二元函数的极值(充分条件)

             

预备知识 导数与函数极值,方向导数

  1类似一元函数,二元函数的极值与其偏导数密切相关.以下讨论中,我们假设在某区域内二元函数的一阶偏导处处存在(即函数曲面处处光滑).如果二元函数 $f(x,y)$ 在某点 $(x_i, y_i)$ 处对 $x, y$ 的偏导数都为零,那么 $(x_i, y_i)$ 就叫做函数 $f(x,y)$ 的驻点.根据式 9 ,驻点处各个方向的方向导数也都为零.

   我们先来定义二元函数的极值点,以驻点为圆心在 $xy$ 平面上作一个圆形区域,若当半径足够小时,$f(x_i, y_i)$ 是该圆形区域的最大值或最小值,那么该驻点就是极大值点或极小值点.与一元函数类似,驻点不一定是极值点.例如 $f(x,y) = xy$ 在坐标原点的两个一阶偏导都为零,但原点并不是极值点.为了判断驻点是不是极值点,也需要用到二阶偏导(假设驻点处的各个二阶偏导都存在).如果满足

\begin{equation} \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x}^{2}} \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{y}^{2}} - \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right) ^2 > 0 \end{equation}
则驻点是极值点.如果 $ \partial^{2} f/\partial {x}^{2} $ 和 $ \partial^{2} f/\partial {y}^{2} $ 都大于零2,则极值为极小值,若都小于零,则极值为极大值.

   注意式 1 只是存在极值的充分非必要条件.也就是说存在一些极值点不满足式 1 .例如 $f(x, y) = x^4 + y^4$ 在原点处的极值点.当式 1 左边小于零时,必定不是极值点,等于零时可能是也可能不是,需要用高阶导数进一步判断,这里暂时不讨论.

1. 证明

   类比一元函数的证明,要证明二元函数的某点是极值点,就要证明该点的任意二阶方向导数都大于零或都小于零3.令某方向为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \cos\theta + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \sin\theta$,由式 9 得该方向的方向导数为

\begin{equation} \left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial{x}} + \sin\theta \frac{\partial}{\partial{y}} \right) f \end{equation}
再次求方向导数得二阶方向导数为
\begin{equation} \left(\cos\theta \frac{\partial}{\partial{x}} + \sin\theta \frac{\partial}{\partial{y}} \right) ^2 f = \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x}^{2}} \cos^2\theta + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \sin\theta\cos\theta + \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{y}^{2}} \sin^2\theta \end{equation}
如果你还不习惯看算符的平方,可以把上式的括号项平方看做两个括号项,依次作用在函数上.以极小值为例,令上式恒大于零,并除以 $\cos^2\theta$ 得
\begin{equation} \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{y}^{2}} \tan^2\theta + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \tan\theta + \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x}^{2}} > 0 \end{equation}
上式左边是关于 $\tan\theta$ 的二次函数,若要恒大于零,则二次项系数要大于零,且判别式需小于零,立即可得式 1 .同理可得极大值条件.

   当判别式小于零时,必然存在不同方向的二阶方向导数具有相反的符号,所以必定不是极值点.而当判别式等于零时,存在某些方向的二阶导数为零,无法判断是否为极值点.


1. ^ 本文参考: [3] 下册的 “多元函数的极值及其求法” 一节.
2. ^ 根据式 1 ,$ \partial^{2} f/\partial {x}^{2} $ 和 $ \partial^{2} f/\partial {y}^{2} $ 的乘积大于零,所以只需要任意一个大于零,另外一个就必定大于零.一个小于零,另一个也必小于零.
3. ^ 否则延一个方向前进函数值会越来越大,而延另一个方向前进函数值会越来越小,这个点就不是极值点

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

广告位

投放详情

         

© 小时科技 保留一切权利