子流形

             

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预备知识 流形

1. 子流形

定义 1 子流形

   设 $N$ 是一个 $n$ 维流形,$K$ 是它的一个子集.如果在 $K$ 上任意点 $x_0\in K\subseteq N$,都存在一个 $N$ 的图 $(U, \varphi)$,使得 $\varphi (U\cap K)$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中 “令后 $n-k$ 个坐标为 $0$” 所得的平面,其中为方便,记 $\varphi|_K:U\cap K\rightarrow\mathbb{R}^k$,且 $\forall x\in U\cap K, \varphi(x)=\varphi|_K(x)$,那么用各 $(U, \varphi|_K)$ 的图册可以构成集合 $K$ 上的拓扑流形,取该图册的极大图册来赋予 $K$ 所得的光滑流形,即为 $N$ 的子流形.

   简单来说,定义子流形的需要两步.第一步是利用原流形的 $N$ 图册来构建一个子流形 $K$ 的图册,具体方式见定义 1 ,其中使用的定义方式是为了方便讨论,并非唯一的方式;第二步是把这个图册扩充为极大图册.这样,配备了此极大图册的 $K$ 就是我们需要的子流形.

2. 等值面/水平集

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