高斯积分

                     

贡献者: addis

预备知识 极坐标中的二重积分

1. 第一个高斯积分

   我们先来看一个重要的例子,再讲一般的高斯积分。

   以下定积分被定义为一个高斯积分

(1)I=+ex2dx .

   求解高斯积分最简单的方法是在极坐标中求解以下面积分

(2)I2=+ex2dx+ey2dy=++e(x2+y2)dxdy .
在极坐标系中,r2=x2+y2,上式变为
(3)I2=02π0+er2rdrdθ=2π0+rer2dr .
用换元积分法,令 t=r2dt=2rdr,得
(4)I2=π0+etdt=π(et)|0+=π ,
最后开方即可得到高斯积分为
(5)I=+ex2dx=π .

   更一般地,由换元积分法式 5 可得

(6)+eax2dx=πa(a>0) .

   如果拓展到复数域中,还可以证明(未完成)

(7)+exp(ax2+bx)dx=πaexp(b24a)(Re[a]>0) .

2. 一般的高斯积分

   一般来说,高斯积分指的是形如

(8)G(n)=+xnex2dx 
的定积分。

   考虑到

(9)xex2dx=12ex2 .
我们可以利用分部积分法G(n) 降阶:
(10)G(n)=+xn1xex2dx=xn1(12ex2)|++n12+xn2ex2dx=n12+xn2ex2dx=n12G(n2) .

   因此,我们只要能计算出 G(0)G(1),就可以利用式 10 推出所有的高斯积分了。

   G(0) 就是上一小节所说的 I=πG(1) 就是式 9 所计算的 12ex2


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