二元函数的极值（简明微积分）

贡献者： addis; ACertainUser

预备知识　导数与函数极值，方向导数

　　¹类似一元函数，二元函数的极值与其偏导数密切相关。以下讨论中，我们假设在某区域内二元函数二阶可导且二阶导数连续。

1. 极值点与驻点

定义 1　二元函数的极值点

　　以一点为圆心在 $x y$ 平面上作一个圆形区域，若当半径足够小时， $f (x_{i}, y_{i})$ 是该圆形区域的最大值或最小值，那么该点就是极大值点或极小值点。

定义 2　驻点

　　如果二元函数 $f (x, y)$ 在某点 $(x_{i}, y_{i})$ 处对 $x, y$ 的偏导数都为零，那么 $(x_{i}, y_{i})$ 就叫做函数 $f (x, y)$ 的驻点。

　　根据式 9 ，驻点处各个方向的方向导数也都为零。

\begin{matrix} (1) & \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = 0 ⟺ \nabla f = 0 . \end{matrix}

　　与一元函数类似，极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点。例如 $f (x, y) = x y$ 在坐标原点的两个一阶偏导都为零，但原点并不是极值点。

图 1：原点是

f (x, y) = x^{2} + y^{2}

的极值点

图 2：但原点不是

f (x, y) = x y

的极值点

2. 极值点判别法（充分非必要条件）

　　在驻点处，设

\begin{matrix} (2) & A = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}, B = \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}, C = \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} . \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & D = A C - B^{2} = | \begin{matrix} A & B \\ B & C \end{matrix} | . \end{matrix}

若 $D < 0$ , 则该驻点不是极值点
若 $D > 0$ 且 $A > 0$ , 则该驻点为 $f (x, y)$ 的极小值点
若 $D > 0$ 且 $A < 0$ , 则该驻点为 $f (x, y)$ 的极大值点
否则，该点可能是也可能不是极值，不能使用该判别法判定

习题 1　二次函数

　　求以下二次函数的极值

\begin{matrix} (4) & f (x, y) = a x^{2} + 2 b x y + c y^{2} + p x + q y . \end{matrix}

部分答案：存在唯一极小值当且仅当

a > 0

c > 0

, 且

a c > b^{2}

；存在唯一极大值当且仅当

a < 0

c < 0

, 且

a c > b^{2}

。

3. 推导

　　类比一元函数的证明，要证明二元函数的某点是极值点，就要证明该点的任意二阶方向导数都大于零或都小于零²。令某方向为 $\hat{n} = \hat{x} \cos θ + \hat{y} \sin θ$ ，由式 9 得该方向的方向导数为

\begin{matrix} (5) & (\cos θ \frac{\partial}{\partial x} + \sin θ \frac{\partial}{\partial y}) f, \end{matrix}

再次求方向导数得二阶方向导数为

\begin{matrix} (6) & {(\cos θ \frac{\partial}{\partial x} + \sin θ \frac{\partial}{\partial y})}^{2} f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} \cos^{2} θ + 2 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \sin θ \cos θ + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \sin^{2} θ . \end{matrix}

如果你还不习惯看算符的平方，可以把上式的括号项平方看做两个括号项，依次作用在函数上。以极小值为例，令上式恒大于零，并除以

\cos^{2} θ

得

\begin{matrix} (7) & \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} \tan^{2} θ + 2 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} \tan θ + \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} > 0 . \end{matrix}

上式左边是关于

\tan θ

的二次函数，若要恒大于零，则二次项系数要大于零，且判别式需小于零，立即可得

A C - B^{2} > 0

。同理可得极大值条件。

　　当判别式（ $A C - B^{2}$ ）小于零时，必然存在不同方向的二阶方向导数具有相反的符号，所以必定不是极值点。而当判别式等于零时，存在某些方向的二阶导数为零，无法判断是否为极值点。

1. ^ 本文参考： [1] 下册的 “多元函数的极值及其求法” 一节。
2. ^ 否则延一个方向前进函数值会越来越大，而延另一个方向前进函数值会越来越小，这个点就不是极值点

[1] ^ 同济大学数学系. 高等数学 (上下册) 高等教育出版社 (2014) 第七版

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。