流形

             

预备知识 拓扑空间

   实流形(real manifold) 是一种拓扑空间,其每个点都有一邻域与与欧几里得空间中的开集同胚(homeomorphic).如果这些欧几里得空间是 $n$ 维的,那么就叫做 $n$ 维流形.因此,一个实流形可以看成是我们熟知的欧几里得空间 “拼接” 而成的.

1. 拓扑流形

定义 1 图和图册

   设 $N$ 是一个拓扑空间,满足 Hausdorff 分离性以及第二可数性1.如果存在开集 $U\in\mathcal{T}_N$ 和一个正整数 $n$,使得 $U$ 同胚于 $\mathbb{R}^n$,同胚映射为 $\varphi:U\rightarrow\mathbb{R}^n$,那么称 $(U,\varphi)$ 是 $N$ 上的一张图(chart).如果图的一个集合 $\mathcal{A}=\{(U_\alpha, \varphi_\alpha)\}$ 覆盖了 $N$,即 $\bigcup\{U_\alpha\}=N$,那么称这个集合 $\mathcal{A}$ 是一个图册(atlas)

   图 $(U, \varphi)$ 可以看成是给 $U$ 中各点 $x$ 赋予了一个坐标值 $\varphi(x)$.

定义 2 实拓扑流形

  

   设 $N$ 是一个道路连通的拓扑空间,满足 Hausdorff 分离性以及第二可数性,且有一个图册 $\mathcal{A}$,则称 $(N, \mathcal{A})$ 是一个实拓扑流形(real topological manifold)

   从这些定义可看到,流形是 “局部地” 和欧几里得空间同胚的数学对象.低维欧几里得空间可以很方便地用我们的几何直觉来理解,大大方便了建立对于流形的直觉.

   要注意的是,以上定义只要求了流形的每个点附近都有领域,使之局部地同胚于欧几里得空间,这样的流形被称为拓扑流形,但并不是我们将在微分几何中讨论的重点;我们将来讨论的重点概念是 “光滑流形”.

例 1 $S^n$ 流形

   $n$ 维球面 $S^n$ 都是实流形.

  • 记 $S^1=\{(\cos{2\pi t},\sin{2\pi t})\in\mathbb{R}^2|t\in[0, 1]\}$,那么我们可以通过挖去一个点后使用正切函数来构造图:$U=S^1-\{(1,0)\}=\{(\cos{2\pi t},\sin{2\pi t})\in\mathbb{R}^2|t\in(0, 1)\}$ 可以同胚于 $\mathbb{R}$,同胚映射为 $\varphi(\cos{2\pi t},\sin{2\pi t})=\tan{\pi t-\pi/2}$;类似地,$V=S^1-\{(-1, 0)\}=\{(\cos{2\pi t},\sin{2\pi t})\in\mathbb{R}^2|t\in(-1/2, 1/2)\}$ 也可以同胚于 $\mathbb{R}$,同胚映射为 $\phi(\cos{2\pi t},\sin{2\pi t})= \tan{\pi t}$.这样一来,$\{(U, \varphi), (V, \phi)\}$ 就是 $S^1$ 的两个图的集合,并且覆盖 $S^1$,因此这个集合是一个图册,从而得出 $S^1$ 是一个实拓扑流形.
  • 类似地,从 $S^n$ 中分别挖去两个不同的点所得到的 $U$ 和 $V$ 都可以同胚于 $\mathbb{R}^n$,从而得到图册.

例 2 莫比乌斯带

   将莫比乌斯带表示为矩形纸带两边扭转后粘合,我们可以将其用如图所示的 $5$ 个开集 $U_i$ 覆盖,每个开集都同胚于 $\mathbb{R}^2$,因此我们可以利用它们来构建一个含有 $5$ 个图的图册.

图
图 1:莫比乌斯带和覆盖它的五个开集.注意 $U1$(红色)和 $U2$(绿色)在图示中有“两块”区域,当然它们实际上是相连的.

2. 光滑流形

   考虑一个拓扑流形 $N$ 的两个图 $(U, \varphi)$ 和 $(V, \phi)$.如果 $U\cap V\not=\varnothing$,那么在 $U\cap V$ 中的每个点就有两套坐标;当然,也可以把 $\varphi\circ\phi^{-1}:\phi(V)\rightarrow\varphi(U)$ 和 $\phi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\rightarrow\phi(V)$ 看成 $\mathbb{R}^n$ 的开子集上的多元向量值函数.只要这个函数是可以任意进行微分的,就能方便我们研究.

定义 3 光滑函数

   设 $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$ 是一个 $n$ 元函数,如果 $\frac{\partial^{k_1+k_2+\cdots+k_n}}{\partial^{k_1}x^1\partial^{k_2}x^2\cdots\partial^{k_n}x^n} f$ 在一点 $x\in\mathbb{R}^n$ 处对于任意非负整数 $k_i$ 成立,即 $f$ 的任意阶偏导数存在,那么称 $f$ 在 $x$ 处光滑;如果 $f$ 处处光滑,也称它是一个光滑函数(smooth function),记为 $C^\infty$ 的函数.如果向量值函数的各分量函数都是光滑函数,那么也称这个向量值函数是一个光滑映射(smooth map)

   当一个函数的 $m$ 阶偏导数存在并且连续时,我们说它是 $C^m$ 的,因此任意阶偏导数存在时自然被记为 $C^\infty$.今后我们将 “光滑” 和 $C^\infty$ 视为同义词,不加区分.

   需要注意的是,光滑和解析不是等价的概念.解析函数一定光滑,但光滑函数不一定解析,一个典型例子是例 1 .可参考幂级数.

定义 4 相容

   考虑一个拓扑流形 $N$ 的两个图 $(U, \varphi)$ 和 $(V, \phi)$.如果 $U\cap V\not=\varnothing$,且 $\varphi\circ\phi^{-1}:\phi(V)\rightarrow\varphi(U)$ 和 $\phi\circ\varphi^{-1}:\varphi(U)\rightarrow\phi(V)$ 都是光滑映射,那么我们称这两个图是相容的(compatible)

   从拓扑流形例子可以看出,同一个拓扑空间 $N$ 可以有不同的图册,对应的虽然是同一空间,但按照定义却是不同流形.这意味着流形不仅仅是指空间 $N$ 本身,还指它的局部坐标系结构.这样把拓扑流形分类通常是无意义的,实际上我们需要一个更为统一的研究对象,那就是光滑流形.我们接连使用以下两个定义来定义光滑流形.

定义 5 极大图册

   设 $(N, \mathcal{A})$ 是一个拓扑流形.如果 $N$ 的任何一个图,满足 “只要它和 $\mathcal{A}$ 中所有图都相容,它就一定在 $\mathcal{A}$ 中”,那么就称 $\mathcal{A}$ 是一个极大图册.

定义 6 光滑流形

   拥有极大图册的拓扑流形,被称为一个光滑流形(smooth manifold).光滑流形的图册,被称为该流形上的一个微分结构(differential structure)

   将以上定义中的 $\mathbb{R}^n$ 替换为 $\mathbb{C}^n$,图册中的"光滑映射"替换为"复解析映射", 我们就得到复流形的定义:

定义 7 复流形

   将定义 1 中图的定义限定为到 $\mathbb{C}^n$ 中开集的同胚,图册的定义限定为 $\mathbb{C}^n$ 开集之间的复解析映射,那么定义 2 中所定义的实光滑流形就变成了复流形(complex manifold)

   这就是我们将来讨论的主要对象了.今后如无特别说明,本书中 “流形” 一词都特指 “光滑流形”.

   通常,为了方便,我们也会将流形 $(N, \mathcal{A})$ 简单记为 $N$.


1. ^ 拓扑空间如果有一个可数拓扑基(即一个拓扑基,包含最多 $\aleph_0$ 个基本开集),则称之为第二可数的.

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