拉普拉斯方法

             

预备知识 极值,积分换元,高斯积分,渐近展开, Gamma 函数

   在分析数学中,拉普拉斯渐近方法是一种计算含参数积分的渐近展开式的办法.所考察的积分一般具有如下形式:

\begin{equation} L(s)=\int_a^b \mathrm{e} ^{-s\Phi(x)}\psi(x)\, \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
其中 $s$ 是正的实参数,考察当 $s\to+\infty$ 时积分的变化趋势.拉普拉斯方法背后的想法很简单:如果函数 $\Phi$ 在某点处达到极小值,那么当 $s$ 充分大时,只有极小值点附近的贡献才比较可观,其余部分相比起来都要小得多.

1. Watson 引理

   拉普拉斯方法基于 Watson 引理.它本身也是很有用的.

引理 1 Watson 引理

   设函数 $\phi:X\to Y$ 在 $\mathbb{R}^+$ 上连续,序列 $\left\{\lambda_n\right\}_0^\infty\left(\lambda_n > 0\right)$ 单调递增,且存在 $\delta$ 右邻域 $B_{+}(0,\delta)\;(0 < \delta < \pi/2)$,使得

\begin{equation} \phi\left(t\right)\sim\sum_{n=0}^{\infty}{c_nt^{\lambda_n-1}}\quad t\to0 \end{equation}

   若有常数 $c > 0$,满足 $\phi\left(t\right)=O\left( \mathrm{e} ^{ct}\right),t\to+\infty$,则当 $s\to+\infty,z\in{\left\{z:\left|\arg{z}\right|\le\pi/2-\delta\right\}}$ 时,有

\begin{equation} \int_{\mathbb{R}^+} \mathrm{e} ^{-zt}\phi(t) \,\mathrm{d}{t} \sim\sum_{n=0}^{\infty}{c_n}\frac{\Gamma(\lambda_n)}{z^{\lambda_n}} \end{equation}

   证: 由 Laplace 的理论可知, \[ F\left(z\right)=\int_{\mathbb{R}^+}{ \mathrm{e} ^{-zt}\phi\left(t\right)} \,\mathrm{d}{t} \] 若函数 $\phi$ 满足定理中提到的三个条件,则 $F(z)$ 变换对于 $\operatorname{Re} z > c$ 是存在的.即:当 $\operatorname{Re} z > c$ 时,积分收敛.注意 式 2 意味着存在正整数 $N$,当 $n > N$ 时,对一切的 $t\in B_{+}(0,\delta)$,总有 \[ \left|\phi\left(t\right)-\sum_{n=0}^{N-1}{c_nt^{\lambda_n-1}}\right|\le Mt^{\lambda_N-1} \] 其中 $M > 0$ 且为常数.同时 式 3 表明当时,存在正整数 $N$,当 $n > N$ 时,对一切的 $t\in B_{+}(0,\delta)$,总有 \[ \left|\phi\left(t\right)-\sum_{n=0}^{N-1}{c_nt^{\lambda_n-1}}\right|\le K \mathrm{e} ^{ct}t^{\lambda_N-1} \] 其中 $K > 0$ 且为常数.于是就有 \[ \left|\int_{\mathbb{R}^+}{ \mathrm{e} ^{-zt}\phi\left(t\right)} \,\mathrm{d}{t} -\sum_{n=0}^{N-1}{c_n\int_{\mathbb{R}^+}{ \mathrm{e} ^{-zt}t^{\lambda_n-1}} \,\mathrm{d}{t} }\right| \le K\int_{\mathbb{R}^+} \mathrm{e} ^{[-\operatorname{Re}z-c]t}t^{\lambda_N-1} \,\mathrm{d}{t} \] 注意到当 $\operatorname{Re}z > 0$ 时 \[ \int_{\mathbb{R}^+}{ \mathrm{e} ^{-zt}t^{\lambda_n-1}} \,\mathrm{d}{t} =\frac{1}{z^{\lambda_n}}\int_{\mathbb{R}^+}{ \mathrm{e} ^{-u}u^{\lambda_n-1}} \,\mathrm{d}{u} =\frac{\Gamma\left(\lambda_n\right)}{z^{\lambda_n}} \] 因此 \[ \left|F(z)-\sum_{n=0}^{N-1}{c_n\frac{\Gamma\left(\lambda_n\right)}{z^{\lambda_n}}}\right|\le K {\Gamma(\lambda_{N})\over \operatorname{[Re}z-c]^{\lambda_N}} =K{\Gamma(\lambda_{N})\over |z|^{\lambda_N}}\left(|z|\over \operatorname{Re}z-c\right)^{\lambda_N} \] 由于 $z\in{\left\{z:\left|\arg{z}\right|\le\pi/2-\delta\right\}}$,于是 $\operatorname{Re}z\geq |z|\sin \delta$.这表明当 $\left|z\right|$ 足够大时,$\operatorname{Re}z-c\geqslant1/2|z|\sin \delta$.因此 \[ F\left(z\right)-\sum_{n=0}^{N-1}{c_n\frac{\Gamma\left(\lambda_n\right)}{z^{\lambda_n}}}=O\left(z^{-\lambda_N}\right) \] 这就证明了 Watson's 引理.

2. 拉普拉斯方法

   拉普拉斯方法是将 Watson 引理用于式 1 得到的.作出如下假设:

  1. 函数 $\Phi,\psi:X\to Y$ 都是光滑函数.
  2. 函数 $\Phi(x)$ 在积分区间 $I=[a,b]$ 内部仅有一个严格的极小值点 $x_0\in(a,b)$,同时 $\Phi''(x_0) > 0$,且 $x_0$ 是整个区间上的最小值点.
  3. 式 1 对于 $s=s_0$ 绝对收敛.
图
图 1:函数 $\Phi(x)$ 示意图

   于是 $\Phi'(x_0)=0$.由泰勒公式可知,存在正数 $\delta > 0$,使得对于任意的 $x\in B(x_0,\delta)$ \[ \Phi(x)=\Phi(x_0)+\frac{1}{2}\Phi''(x_0)(x-x_0)^2+\varphi(x)(x-x_0)^3 \]

   其中存在正数 $M > 0$,使得函数 $|\varphi|\leq M$.当 $s$ 充分大时,邻域 $B(x_0,\delta)$ 以外的积分的贡献比 $s$ 的任何负幂次衰减得都快:根据假定 2,当 $x\in I\setminus B(x_0,\delta)$ 时, 存在正数 $\varepsilon_0 > 0$ 使得 $\Phi(x) > \Phi(x_0)+\varepsilon_0$,从而邻域 $B(x_0,\delta)$ 之外的积分估计为 \[ \left|\int_{I\setminus B(x_0,\delta)}\psi(x) \mathrm{e} ^{-s\Phi(x)} \,\mathrm{d}{x} \right| \leq \mathrm{e} ^{-\epsilon_0(s-s_0)}\int_I|\psi(x)| \mathrm{e} ^{-s_0\Phi(x)} \,\mathrm{d}{x} \leq \mathrm{e} ^{-s_0\Phi(x_0)} \mathrm{e} ^{-\varepsilon_0s}\int_{I}|\psi(x)| \,\mathrm{d}{x} \] 而在邻域 $B(x_0,\delta)$ 内,可作如下换元:$y^2=\Phi(x)-\Phi(x_0)$,即 \[ y=\sqrt{\frac{\Phi''(x_0)}{2}}(x-x_0)\left(1+\frac{2}{\Phi''(x_0)}(x-x_0)\varphi(x)\right)^{1/2}. \] 令 $\alpha < \beta$ 分别等于 $\pm\sqrt{\Phi(x_0\pm\delta)-\Phi(x_0)}$,又设当 $y\to0$ 时,函数 $\tilde{\psi}$ 有泰勒展开

\begin{equation} \tilde{\psi}(y):=\psi(x(y))\frac{ \,\mathrm{d}{}} { \,\mathrm{d}{x} }[x(y)]\sim c_0+c_1y+\cdots \quad \end{equation}
(这里显然有 $c_0=\psi(x_0)\sqrt{2/\Phi''(x_0)}$),则当 $s\to+\infty$ $$ \begin{aligned} \int_{B(x_0,\delta)}\psi(x) \mathrm{e} ^{-s\Phi(x)}\, \,\mathrm{d}{x} &= \mathrm{e} ^{-s\Phi(x_0)}\int_{\alpha}^{\beta}\tilde \psi(y) \mathrm{e} ^{-sy^2}\, \,\mathrm{d}{y} \\ &\sim \mathrm{e} ^{-s\Phi(x_0)}\int_{0}^{\varepsilon_0}[\tilde \psi(y)+\tilde \psi(-y)] \mathrm{e} ^{-sy^2}\, \,\mathrm{d}{y} \end{aligned} $$ 应用 Watson 引理,最后终于得到式 1 当 $s\to+\infty$ 时的渐近展开:
\begin{equation} L(s)\sim \mathrm{e} ^{-s\Phi(x_0)}\sum_{n=0}^\infty c_{2n}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)s^{-n-1/2} \end{equation}
其中 $c_n$ 由式 4 给出.特别地,由于 $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$,式 1 渐近公式的首项是 \[ L(s)= \mathrm{e} ^{-s\Phi(x_0)}\left(As^{-1/2}+O(s^{-1/2})\right)\quad s\to+\infty \] 其中 \[ A=\sqrt{2\pi}\frac{\psi(x_0)}{(\Phi''(x_0))^{1/2}} \]

3. 斯特林公式

   拉普拉斯方法最基本的应用就是导出 $\Gamma$ 函数的斯特林公式(Stirling formula).按照定义, \[ \Gamma(s+1) =\int_0^\infty x^s \mathrm{e} ^{-x} \,\mathrm{d}{x} =e^{(s+1)\log s}\int_0^\infty \mathrm{e} ^{-s(x-\log x)} \,\mathrm{d}{x} . \] 最后一步换元 $x\mapsto sx$.最后这个积分刚好符合上一小节所要求的三条假设:这里 $\psi(x)\equiv1$,$\Phi(x)=x-\log x$.于是 $x=1$ 是 $\Phi(x)$ 唯一的极小值点,同时也是唯一的最小值点.代入式 5 ,就得到渐近公式 \[ \Gamma(s+1)\sim\sqrt{2\pi s}\left(\frac{s}{ \mathrm{e} }\right)^s\quad s\to+\infty \] 式 5 还给出了更精细的渐近级数: \[ \Gamma(s+1) =\sqrt{2\pi s}\left({s\over \mathrm{e} }\right)^s \left( 1 +{1\over12s} +{1\over288 s^2} -{139\over51840 s^3} -{571\over2488320 s^4} + \cdots \right)\quad s\to+\infty \] 毫无疑问这是一个可以对大的 $n$ 来近似计算 $n!$ 的公式.

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