贡献者： JierPeter; int256; addis; DTSIo; Giacomo
1. 拓扑流形
（实）拓扑流形（real topological manifold） 是一种拓扑空间，其每个点都有一邻域与欧几里得空间中的开集同胚（homeomorphic）。如果这些欧几里得空间是 $n$ 维的，那么就叫做 $n$ 维流形。因此，一个拓扑流形可以看成是我们熟知的欧几里得空间 “拼接” 而成的。
定义 1 图和图册
设 $N$ 是一个拓扑空间，满足 Hausdorff 分离性以及第二可数性1。如果存在开集 $U\in\mathcal{T}_N$ 和一个正整数 $n$，使得 $U$ 同胚于 $\mathbb{R}^n$，同胚映射为 $\varphi:U\rightarrow\mathbb{R}^n$，那么称 $(U,\varphi)$ 是 $N$ 上的一张图（chart）。如果图的一个集合 $\mathcal{A}=\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}$ 覆盖了 $N$，即 $\bigcup\{U_\alpha\}=N$，那么称这个集合 $\mathcal{A}$ 是一个图册（atlas）。
图 $(U, \varphi)$ 可以看成是给 $U$ 中各点 $x$ 赋予了一个坐标值 $\varphi(x)$。
定义 2 实拓扑流形
设 $N$ 是一个拓扑空间，满足 Hausdorff 分离性以及第二可数性，且有一个图册 $\mathcal{A}$，则称 $(N, \mathcal{A})$ 是一个实拓扑流形（real topological manifold），简称拓扑流形（topological manifold）。
需要注意，定义里不要求 $N$ 是道路连通的，但有的作者会要求。需要注意甄别。
从这些定义可看到，流形是 “局部地” 和欧几里得空间同胚的数学对象。低维欧几里得空间可以很方便地用我们的几何直觉来理解，大大方便了建立对于流形的直觉。
要注意的是，以上定义只要求了流形的每个点附近都有领域，使之局部地同胚于欧几里得空间，这样的流形被称为拓扑流形，但并不是我们将在微分几何中讨论的重点；我们将来讨论的重点概念是 “光滑流形”。
例 1 $S^n$ 流形
$n$ 维球面 $S^n$ 都是实流形。
- 记 $S^1=\{(\cos{2\pi t},\sin{2\pi t})\in\mathbb{R}^2|t\in[0, 1]\}$，那么我们可以通过挖去一个点后使用正切函数来构造图：$U=S^1-\{(1,0)\}=\{(\cos{2\pi t},\sin{2\pi t})\in\mathbb{R}^2|t\in(0, 1)\}$ 可以同胚于 $\mathbb{R}$，同胚映射为 $\varphi(\cos{2\pi t},\sin{2\pi t})=\tan{\pi t-\pi/2}$；类似地，$V=S^1-\{(-1, 0)\}=\{(\cos{2\pi t},\sin{2\pi t})\in\mathbb{R}^2|t\in(-1/2, 1/2)\}$ 也可以同胚于 $\mathbb{R}$，同胚映射为 $\phi(\cos{2\pi t},\sin{2\pi t})= \tan{\pi t}$。这样一来，$\{(U, \varphi), (V, \phi)\}$ 就是 $S^1$ 的两个图的集合，并且覆盖 $S^1$，因此这个集合是一个图册，从而得出 $S^1$ 是一个实拓扑流形。
- 类似地，从 $S^n$ 中分别挖去两个不同的点所得到的 $U$ 和 $V$ 都可以同胚于 $\mathbb{R}^n$，从而得到图册。
例 2 莫比乌斯带
将莫比乌斯带表示为矩形纸带两边扭转后粘合，我们可以将其用如图所示的 $5$ 个开集 $U_i$ 覆盖，每个开集都同胚于 $\mathbb{R}^2$，因此我们可以利用它们来构建一个含有 $5$ 个图的图册。
图 1：莫比乌斯带和覆盖它的五个开集。注意 $U1$（红色）和 $U2$（绿色）在图示中有“两块”区域，当然它们实际上是相连的。
2. 光滑流形
考虑一个拓扑流形 $N$ 的两个图 $(U, \varphi)$ 和 $(V, \phi)$。如果 $U\cap V\not=\varnothing$，那么在 $U\cap V$ 中的每个点就有两套坐标；当然，也可以把 $\varphi\circ\phi^{-1}:\phi(V)\rightarrow\varphi(U)$ 和 $\phi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\rightarrow\phi(V)$ 看成 $\mathbb{R}^n$ 的开子集上的多元向量值函数。只要这个函数是可以任意进行微分的，就能方便我们研究。
定义 3 光滑函数
设 $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ 是一个 $n$ 元函数，如果 $\frac{\partial^{k_1+k_2+\cdots+k_n}}{\partial^{k_1}x^1\partial^{k_2}x^2\cdots\partial^{k_n}x^n} f$ 在一点 $x\in\mathbb{R}^n$ 处对于任意非负整数 $k_i$ 成立，即 $f$ 的任意阶偏导数存在，那么称 $f$ 在 $x$ 处光滑；如果 $f$ 处处光滑，也称它是一个光滑函数（smooth function），记为 $C^\infty$ 的函数。如果向量值函数的各分量函数都是光滑函数，那么也称这个向量值函数是一个光滑映射（smooth map）。
当一个函数的 $m$ 阶偏导数存在并且连续时，我们说它是 $C^m$ 的，因此任意阶偏导数存在时自然被记为 $C^\infty$。今后我们将 “光滑” 和 $C^\infty$ 视为同义词，不加区分。
需要注意的是，光滑和解析不是等价的概念。解析函数一定光滑，但光滑函数不一定解析，一个典型例子是例 1 。可参考幂级数.
定义 4 相容
考虑一个拓扑流形 $N$ 的两个图 $(U, \varphi)$ 和 $(V, \phi)$。如果 $U\cap V\not=\varnothing$，且 $\varphi\circ\phi^{-1}:\phi(V)\rightarrow\varphi(U)$ 和 $\phi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\rightarrow\phi(V)$ 都是光滑映射，那么我们称这两个图是相容的（compatible）。
从拓扑流形例子可以看出，同一个拓扑空间 $N$ 可以有不同的图册，对应的虽然是同一空间，但按照定义却是不同流形。这意味着流形不仅仅是指空间 $N$ 本身，还指它的局部坐标系结构。这样把拓扑流形分类通常是无意义的，实际上我们需要一个更为统一的研究对象，那就是光滑流形。我们接连使用以下两个定义来定义光滑流形。
定义 5 极大图册
设 $(N, \mathcal{A})$ 是一个拓扑流形。如果 $N$ 的任何一个图，满足 “只要它和 $\mathcal{A}$ 中所有图都相容，它就一定在 $\mathcal{A}$ 中”，那么就称 $\mathcal{A}$ 是一个极大图册。
定义 6 光滑流形（又称微分流形）
拥有极大图册的拓扑流形，被称为一个光滑流形（smooth manifold），又称微分流形（differentiable manifold）。光滑流形的图册，被称为该流形上的一个微分结构（differential structure）。
这就是我们将来讨论的主要对象了。今后如无特别说明，小时百科中 “流形” 一词都特指 “光滑流形”。
通常，为了方便，我们也会将流形 $(N, \mathcal{A})$ 简单记为 $N$。
1. ^ 拓扑空间如果有一个可数拓扑基（即一个拓扑基，包含最多 $\aleph_0$ 个基本开集），则称之为第二可数的。
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