高斯积分

                     

贡献者: addis

预备知识 极坐标中的二重积分

1. 第一个高斯积分

   我们先来看一个重要的例子,再讲一般的高斯积分。

   以下定积分被定义为一个高斯积分

\begin{equation} I = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} ~. \end{equation}

   求解高斯积分最简单的方法是在极坐标中求解以下面积分

\begin{equation} I^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-y^2} \,\mathrm{d}{y} =\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-(x^2 + y^2)} \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} ~. \end{equation}
在极坐标系中,$r^2 = x^2 + y^2$,上式变为
\begin{equation} I^2 = \int_0^{2\pi} \int_0^{+\infty} \mathrm{e} ^{-r^2} r \,\mathrm{d}{r} \,\mathrm{d}{\theta} = 2\pi \int_0^{+\infty} r \mathrm{e} ^{-r^2} \,\mathrm{d}{r} ~. \end{equation}
用换元积分法,令 $t = r^2$,$ \,\mathrm{d}{t} = 2r \,\mathrm{d}{r} $,得
\begin{equation} I^2 = \pi \int_0^{+\infty} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = \pi \left. (- \mathrm{e} ^{-t}) \right\rvert _0^{+\infty} = \pi~, \end{equation}
最后开方即可得到高斯积分为
\begin{equation} I = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\pi}~. \end{equation}

   更一般地,由换元积分法式 5 可得

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-a x^2} \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \qquad (a > 0)~. \end{equation}

   如果拓展到复数域中,还可以证明(未完成)

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} \exp\left(-ax^2 + bx\right) \,\mathrm{d}{x} = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp\left(\frac{b^2}{4a}\right) \qquad ( \operatorname{Re} [a] > 0)~. \end{equation}

2. 一般的高斯积分

   一般来说,高斯积分指的是形如

\begin{equation} G(n)=\int_{-\infty}^{+\infty} x^n \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} ~ \end{equation}
的定积分。

   考虑到

\begin{equation} \int x \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} =-\frac{1}{2} \mathrm{e} ^{-x^2}~. \end{equation}
我们可以利用分部积分法给 $G(n)$ 降阶:
\begin{equation} \begin{aligned} G(n)&=\int_{-\infty}^{+\infty} x^{n-1}\cdot x \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} \\ &=x^{n-1}\cdot\left.\left(-\frac{1}{2} \mathrm{e} ^{-x^2}\right)\right|_{-\infty}^{+\infty}+\frac{n-1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} x^{n-2} \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} \\ &=\frac{n-1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} x^{n-2} \mathrm{e} ^{-x^2} \,\mathrm{d}{x} \\ &=\frac{n-1}{2}G(n-2)~. \end{aligned} \end{equation}

   因此,我们只要能计算出 $G(0)$ 和 $G(1)$,就可以利用式 10 推出所有的高斯积分了。

   $G(0)$ 就是上一小节所说的 $I=\sqrt{\pi}$。$G(1)$ 就是式 9 所计算的 $-\frac{1}{2} \mathrm{e} ^{-x^2}$。


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