微分中值定理

             

贡献者: JierPeter; addis

预备知识 导数

1. 一点准备

定义 1 函数极值

   考虑实函数 $f(x)$.如果存在一个实数轴上的开集 $O$,且有 $x_0\in O$,使得对于任意的 $x\in O$,都有 $f(x_0)\geq f(x)$,则称 $f(x_0)$ 是 $f$ 在 $O$ 上的一个极大值(maximum);如果 $x_0$ 满足的条件改为对于任意的 $x\in O$,都有 $f(x_0)\leq f(x)$,则称 $f(x_0)$ 是 $f$ 在 $O$ 上的一个极小值(minimum)

   极大值和极小值统称为极值(extremum)

   如果 $f(x_0)$ 是一个极大值,那么称 $x_0$ 是一个极大值点(maximum point);相应地,极小值对应的自变量 $x_0$ 是一个极小值点(minimum point).极大值点和极小值点统称极值点(extremum point)

   简单来说,极大值的意思就是,取包含极大值点的足够小的范围,那么范围内的所有函数值都小于等于极大值.极小值则反过来,范围内的函数值都大于等于它.

   我们要求 “存在一个开集 $O$”,实际上就是在说存在一个范围.

例 1 

   考虑实函数 $f(x)=x^3-x$,如图 1 所示.

图
图 1:$f(x)=x^3-x$ 的函数图像.

   在 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 处,$f$ 取极小值,但显然不是最小值.

   在 $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 处,$f$ 取极大值,也显然不是最大值.

定理 1 Fermat 定理

   考虑实函数 $f(x)$.如果 $x_0$ 是 $f$ 的一个极值点,且 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导,那么 $f'(x_0)=0$.

   证明

   假设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且取极大值,并反设$f'(x_0) > 0$1

   那么由于可导,$f(x)$ 在 $x_0$ 处的右极限存在且等于导数,即右极限大于零.这样一来,取任意正向接近 $x_0$ 的数列 $\{a_n\}$,则对于任意正整数 $N$,必然总有编号大于 $N$ 的 $a_n$ 使得 $f(a_n) > f(x_0)$2.又由于 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$,故得,对于任意包含 $x_0$ 的开集(范围)$O$(对应编号 $N$),总有 $f(a_n) > f(x_0)$,于是 $f(x_0)$ 就不是极大值了.

   结论和假设矛盾,故反设部分不成立.将以上讨论推广到 $f(x_0)$ 取极小值和/或反设 $f'(x_0) < 0$ 的情况后,可得最终结论:$f'(x_0)$ 必为零.

   证毕

   定理 1 就可以用来快速计算出例 1 里的两个极值点的位置,即导数为零的地方.

2. 三个中值定理

定义 2 Rolle 中值定理

   设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续,在 $(a, b)$ 内可导,且 $f(a)=f(b)$,那么存在一个 $x_0\in(a, b)$,使得 $f'(x_0)=0$.

   证明

   如果直接引用 “闭区间上的连续函数必有极值” 这一定理,那么根据

   证毕


1. ^ 取极小值和/或反设 $f'(x_0) < 0$ 的情况可以类比,在此不赘述.反设就是指 “反过来假设定理不成立”.
2. ^ 否则,如果存在一个正整数 $N$ 使得所有编号大于 $N$ 的 $a_n$ 都小于等于 $f(x_0)$,则这些 $a_n$ 计算出的割线斜率 $\frac{f(a_n)-f(x_0)}{a_n-x_0}$ 就小于等于零了,取极限以后,可得 $f'(x_0)\leq 0$,而这和我们反设的 “$f'(x_0) < 0$” 相矛盾.


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