多元泰勒展开

                     

贡献者: addis

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预备知识 泰勒展开(简明微积分),梯度、梯度定理

   多元泰勒展开公式如下

(1)f(x)=f(r0)+[(rr0)]f(r0)+12![(rr0)]2f(r0)++1n![(rr0)]nf(r0)+O(xN+1) .

   例如对一元函数 f(x)n 项为

(2)1n![(rr0)]nf(r0)=1n![(xx0)ddx]nf(x0)=1n![(xx0)ndndxn]f(x0)=1n!f(n)(x0)(xx0)n ,
这就回到了熟悉的一元泰勒展开

   对多元函数,令 r=(x1,x2,),每一项的方括号中都是两个 “矢量” 的点乘

(3)[(rr0)]n=[(x1x10)x1+(x2x20)x2+]n .
在拆括号后不仅会产生含有 (xixi0)nn/xin 的项,还会有许多交叉项,即混合偏导。所以对于二元以上的函数,泰勒展开就会变得十分复杂。

   对二元函数 f(x,y),有

(4)f(x,y)=f+[(xx0)x+(yy0)y]f+12![(xx0)x+(yy0)y]2f+=f+fx(xx0)+fy(yy0)+12!2fx2(xx0)2+12!2fy2(yx0)2+2fxy(xx0)(yy0)+ 
其中默认 f 及其偏导在 (x0,y0) 取值。


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