微分中值定理

                     

贡献者: JierPeter; _Eden_

预备知识 导数

1. 一点准备

定义 1 函数极值

   考虑实函数 $f(x)$。如果存在一个实数轴上的开集 $O$,且有 $x_0\in O$,使得对于任意的 $x\in O$,都有 $f(x_0)\geq f(x)$,则称 $f(x_0)$ 是 $f$ 在 $O$ 上的一个极大值(maximum);如果 $x_0$ 满足的条件改为对于任意的 $x\in O$,都有 $f(x_0)\leq f(x)$,则称 $f(x_0)$ 是 $f$ 在 $O$ 上的一个极小值(minimum)

   极大值和极小值统称为极值(extremum)

   如果 $f(x_0)$ 是一个极大值,那么称 $x_0$ 是一个极大值点(maximum point);相应地,极小值对应的自变量 $x_0$ 是一个极小值点(minimum point)。极大值点和极小值点统称极值点(extremum point)

   简单来说,极大值的意思就是,取包含极大值点的足够小的范围,那么范围内的所有函数值都小于等于极大值。极小值则反过来,范围内的函数值都大于等于它。

   我们要求 “存在一个开集 $O$”,实际上就是在说存在一个范围。

例 1 

   考虑实函数 $f(x)=x^3-x$,如图 1 所示。

图
图 1:$f(x)=x^3-x$ 的函数图像。

   在 $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 处,$f$ 取极小值,但显然不是最小值。

   在 $x=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ 处,$f$ 取极大值,也显然不是最大值。

定理 1 Fermat 定理

   考虑实函数 $f(x)$。如果 $x_0$ 是 $f$ 的一个极值点,且 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导,那么 $f'(x_0)=0$。

   证明

   假设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且取极大值,并反设$f'(x_0)>0$1

   那么由于可导,$f(x)$ 在 $x_0$ 处的右极限存在且等于导数,即右极限大于零。这样一来,取任意正向接近 $x_0$ 的数列 $\{a_n\}$,则对于任意正整数 $N$,必然总有编号大于 $N$ 的 $a_n$ 使得 $f(a_n)>f(x_0)$2。又由于 $\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$,故得,对于任意包含 $x_0$ 的开集(范围)$O$(对应编号 $N$),总有 $f(a_n)>f(x_0)$,于是 $f(x_0)$ 就不是极大值了。

   结论和假设矛盾,故反设部分不成立。将以上讨论推广到 $f(x_0)$ 取极小值和/或反设 $f'(x_0)<0$ 的情况后,可得最终结论:$f'(x_0)$ 必为零。

   证毕

   定理 1 就可以用来快速计算出例 1 里的两个极值点的位置,即导数为零的地方。

2. 三个中值定理

定义 2 Rolle 中值定理

   设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续,在 $(a, b)$ 内可导,且 $f(a)=f(b)$,那么存在一个 $x_0\in(a, b)$,使得 $f'(x_0)=0$。

   罗尔微分中值定理可以利用费马定理定理 1 证明,即对最大值或最小值点处的导数进行分析。如果将函数 $f(x)$ 叠加上一个一次函数 $kx+b$,即满足 $f(b)-f(a)=k(b-a)$,那么就一定存在 $a< \xi < b$ 使得 $f'(\xi)=k$。于是可以得到以下定理

定理 2 拉格朗日微分中值定理

   若函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,在 $(a,b)$ 内可导,则一定存在 $a< \xi < b$,使得

\begin{equation} f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}~. \end{equation}

习题 1 

   证明勒让德(Legendre)多项式3

\begin{equation} P_n(x)=\frac{1}{2^n n!}\frac{ \,\mathrm{d}{} ^n}{ \,\mathrm{d}{x} ^n}[(x^2-1)^n]~. \end{equation}

   在 $(-1,1)$ 内有 $n$ 个互异的实根。

   提示:考察多项式函数 $f(x)=(x^2-1)^n$,它在 $x=\pm 1$ 处分别有 $n$ 重根。如果对它求一次导,由罗尔微分中值定理,$f'(x)$ 在 $(-1,1)$ 内至少有一个根,在 $x=\pm 1$ 处分别有 $n-1$ 重根。根据多项式函数因式分解的性质,$f'(x)$ 在 $(-1,1)$ 上只有一个根。再对它求导,……。以此类推,$f^{(n)}(x)$ 在 $(-1,1)$ 内恰好有 $n$ 个互异的根,在 $x=\pm 1$ 不再是 $f^{(n)}(x)$ 的根。

   由上例可见,罗尔微分中值定理可以用来分析特殊函数的零点情况。有时我们还会通过构造辅助函数来分析零点。例如若连续函数 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$,那么对任意 $a\in \mathbb{R}$,一定存在 $x_1<\xi< x_2$ 满足 $f'(\xi)-af(\xi)=0$。这可以通过构造函数 $g(x)=f(x)e^{-ax}$ 再利用罗尔微分中值定理即可。

习题 2 

   $\alpha$ 是大于 $0$ 的一个常数。函数 $f(x)=x^\alpha$ 在 $[0,\infty)$ 上是否一致连续(对 $\alpha$ 分类讨论)?

   提示:回顾一致连续的定义,对任意 $\epsilon>0$,总存在 $\delta>0$,使得任取 $|x-y|<\delta(0\le x< y)$,都有 $|f(x)-f(y)|<\epsilon$。可以利用微分中值定理,总是存在 $x< \xi < y$,使得 $|f(x)-f(y)|=f'(\xi)|x-y|<\delta f'(\xi)$($f(x)$ 是单调递增函数)。这样一来我们就将一致连续性与导数联系了起来。要注意的是,当 $\alpha<1$ 时 $f(x)$ 在 $0$ 附近导数趋于无穷大,所以要对 $0$ 附近的邻域单独拎出来讨论(例如取区间 $[0,2]$,闭区间上的连续函数一定一致连续)。当 $\alpha\le1$ 时,邻域以外的部分 $f'(\xi)$ 将有上界,因此函数 $f(x)$ 一致连续。当 $\alpha>1$ 时,$f'(x)$ 随 $x$ 的增加而单调增加,趋于正无穷,于是有 $|f(x+\delta)-f(x)|=\delta f'(\xi) \ge\delta f'(x)$,因此 $f(x)$ 不一直连续。

定理 3 柯西微分中值定理

   若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续,在 $(a,b)$ 内可导,而且 $g'(x)\neq 0$,则在 $(a,b)$ 内至少存在一点 $\xi$,使得

\begin{equation}{} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}~. \end{equation}

习题 3 

   函数 $f(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上连续,证明对任意 $0 < a < b$,总是存在 $a < \xi < b, a< \psi < b$,使得

\begin{equation} \frac{2f'(\xi)}{\xi^2}(a^2+ab+b^2)=\frac{3f'(\psi)}{\psi}(a+b)~. \end{equation}
提示:上式经过变形可以写成
\begin{equation} \frac{f'(\xi)}{3\xi^2}(a^3-b^3)=\frac{f'(\psi)}{2\psi}(a^2-b^2)~. \end{equation}
这提示我们利用柯西微分中值定理,总是存在 $a<\xi,\psi< b$,使得
\begin{equation} \begin{aligned} \frac{f(a)-f(b)}{a^3-b^3}=\frac{f'(\xi)}{3\xi^2}~,\\ \frac{f(a)-f(b)}{a^2-b^2}=\frac{f'(\psi)}{2\psi}~. \end{aligned} \end{equation}


1. ^ 取极小值和/或反设 $f'(x_0)<0$ 的情况可以类比,在此不赘述。反设就是指 “反过来假设定理不成立”。
2. ^ 否则,如果存在一个正整数 $N$ 使得所有编号大于 $N$ 的 $a_n$ 都小于等于 $f(x_0)$,则这些 $a_n$ 计算出的割线斜率 $\frac{f(a_n)-f(x_0)}{a_n-x_0}$ 就小于等于零了,取极限以后,可得 $f'(x_0)\leq 0$,而这和我们反设的 “$f'(x_0)<0$” 相矛盾。
3. ^ 这个著名的函数出现在球谐函数中,在学电动力学和量子力学时将会多次用到。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利