直纹面(古典微分几何)

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 高斯曲率和平均曲率

   直纹面可以说是直线和曲面的完美结合体,作为一个曲面,即使高斯曲率不为零,也能在任何一个点处找到一条直线,这条直线是曲面的子集。直纹面可以通过让一条直线在空间中扫过来构造,不过我们在这儿肯定是要给出准确的数学描述,以方便深入研究。

定义 1 直纹面

   空间中的一条直线可以由两个向量组成,一个位置向量 α(t) 和一个方向向量 ω(t)。不同的 t 对应不同的直线,而每个 t 对应的直线可以表示为 {α(t)+vω(t)|vR}。随着参数 t 变化,直线的位置和方向都连续变化,也就是说,αω 随着 t 连续变化。由此容易想到,可以使用两个参数来描述一个直纹面,将其局部坐标系写成如下形式:

(1)x(t,v)=α(t)+ω(t)v .

   这里的两个参数确定直纹面上一个点的过程,可以理解为 t 确定了是在哪一条直线上,而 v 确定了是在直线上的哪个位置。

   不失一般性地,为了方便,我们不妨设方向向量 ω(t) 恒为单位向量。这样的设置能保证 ω(t)ω(t)=0 恒成立。当 ω(t) 为零的时候,得到的直纹面就被称为柱形面(cylindrical surface);当 ω(t) 不为零的时候,意味着方向必然在变,得到的就是非柱形面(noncylindrical surface)

   直纹面上的任意一条曲线 β(t),都可以用一个标量函数u(t) 来唯一表示:

(2)β(t)=α(t)+ω(t)u(t) .

   直纹面上每个点处都可以画出一条直线,作为曲率为零的曲率曲线。我们现在关心的是曲率不为零的曲率曲线怎么求。

   设这个曲线是 β(t)=α(t)+ω(t)u(t)。由于形状算子是切空间中的线性映射,而主曲率可以视为形状算子的特征值,不属于同一特征值的向量彼此垂直,因此 β(t) 的切向量必然处处和直线部分垂直。也就是说,我们要求有

(3)β(t)ω(t)=0 
恒成立。

   代入计算并注意到 ω(t)ω(t)=0,可得 u 的表达式

(4)u=αωω2 ,
由此唯一确定了 β 的表达式。

   值得一提的是,虽然 u 的表达式里出现了位置向量 α,而同一个直纹面可以由不同的位置向量移动过程来构造,但位置向量的选择并不会影响 u 的表达式。


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