Gamma 函数

             

预备知识 定积分

  1$\Gamma$ 函数(gamma function)可以看成是阶乘在实数或复数域的拓展,该函数有多种定义方法,这里先讨论实数域上的定积分定义.该方法可以定义 $(-1, \infty)$ 区间的阶乘

\begin{equation} x! \equiv \Gamma (x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} \qquad (x > -1) \end{equation}
即 $\Gamma$ 函数在区间 $(0,\infty)$ 被定义为
\begin{equation} \Gamma(x) \equiv \int_0^{+\infty} t^{x-1} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} \qquad (x > 0) \end{equation}
可以证明新定义的阶乘的递推关系仍为
\begin{equation} (x+1)!=(x+1)x! \qquad (x > -1) \end{equation}
且 $0! = 1$.所以当 $x$ 取正整数 $N$ 时,式 1 的结果仍然是熟悉的 $N! = N(N-1)\dots, 1$.

   另外能证明 $(-1/2)!=\sqrt{\pi}$,由此我们可以直接写出半整数的阶乘为

\begin{equation} \frac{N}{2}! = \frac{N}{2} \left(\frac{N}{2}-1 \right) \dots \frac12 \sqrt{\pi} \qquad (N > 0) \end{equation}

1. 推导

预备知识 分部积分法

   首先 当 $x \leqslant 0$ 时该积分在 $x=0$ 处不收敛,以下仅讨论 $x$ 为正实数的情况2

   我们现在验证当 $x$ 取正整数时,新定义的阶乘 $x! = \Gamma(x+1)$ 与原来的定义 $x! = x(x-1)\dots 1$ 相同.首先

\begin{equation} 0! = \Gamma(1) = \int_0^{+\infty} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = 0 - (-1) = 1 \end{equation}

   使用分部积分法,令 $t^x$ 为 “求导项”,$ \mathrm{e} ^{-t}$ 为 “积分项”,可得递推公式3式 3

\begin{equation} \begin{aligned} x! &= \Gamma(x+1) = \int_0^{+\infty} t^x \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = - \left. t^x \mathrm{e} ^{-t} \right\rvert _{0}^{+\infty} + \int_0^{+\infty} x t^{x-1} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} \\ &= x\int_0^{+\infty} t^{x-1} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = x\Gamma (x) = x(x-1)! \end{aligned} \end{equation}
由递推式 6 和初值式 5 ,对任意正整数 $n$ 有
\begin{equation} n! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)!... = n(n-1)...1 \end{equation}

   再来看半整数的阶乘,我们讨论范围内的最小半整数的阶乘为

\begin{equation} \left(-\frac12 \right) ! = \int_0^{+\infty} \frac{ \mathrm{e} ^{-x}}{\sqrt x} \,\mathrm{d}{x} = 2\int_0^{+\infty} \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} = \sqrt{\pi} \end{equation}
其中使用了换元法令 $x = t^2$ 将定积分变为高斯积分

2. 渐近公式

   对于大的 $x$, 有斯特林公式(Stirling formula): $$ \Gamma(x+1) =\sqrt{2\pi x}\left({x\over \mathrm{e} }\right)^x \left( 1 +{1\over12x} +{1\over288x^2} -{139\over51840x^3} -{571\over2488320x^4} + \cdots \right). $$ 这是一个渐近展开,右边的级数是发散的.它的推导可见拉普拉斯方法

  

未完成:以下为草稿

定义 1 

   ($\Gamma$ 函数的定义)由积分

\begin{equation} \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t \end{equation}
定义的函数称为 $\Gamma$ 函数.

   由 Morera 定理, 由式 9 式所定义的函数 $\Gamma(z)$ 在 $\mathrm{Re}(z) > 0$ 是解析的,且 \[ D(\Gamma(z))=\int_{0}^{\infty}e^{-t}t^{z-1}\log t\mathrm{d}t\qquad\mathrm{Re}(z)>0 \] 由分部积分法 \[ \Gamma(z+1)=z\Gamma(z+1) \] 重复利用分部积分法得到

\begin{equation} \Gamma(z+n)=\Gamma(z)\prod_{k=0}^{n-1}(z+k){Gamma(z+n)}\quad(n\in{\N^{+}}) \end{equation}
根据\eqref{Gamma(z+n)}式,可以将 $\Gamma(z)$ 解析延拓到半平面 $\mathrm{Re}(z) > -n$ \[ \Gamma(z)=\frac{\Gamma(z+n)}{\displaystyle{\prod_{k=0}^{n-1}(z+k)}} \]

  

3. Guass 公式

   设

\begin{equation} f_{n}(z)=\int_{0}^{n}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}t^{z-1}\ddt \qquad\operatorname{Re}(z) > 0 \end{equation}
作变量替换 $u=t/n $ 并分部积分 $n$ 次,得到
\begin{equation} f_{n}(z)=n^{z}\int_{0}^{n}(1-u)^{n}u^{z-1}\mathrm{d}u \end{equation}
当 $0\leq t\leq n,n > 1$ 时
\begin{equation} 0\leq 1- \mathrm{e} ^{t}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}\leq\frac{et^2}{4n} \end{equation}
事实上,由于 \[ D\left{1-E^{t}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}\right}=-\frac{1}{n}t \mathrm{e} ^{t}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n-1} \] 因此 \[ 1- \mathrm{e} ^{t}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n} =\frac{1}{n} \mathrm{e} ^{t}\int_{0}^{t}ve^{v}\left(1-\frac{v}{n}\right)^{n-1} \,\mathrm{d}{v} \] 而函数 $ve^{v}(1-v/n)^{n-1}$ 在 $v=1$ 取得最大值 \[ \sup_{v\geq 0}\left{ve^{v}\left(1-\frac{v}{n}\right)^{n-1}\right} = \mathrm{e} \left(1-\frac{1}{n}\right)^{n-1}\leq \frac{ \mathrm{e} }{2} \] 故有 \[ 1-e^{t}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n} \leq \frac{e}{2n}\int_{0}^{t}v \,\mathrm{d}{v} =\frac{\Et^2}{4n} \] 此外当 $v > 0$ 时,$e^{-v}\geqslant1-v$ ,则 $e^{-t/n}\geq 1-{t \over n}$,于是 $ \mathrm{e} ^{-t}\geq\left(1-t \over n\right)^{n}$,故 \[ 1-e^{t}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}\geq 0 \] 利用不等式 式 13 ,得到 \[ \left|\int_{0}^{n}e^{-t}t^{z-1}\mathrm{d}t-\int_{0}^{n}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}t^{z-1}\mathrm{d}t\right| \leqslant\frac{e}{4n}\int_{0}^{n}e^{-t}t^{|z|+1}\mathrm{d}t\leqslant\frac{e}{4n}\Gamma(|z|+2) \] 从而 \[ \lim_{n\to\infty}\int_{0}^{n}e^{-t}t^{z-1}\left[1-e^{t}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}\right]\mathrm{d}t=0 \] 结合 式 12 式和 式 13 式,可得
\begin{equation} \Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n!n^{z}}{\displaystyle{\prod_{k=0}^{n}(z+k)}} \end{equation}
由于 $\Gamma(z)$ 已经延拓到左半平面,因此根据唯一性定理,\eqref{Gauss's formula}式对于 $z\notin{\Z^{-}}$ 成立,这个式子称为 Gauss 公式.可知 \[ \frac{n!n^{z}}{\prod\limits_{k=0}^{n}(z+k)} =\frac{\mathrm{exp}{z\log n}}{z\prod\limits_{k=1}^{n}\left(1+\dfrac{z}{k}\right)} =\frac{\mathrm{exp}{z\log n}-z\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k}}{z\prod\limits_{k=1}^{n}\left(1+\dfrac{z}{k}\right)e^{-z/k}} \] 且
\begin{equation} \lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log n\right)=\gamma \end{equation}
从而
\begin{equation} \frac{1}{\Gamma(z)}=ze^{\gamma z}\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{k}\right)e^{-z/k} \end{equation}
式 16 式称为 Weistrass 公式.因此
\begin{equation} \Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{ \sin\left(\pi z\right) }\qquad 0 < \mathrm{Re}(z) < 1 \end{equation}
式 17 式称为余元公式.


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面 以及 [9] 相关章节.
2. ^ 事实上,自变量为负实数(非整数)时,$\Gamma$ 函数有另一种定义,这里不讨论.
3. ^ 该证明仅对 $x > 0$ 适用,这样才有 $0^x \mathrm{e} ^{-0} = 0$,使第四个等号成立.

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