无穷小、无穷大和阶数（极简微积分）
贡献者： addis
1. 无穷小、无穷大
首先，我们要严格区分一个给定的实数和无穷大或无穷小之间的区别。一个给定的实数是指一个具体的值，例如 $3.2 \times 10^{-100} $ 或者 $1.6 \times 10^{1000} $。无论一个确定的实数多么大或多么小，都不能说它是无穷。
无穷小是一个过程，具体来在求函数 $f(x)$ 的极限时，如果
\begin{equation}
\lim_{x\to \square} f(x) = 0~,
\end{equation}
$f(x)$ 就可以叫做无穷小。这里的 $\square$ 代表一个实数或者 $\pm\infty$。如果我们说一个符号或者函数是无穷小，那么就暗含者我们在讨论某个
式 1 这样的极限。
反之，如果（定义见式 10 ）
\begin{equation}
\lim_{x\to \square} f(x) = \pm\infty~,
\end{equation}
就说 $f(x)$ 是无穷大。
习题 1
说明以下极限中的表达式是无穷小（即极限等于 0）
- $\lim\limits_{x\to 0} x$
- $\lim\limits_{x\to 0} x^n$ 其中 $n$ 是一个正整数
- $\lim\limits_{x\to 0} \sqrt{x}$
- $\lim\limits_{x\to 0} \sin x$
- $\lim\limits_{x\to \infty} 1/x$
如果把以上的 $\lim\limits_{x\to 0}$ 和 $\lim\limits_{x\to \infty}$ 互换，哪些会变为无穷大？
2. 高阶无穷小、高阶无穷大
在某个极限 $\lim\limits_{x\to \square}$ 的语境下，如果 $f(x)$ 是无穷小，我们可以定义它的阶数。
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