渐近展开

             

预备知识 泰勒级数

1. 定义辨析

   在数学中,渐近展开(asymptotic expansion) 是用一列较简单的函数来逐次逼近给定的函数的办法.它的形式定义如下:

定义 1 渐近展开

   设自变量 $x$ 趋于某点 $a$ (有限或无限) 时,函数序列 $\{\phi_{n}(x)\}$ 满足 $$ \phi_{n+1}(x)=o(\phi_n(x)),\,x\to a. $$ 则对于给定的函数 $f$,称 $f(x)$ 在 $x\to a$ 时有渐近展开式

\begin{equation} f(x)\simeq c_0\phi_0(x)+c_1\phi_1(x)+...+c_n\phi_n(x)+...,\,x\to a \end{equation}
是指:任何给定的 $n$,皆有
\begin{equation} f(x)=c_0\phi_0(x)+c_1\phi_1(x)+...+c_n\phi_n(x)+o(\phi_n(x)),\,x\to a. \end{equation}
式 1 中的级数称为 $x\to a$ 时 $f(x)$ 的渐近级数.

   一般常用的序列是单项式序列或者一般的幂函数序列.渐近展开的四则运算性质是容易验证的.

   有如下注意事项:

  1. 一般来说,从渐近展开不能将函数还原:当 $x\to0$ 时,函数 $f(x)\equiv 0$ 和函数 $g(x)= \mathrm{e} ^{-1/x^2}$ 都有渐近展开 $$ 0+0x+0x^2+... $$
  2. 渐近级数可以收敛也可以发散.式 1 只是一个形式等式,它的真正含义是式 2 , 而式 2 只表示对于固定的 $n$,当 $x\to a$ 时,$f(x)$ 与渐近级数的第 $n$ 项部分和相差一个高阶无穷小.
  3. 通过直接计算,可以看出渐近展开式可以逐项积分.但一般来说渐近展开式不可以逐项微分.例如,$f(x)=e^{-x} \sin\left(e^{2x}\right) $ 当 $x\to+\infty$ 时趋于零,但它的导数却根本没有极限.

2. 基本例子

例 1 泰勒展开

   泰勒展开就是渐近展开的例子.泰勒级数不必收敛,即便收敛也不必收敛到函数本身.在函数 $ \mathrm{e} ^{-1/x^2}$ 的例子中,原点处的泰勒级数与函数本身的差永远是函数本身,但显然这个差在 $x\to0$ 时衰减得比 $x$ 的任意正幂都快.

例 2 发散级数部分和

   如果 $f(x)$ 在 $x\geq1$ 时是单调不减函数,那么有$$ \sum_{k=1}^nf(k)=\int_1^n f(x)dx+O(f(n))+O(1),\,n\to\infty. $$ 例如,如果取 $f(x)=1/x$,那么有熟知的公式 $$ \sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=\log n+O(1). $$ 实际上当然还可以借助更复杂的分析技巧写得再精确些,例如我们知道 $-\log n+\sum_{k=1}^n1/k$ 的极限是存在的,也就是欧拉常数 $\gamma=0.57721566...$.更精细的渐近展开式可以由欧拉-麦克劳林公式给出.

3. 欧拉的例子

   考察非初等的函数 $$ f(x)=\int_0^\infty\frac{e^{-t}}{x+t}dt $$ 当 $x\to+\infty$ 时的行为.欧拉将 $1/(x+t)$ 展开为几何级数 $ \sum_{k=0}^\infty {(-1)^kt^k}/{x^{k+1}}, $ 代入并计算得到如下的形式等式:

\begin{equation} f(x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kk!}{x^{k+1}}. \end{equation}
当然,欧拉的时代还没有收敛性的观念.式 3 右边的级数对于任何 $x$ 都不收敛,之所以出现这样的问题是因为 $t$ 的几何级数收敛半径是有限的,于是将几何级数逐项积分的计算违反分析学的准则.

   然而,从今天的观点看,这个等式仍然在渐近展开的意义下成立.实际上,通过换元可得 $$ f(x)=e^{x}\int_x^\infty \frac{e^{-t}}{t}dt. $$ 反复进行分部积分,得到 $$ f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kk!}{x^{k+1}} +(n+1)!e^x\int_x^\infty\frac{e^{-t}}{t^{n+2}}dt. $$ 最后的这个积分可估算如下:当 $t > x$ 时 $1/t^{n+2} < 1/x^{n+2}$,于是

\begin{equation} \int_x^\infty\frac{e^{-t}}{t^{n+2}}dt \leq\frac{1}{x^{n+2}}\int_x^\infty e^{-t}dt =\frac{e^{-x}}{x^{n+2}}. \end{equation}
这样就有 $$ f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^kk!}{x^{k+1}} +O\left(\frac{1}{x^{n+2}}\right),\,x\to+\infty. $$ 这表示式 3 在渐近展开的意义下成立.

   特别地,这个渐近级数尽管发散,但对于大的 $x$ 却可以很好地计算 $f(x)$ 的值,因为根据估计式 4 ,$f(x)$ 同渐近级数 $n$ 项部分和之差的绝对值不超过 $$ \frac{(n+1)!}{x^{n+2}}, $$ 而对于大的 $x$,当 $n < x$ 时这个误差项随着 $n$ 的增大而减小,只有当 $n$ 大致超过 $x$ 时误差才会重新开始增大.因此,如果将渐近级数截断到大约 $x$ 项,则部分和与 $f(x)$ 之差将不超过 $1/2^x$.对于大的 $x$ 来说,这足以给出相当精确的近似值.

   由这个例子可以看出渐近展开的意义:可以用一个发散级数去很好地逼近一个收敛的对象.

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