 $x_1=x_1^0$ 将有极大值,由费马定理定理 1 ,就得
\begin{equation} f'_{x_1}(x_1^0,\cdots,x_n^0)=0 \end{equation}
同样的方法可证明在点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$ 处其它偏导数也都为 0.

   证毕

   于是,一阶偏导数等于 0 是极值存在的必要条件.

   因此,对极值的 “怀疑” 就是那些一阶偏导数全为 0 的点,它们的坐标可由解方程组

\begin{equation} \begin{aligned} f'_{x_1}(x_1,\cdots,x_n)&=0,\\ &\vdots\\ f'_{x_n}(x_1,\cdots,x_n)&=0 \end{aligned} \end{equation}
求出.这种点称为静止点

3. 极值的充分条件

预备知识 多元泰勒展开,正定矩阵

   设函数 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 是在某一静止点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$ 的邻域内定义着的连续并有一阶及二阶连续导数. 按照多元函数的泰勒公式(式 1 )展开下式到二阶项(由于是在静止点,一阶项为 0)

\begin{equation} \Delta=f(x_1,\cdots,x_n)-f(x_1^0,\cdots,x_n^0) \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \Delta=&\frac{1}{2}\mathrm{d}^2 f(x_0+\theta\Delta x_0,\cdots,x_n+\theta\Delta x_n)\\ =&\frac{1}{2}[f''_{x_1^2}\Delta x_1^2+f''_{x_2^2}\Delta x_2^2+\cdots+f''_{x_n^2}\Delta x_n^2+2f''_{x_1x_2}\Delta x_1\Delta x_2\\ &+2f''_{x_1x_3}\Delta x_1\Delta x_3+\cdots+2f''_{x_{n-1}x_n}\Delta x_{n-1}\Delta x_n\large] \\ =&\frac{1}{2}\sum_{i,k=1}^nf''_{x_ix_k}\Delta x_i\Delta x_k \quad (0 < \theta < 1) \end{aligned} \end{equation}
式中的 $\Delta x_i=x_i-x_i^0$,一切导数都在某一点
\begin{equation} (x_1^0+\theta\Delta x_1,\cdots,x_n^0+\theta\Delta x_n) \quad (0 < \theta < 1) \end{equation}
计算它们的数值.

   引入数值

\begin{equation} f''_{x_ix_k}(x_1^0,\cdots,x_n^0)=a_{ik}\quad (i,k=1,\cdots,n) \end{equation}
于是
\begin{equation} f''_{x_ix_k}(x_1^0+\theta\Delta x_1,\cdots,x_n^0+\theta\Delta x_n)=a_{ik}+\alpha_{ik} \end{equation}
\begin{equation} \alpha_{ik}\rightarrow 0\;\mathrm{when}\;\Delta x_1\rightarrow0,\cdots,\Delta x_n\rightarrow0 \end{equation}
现在,可把 $\Delta$ 写为
\begin{equation} \Delta=\frac{1}{2} \left(\sum_{i,k=1}^na_{ik}\Delta x_i\Delta x_k+\sum_{i,k=1}^n\alpha_{ik}\Delta x_i\Delta x_k \right) \end{equation}
括号前一部分是函数 $f$ 在所考察点的二阶微分,它是变元为 $\Delta x_1,\cdots,\Delta x_n$ 的二次型

定理 2 

   若二阶微分,即二次型

\begin{equation} \sum_{i,k=1}^na_{ik}\Delta x_i\Delta x_k \end{equation}
是正(负)定的,则在静止点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$ 函数有极小值(极大值).

   证明:引入点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$ 与 $(x_1,\cdots,x_n)$ 之间的距离

\begin{equation} \rho=\sqrt{\Delta x_1^2+\cdots+\Delta x_n^2} \end{equation}
并令 $\frac{\Delta x_i}{\rho}=\xi_i$ 则 $\Delta$ 可改写为
\begin{equation} \Delta=\frac{\rho^2}{2} \left(\sum_{i,k=1}^na_{ik}\xi_i\xi_k+\sum_{i,k=1}^n\alpha_{ik} \xi_i\xi_k \right) \end{equation}
一切 $\xi_i$ 并不同时为 0,因此,由二次型式 14 的正定性.式 16 括号的前一和式恒有正号.即,因为
\begin{equation} \sum_{i=1}^n\xi_i^2=1 \end{equation}
所以必有正的常数 $m$,使得对于 $\xi_i$ 可能有的一切数值总有
\begin{equation} \sum_{i,k=1}^na_{ik}\xi_i\xi_k\geq m \end{equation}
式 16 括号后一和式当 $\rho$ 充分小时显然在绝对值上可小于 $m$(式 12 ),于是全括号内的值是正的.因此,在中心为点 $(x_1^0,\cdots,x_n^0)$ 的充分小的球内,差 $\Delta$ 必取正值.由此可见在所说的点处函数 $f(x_1,\cdots,x_n)$ 有极小值.

   同样,当二次型式 14 是负定时函数有极大值.

   证毕


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