二元函数的极值(简明微积分)

                     

贡献者: addis; ACertainUser

预备知识 导数与函数极值,方向导数

  1类似一元函数,二元函数的极值与其偏导数密切相关。以下讨论中,我们假设在某区域内二元函数二阶可导且二阶导数连续。

1. 极值点与驻点

定义 1 二元函数的极值点

   以一点为圆心在 xy 平面上作一个圆形区域,若当半径足够小时,f(xi,yi) 是该圆形区域的最大值或最小值,那么该点就是极大值点或极小值点。

定义 2 驻点

   如果二元函数 f(x,y) 在某点 (xi,yi) 处对 x,y 的偏导数都为零,那么 (xi,yi) 就叫做函数 f(x,y)驻点

   根据式 9 ,驻点处各个方向的方向导数也都为零。

(1)fx=fy=0f=0 .

   与一元函数类似,极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点。例如 f(x,y)=xy 在坐标原点的两个一阶偏导都为零,但原点并不是极值点。

图
图 1:原点是 f(x,y)=x2+y2 的极值点
图
图 2:但原点不是 f(x,y)=xy 的极值点

2. 极值点判别法(充分非必要条件)

   在驻点处,设

(2)A=2fx2,B=2fxy,C=2fy2 .
(3)D=ACB2=|ABBC| .

习题 1 二次函数

   求以下二次函数的极值

(4)f(x,y)=ax2+2bxy+cy2+px+qy .
部分答案:存在唯一极小值当且仅当 a>0, c>0, 且 ac>b2;存在唯一极大值当且仅当 a<0, c<0, 且 ac>b2

3. 推导

   类比一元函数的证明,要证明二元函数的某点是极值点,就要证明该点的任意二阶方向导数都大于零或都小于零2。令某方向为 n^=x^cosθ+y^sinθ,由式 9 得该方向的方向导数为

(5)(cosθx+sinθy)f ,
再次求方向导数得二阶方向导数为
(6)(cosθx+sinθy)2f=2fx2cos2θ+22fxysinθcosθ+2fy2sin2θ .
如果你还不习惯看算符的平方,可以把上式的括号项平方看做两个括号项,依次作用在函数上。以极小值为例,令上式恒大于零,并除以 cos2θ
(7)2fy2tan2θ+22fxytanθ+2fx2>0 .
上式左边是关于 tanθ 的二次函数,若要恒大于零,则二次项系数要大于零,且判别式需小于零,立即可得 ACB2>0。同理可得极大值条件。

   当判别式(ACB2)小于零时,必然存在不同方向的二阶方向导数具有相反的符号,所以必定不是极值点。而当判别式等于零时,存在某些方向的二阶导数为零,无法判断是否为极值点。


1. ^ 本文参考: [1] 下册的 “多元函数的极值及其求法” 一节。
2. ^ 否则延一个方向前进函数值会越来越大,而延另一个方向前进函数值会越来越小,这个点就不是极值点


[1] ^ 同济大学数学系. 高等数学 (上下册) 高等教育出版社 (2014) 第七版

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