乘积空间

                     

贡献者: 叶月2_; Giacomo

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预备知识 直和与补空间(线性空间)

   我们可以在向量空间的笛卡尔积上规定向量的数乘和加法,使得它也是一个向量空间,称为乘积空间

定义 1 乘积空间

   给定域 F 上的线性空间 UV,定义 U×V={(u,v)|uU,vV} 上的数乘和加法运算为:

(1){a(u,v)=(au,av),aF(u1,v1)+(u2,v2)=(u1+u2,v1+v2) 

   根据该定义,我们容易验证积空间在数乘和加法下封闭。

1. 乘积空间的维度

   若令 {xi}i=1r{yi}i=1s 分别为 UV 的基,我们也容易验证 {(xi,0)}i=1r{(0,yi)}i=1s 为乘积空间的一组基。

未完成:证明

定理 1 乘积空间的维度

   给定域 F 上的线性空间 UVdim(U×V)=dim(U)+dim(V) .

2. 乘积空间与直和空间

   对于乘积空间 U×V,我们定义两个子空间 U~:=U×{0},V~:={0}×V, 

   可以证明 U~V~=U×V

   这也是为什么乘积空间也被称为外直和的原因。

  

未完成:反过来我们也可以从一个向量空间的两个子空间开始解释这个现象


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