多元泰勒展开

             

  • 本词条处于草稿阶段.

   多元泰勒展开公式如下

\begin{equation} \begin{aligned} f( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) &= f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) + [( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ] f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) + \frac{1}{2!} [( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ]^2 f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) + \dots\\ &+ \frac{1}{n!} [( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ]^n f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) + \mathcal{O}\left(x^{N+1} \right) \end{aligned} \end{equation}

   例如对一元函数 $f(x)$ 第 $n$ 项为

\begin{equation} \begin{aligned} &\frac{1}{n!}[( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) \boldsymbol\nabla ]^n f( \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) = \frac{1}{n!} \left[(x - x_0) \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} \right] ^n f(x_0)\\ &= \frac{1}{n!} \left[(x - x_0)^n \frac{\mathrm{d}^{n}}{\mathrm{d}{x}^{n}} \right] f(x_0) = \frac{1}{n!}f^{(n)}(x_0)(x - x_0)^n \end{aligned} \end{equation}
这就回到了熟悉的一元泰勒展开

   对多元函数,令 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} = (x_1, x_2, \dots)$,每一项的方括号中都是两个 “矢量” 的点乘

\begin{equation} [( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} _0) \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ]^n = \left[(x_1-x_{10}) \frac{\partial}{\partial{x_1}} + (x_2-x_{20}) \frac{\partial}{\partial{x_2}} + \dots \right] ^n \end{equation}
在拆括号后不仅会产生含有 $(x_i-x_{i0})^n \partial^{n}/\partial {x_i}^{n} $ 的项,还会有许多交叉项,即混合偏导.所以对于二元以上的函数,泰勒展开就会变得十分复杂.

   对二元函数 $f(x, y)$,有

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad f(x, y)\\ &= f + \left[(x - x_0) \frac{\partial}{\partial{x}} + (y - y_0) \frac{\partial}{\partial{y}} \right] f\\ & \quad + \frac{1}{2!} \left[(x - x_0) \frac{\partial}{\partial{x}} + (y - y_0) \frac{\partial}{\partial{y}} \right] ^2 f + \dots\\ &= f + \frac{\partial f}{\partial x} (x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y} (y - y_0)\\ &\quad + \frac{1}{2!} \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{x}^{2}} (x - x_0)^2 + \frac{1}{2!} \frac{\partial^{2}{f}}{\partial{y}^{2}} (y - x_0)^2\\ &\quad + \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} (x-x_0)(y-y_0) + \dots \end{aligned} \end{equation}
其中默认 $f$ 及其偏导在 $(x_0, y_0)$ 取值.

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