无穷小、无穷大和阶数（极简微积分）

贡献者： addis

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1. 无穷小、无穷大

　　首先，我们要严格区分一个给定的实数和无穷大或无穷小之间的区别。一个给定的实数是指一个具体的值，例如 $3.2 \times 10^{- 100}$ 或者 $1.6 \times 10^{1000}$ 。无论一个确定的实数多么大或多么小，都不能说它是无穷。

　　无穷小是一个过程，具体来在求函数 $f (x)$ 的极限时，如果

\begin{matrix} (1) & lim_{x \to ◻} f (x) = 0, \end{matrix}

f (x)

就可以叫做无穷小。这里的

◻

代表一个实数或者

\pm \infty

。如果我们说一个符号或者函数是无穷小，那么就暗含者我们在讨论某个式 1 这样的极限。

　　反之，如果（定义见式 10 ）

\begin{matrix} (2) & lim_{x \to ◻} f (x) = \pm \infty, \end{matrix}

就说

f (x)

是无穷大。

习题 1　

　　说明以下极限中的表达式是无穷小（即极限等于 0）

$lim_{x \to 0} x$
$lim_{x \to 0} x^{n}$ 其中 $n$ 是一个正整数
$lim_{x \to 0} \sqrt{x}$
$lim_{x \to 0} \sin x$
$lim_{x \to \infty} 1 / x$

　　如果把以上的 $lim_{x \to 0}$ 和 $lim_{x \to \infty}$ 互换，哪些会变为无穷大？

2. 高阶无穷小、高阶无穷大

　　在某个极限 $lim_{x \to ◻}$ 的语境下，如果 $f (x)$ 是无穷小，我们可以定义它的阶数。

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