幂级数 2

             

预备知识 泰勒级数

   在复数域上,形如

\begin{equation} \sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n \end{equation}
的级数称为幂级数(power series),这里 $c_n$ 皆为复数,未定元 $z$ 一般也视为复数.

1. 幂级数的收敛域

定理 1 

   如果由式 1 给出的幂级数在某点 $z_0\neq a$ 处收敛,那么它一定在开圆盘 $|z-a| < |z_0-a|$ 上绝对收敛且内闭一致收敛.

   证明很简单:如果 $\sum_{n=0}^\infty c_n(z-a)^n$ 在 $z=z_0$ 时收敛,那么 $c_n(z_0-a)^n\to0$,从而有一 $M$ 使得 $|c_n(z_0-a)^n|\leq M$ 对任何 $n$ 都成立.故对于任何固定的 $0 < q<1$,当 $|z-a| < q|z_0-a|$ 时就有 $$ \begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty |c_n(z-a)^n| &=\sum_{n=0}^\infty |c_n(z_0-a)^n|\frac{|z-a|^n}{|z_0-a|^n}\\ &<\sum_{n=0}^\infty Mq^n. \end{aligned} $$ 于是幂级数诸项绝对值由收敛的几何级数控制.

   由此可见,式 1 给出的幂级数的收敛域或者只是一个点 $a$,或者至少包含某个以 $a$ 为圆心的开圆盘.这样的开圆盘中最大者叫做幂级数的收敛圆(disk of convergence),其半径称为收敛半径(radius of convergence).幂级数的收敛半径由柯西-阿达玛公式给出.在收敛圆的边界上,无法作出幂级数是否收敛的一般论断,例如幂级数 $\sum_{n=0}^\infty z^n$ 在点 $z=\pm1$ 处皆发散,但其和函数 $1/(1-z)$ 在 $z=1$ 时为奇异,在 $z=-1$ 时表现正常.

2. 幂级数的运算

   幂级数的四则运算与一般级数的四则运算无异.

定理 2 幂级数的微分与积分

   幂级数在进行逐项微分与逐项积分后,其收敛圆不变.因此,幂级数的和函数可以在收敛圆内逐项微分,也可以逐项积分.幂级数的和函数在收敛圆内是无穷可微的.

   这是柯西-阿达玛公式的直接推论.

3. 解析函数

   由收敛幂级数表示的复变函数称为解析函数(analytic function).它与用复可微性定义的全纯函数(holomorphic function) 是等价的对象,尽管这个事实的证明并不平凡(需要用到柯西积分公式).如果限制自变量取实数,那么得到的是实解析函数(real analytic function).等价地,实解析函数是泰勒级数收敛到其自身的函数.有如下定理:

定理 3 

   开区间 $I$ 上的实函数 $f$ 为解析函数,当且仅当对于 $I$ 的任何闭子区间 $K$,都有常数 $M_K$ 使得 $$ \max_{x\in K}|f^{(n)}(x)|\leq n!M_K^n. $$

   证明是直接的计算:如果 $f$ 满足此条件,那么可以估算出其泰勒展开式的余项趋于零; 反过来,如果 $f$ 由收敛幂级数表征,那么可以估计其逐项微分得到的幂级数的上界而得到 $f$ 的高阶导数所满足的条件.

   这个定理说明:实解析函数的高阶导数随着其阶数的提升不能增长得太快.举例来说,函数 $f(x)=e^{-1/x^2}$ 在任何不包含原点的开区间上是解析函数; 在原点处它的各阶导数都是零,但是对于任何正数 $M$ (不管有多么大),都可以找到趋于零的序列 $x_n$,使得对于充分大的 $n$ 有 $$ |f^{(n)}(x_n)|>n!M^n. $$ 因此 $f$ 在任何包含原点的开区间上都不是解析函数.用复变函数论的语言,$z=0$ 是函数 $e^{-1/z^2}$ 的本性奇点.

   由此可见,泰勒展开式收敛到其自身的函数是非常特殊的.

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