二元函数的极值(简明微积分)

                     

贡献者: addis; ACertainUser

预备知识 导数与函数极值,方向导数

  1类似一元函数,二元函数的极值与其偏导数密切相关。以下讨论中,我们假设在某区域内二元函数二阶可导且二阶导数连续。

1. 极值点与驻点

定义 1 二元函数的极值点

   以一点为圆心在 $xy$ 平面上作一个圆形区域,若当半径足够小时,$f(x_i, y_i)$ 是该圆形区域的最大值或最小值,那么该点就是极大值点或极小值点。

定义 2 驻点

   如果二元函数 $f(x,y)$ 在某点 $(x_i, y_i)$ 处对 $x, y$ 的偏导数都为零,那么 $(x_i, y_i)$ 就叫做函数 $f(x,y)$ 的驻点

   根据式 9 ,驻点处各个方向的方向导数也都为零。

\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} =0 \Longleftrightarrow \boldsymbol\nabla f= \boldsymbol{\mathbf{0}} ~. \end{equation}

   与一元函数类似,极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点。例如 $f(x,y) = xy$ 在坐标原点的两个一阶偏导都为零,但原点并不是极值点。

图
图 1:原点是 $f(x,y)=x^2+y^2$ 的极值点
图
图 2:但原点不是 $f(x,y)=xy$ 的极值点

2. 极值点判别法(充分非必要条件)

   在驻点处,设

\begin{equation} A= \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x}^{2}} ,\qquad B= \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} ,\qquad C= \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{y}^{2}} ~. \end{equation}
\begin{equation} D=AC-B^2= \begin{vmatrix} A&B\\ B&C\end{vmatrix} ~. \end{equation}

习题 1 二次函数

   求以下二次函数的极值

\begin{equation} f(x, y) = ax^2 + 2bxy + cy^2 + px + qy~. \end{equation}
部分答案:存在唯一极小值当且仅当 $a>0$, $c>0$, 且 $ac>b^2$;存在唯一极大值当且仅当 $a<0$, $c<0$, 且 $ac>b^2$。

3. 推导

   类比一元函数的证明,要证明二元函数的某点是极值点,就要证明该点的任意二阶方向导数都大于零或都小于零2。令某方向为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \cos\theta + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \sin\theta$,由式 9 得该方向的方向导数为

\begin{equation} \left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial{x}} + \sin\theta \frac{\partial}{\partial{y}} \right) f~, \end{equation}
再次求方向导数得二阶方向导数为
\begin{equation} \left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial{x}} + \sin\theta \frac{\partial}{\partial{y}} \right) ^2 f = \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x}^{2}} \cos^2\theta + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \sin\theta\cos\theta + \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{y}^{2}} \sin^2\theta~. \end{equation}
如果你还不习惯看算符的平方,可以把上式的括号项平方看做两个括号项,依次作用在函数上。以极小值为例,令上式恒大于零,并除以 $\cos^2\theta$ 得
\begin{equation} \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{y}^{2}} \tan^2\theta + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \tan\theta + \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x}^{2}} > 0~. \end{equation}
上式左边是关于 $\tan\theta$ 的二次函数,若要恒大于零,则二次项系数要大于零,且判别式需小于零,立即可得 $AC-B^2>0$。同理可得极大值条件。

   当判别式($AC-B^2$)小于零时,必然存在不同方向的二阶方向导数具有相反的符号,所以必定不是极值点。而当判别式等于零时,存在某些方向的二阶导数为零,无法判断是否为极值点。


1. ^ 本文参考: [2] 下册的 “多元函数的极值及其求法” 一节。
2. ^ 否则延一个方向前进函数值会越来越大,而延另一个方向前进函数值会越来越小,这个点就不是极值点


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