光滑映射(欧几里得空间)

             

预备知识 线性映射,矢量的导数,欧几里得空间

   欧几里得空间作为线性空间,彼此之间可以进行线性映射;同时,欧几里得空间中可以进行微分操作,因此我们还可以研究这些线性映射的微积分性质.本节讨论一类可以无穷次求(偏)导的线性映射,称为光滑映射.

   为了讨论光滑映射,我们首先引入光滑函数的概念.

1. 光滑函数

定义 1 实数集上的光滑函数

   给定函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$,如果在某一点 $x_0\in\mathbb{R}$,对于任意的 $k\in\mathbb{Z}^+$,存在 $f$ 的 $k$ 阶导数 $f^{(k)}(x_0)$,则称 $f$ 是在点 $x_0$ 处任意阶可导的,或 $C^\infty$ 的,或光滑的(smooth).今后,我们将术语 $C^{\infty}$ 和光滑看成完全等价的.如果 $f$ 处处光滑,则称其本身是一个光滑函数

   光滑函数的概念可以通过偏导数来推广到多自变量的情况.

定义 2 多元光滑函数

   给定函数 $f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}$,如果在某一点 $(x_0^1, x_0^2, \cdots x_0^n) \in\mathbb{R}^n$,对于任意的 $k\in\mathbb{Z}^+$,存在 $f$ 的 $k$ 阶偏导数$$\frac{\partial^k}{\partial x^{i_1}\partial x^{i_2}\cdots\partial x^{i_k}}f(x_0^1, x_0^2, \cdots x_0^n)$$其中各 $i_j$ 都是 $1$ 到 $n$ 的任意整数,可以有重复;则称 $f$ 在 $(x_0^1, x_0^2, \cdots x_0^n)$ 处光滑.如果 $f$ 处处光滑,则简称 $f$光滑

2. 光滑映射

   两个欧几里得空间之间的线性映射 $f:\mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^n$,可以看成是 $m$ 个自变量的 $n$ 维向量值函数;进一步,也可以把向量看成 $n$ 个标量,也就是说把这个线性映射看成 $n$ 个线性函数组合在一起.

定义 3 光滑映射

   设 $f:\mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^n$ 是欧几里得空间之间的线性映射.对于 $\forall \boldsymbol{\mathbf{x_0}} \in \mathbb{R}^m$,记 $f( \boldsymbol{\mathbf{x_0}} )=(f_1( \boldsymbol{\mathbf{x_0}} ), f_2( \boldsymbol{\mathbf{x_0}} ),\cdots, f_n( \boldsymbol{\mathbf{x_0}} ))$.如果每一个 $f_i$ 都是光滑函数,则称 $f$ 是一个光滑映射(smooth map)

3. 光滑函数和解析函数的比较

   解析函数是一种性质良好的函数,它可以表示成幂级数的形式.如果一个函数解析,那么我们总可以在任何点处对它进行泰勒展开,展开结果就是其幂级数表达.能进行泰勒展开固然需要可以无穷求导,也就是说解析函数必然是光滑的;但反过来却不成立,有的光滑函数就不解析.

例 1 

   考虑函数 $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$,其中当 $x > 0$ 时 $f(x)=\exp{(-1/x)}$,当 $x\leq 0$ 时 $f(x)=0$.可以验证,$f$ 处处光滑,但是它在 $x=0$ 处的泰勒展开是常数 $0$,而它显然不是一个常函数,因此 $f$ 在 $x=0$ 处不解析.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利