二元函数的极值(简明微积分)
贡献者: addis; ACertainUser
1类似一元函数,二元函数的极值与其偏导数密切相关。以下讨论中,我们假设在某区域内二元函数二阶可导且二阶导数连续。
1. 极值点与驻点
定义 1 二元函数的极值点
以一点为圆心在 平面上作一个圆形区域,若当半径足够小时, 是该圆形区域的最大值或最小值,那么该点就是极大值点或极小值点。
定义 2 驻点
如果二元函数 在某点 处对 的偏导数都为零,那么 就叫做函数 的驻点。
根据式 9 ,驻点处各个方向的方向导数也都为零。
与一元函数类似,极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点。例如 在坐标原点的两个一阶偏导都为零,但原点并不是极值点。
图 1:原点是 的极值点
图 2:但原点不是 的极值点
2. 极值点判别法(充分非必要条件)
在驻点处,设
- 若 , 则该驻点不是极值点
- 若 且 , 则该驻点为 的极小值点
- 若 且 , 则该驻点为 的极大值点
- 否则,该点可能是也可能不是极值,不能使用该判别法判定
习题 1 二次函数
求以下二次函数的极值
部分答案:存在唯一极小值当且仅当 , , 且 ;存在唯一极大值当且仅当 , , 且 。
3. 推导
类比一元函数的证明,要证明二元函数的某点是极值点,就要证明该点的任意二阶方向导数都大于零或都小于零2。令某方向为 ,由式 9 得该方向的方向导数为
再次求方向导数得二阶方向导数为
如果你还不习惯看算符的平方,可以把上式的括号项平方看做两个括号项,依次作用在函数上。以极小值为例,令上式恒大于零,并除以 得
上式左边是关于 的二次函数,若要恒大于零,则二次项系数要大于零,且判别式需小于零,立即可得 。同理可得极大值条件。
当判别式()小于零时,必然存在不同方向的二阶方向导数具有相反的符号,所以必定不是极值点。而当判别式等于零时,存在某些方向的二阶导数为零,无法判断是否为极值点。
1. ^ 本文参考: [1] 下册的 “多元函数的极值及其求法” 一节。
2. ^ 否则延一个方向前进函数值会越来越大,而延另一个方向前进函数值会越来越小,这个点就不是极值点
[1] ^ 同济大学数学系. 高等数学 (上下册) 高等教育出版社 (2014) 第七版
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