Gamma 函数

             

贡献者: addis; spain

预备知识 定积分

  1$\Gamma$ 函数(gamma function)可以看成是阶乘在实数或复数域的拓展,该函数有多种定义方法,这里先讨论实数域上的定积分定义.该方法可以定义 $(-1, \infty)$ 区间的阶乘

\begin{equation} x! \equiv \Gamma (x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} \qquad (x > -1) \end{equation}
即 $\Gamma$ 函数在区间 $(0,\infty)$ 被定义为
\begin{equation} \Gamma(x) \equiv \int_0^{+\infty} t^{x-1} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} \qquad (x > 0) \end{equation}
可以证明新定义的阶乘的递推关系仍为
\begin{equation} (x+1)!=(x+1)x! \qquad (x > -1) \end{equation}
且 $0! = 1$.所以当 $x$ 取正整数 $N$ 时,式 1 的结果仍然是熟悉的 $N! = N(N-1)\dots, 1$.

   另外能证明 $(-1/2)!=\sqrt{\pi}$,由此我们可以直接写出半整数的阶乘为

\begin{equation} \frac{N}{2}! = \frac{N}{2} \left(\frac{N}{2}-1 \right) \dots \frac12 \sqrt{\pi} \qquad (N > 0) \end{equation}

1. 推导

预备知识 分部积分法

   首先 当 $x \leqslant 0$ 时该积分在 $x=0$ 处不收敛,以下仅讨论 $x$ 为正实数的情况2

   我们现在验证当 $x$ 取正整数时,新定义的阶乘 $x! = \Gamma(x+1)$ 与原来的定义 $x! = x(x-1)\dots 1$ 相同.首先

\begin{equation} 0! = \Gamma(1) = \int_0^{+\infty} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = 0 - (-1) = 1 \end{equation}

   使用分部积分法,令 $t^x$ 为 “求导项”,$ \mathrm{e} ^{-t}$ 为 “积分项”,可得递推公式3式 3

\begin{equation} \begin{aligned} x! &= \Gamma(x+1) = \int_0^{+\infty} t^x \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = - \left. t^x \mathrm{e} ^{-t} \right\rvert _{0}^{+\infty} + \int_0^{+\infty} x t^{x-1} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} \\ &= x\int_0^{+\infty} t^{x-1} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = x\Gamma (x) = x(x-1)! \end{aligned} \end{equation}
由递推式 6 和初值式 5 ,对任意正整数 $n$ 有
\begin{equation} n! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)!... = n(n-1)...1 \end{equation}

   再来看半整数的阶乘,我们讨论范围内的最小半整数的阶乘为

\begin{equation} \left(-\frac12 \right) ! = \int_0^{+\infty} \frac{ \mathrm{e} ^{-x}}{\sqrt x} \,\mathrm{d}{x} = 2\int_0^{+\infty} \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} = \int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} = \sqrt{\pi} \end{equation}
其中使用了换元法令 $x = t^2$ 将定积分变为高斯积分

2. 渐近公式

   对于大的 $x$, 有斯特林公式(Stirling formula): $$ \Gamma(x+1) =\sqrt{2\pi x}\left({x\over \mathrm{e} }\right)^x \left( 1 +{1\over12x} +{1\over288x^2} -{139\over51840x^3} -{571\over2488320x^4} + \cdots \right). $$ 这是一个渐近展开,右边的级数是发散的.它的推导可见拉普拉斯方法

  


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面 以及 [9] 相关章节.
2. ^ 事实上,自变量为负实数(非整数)时,$\Gamma$ 函数有另一种定义,这里不讨论.
3. ^ 该证明仅对 $x > 0$ 适用,这样才有 $0^x \mathrm{e} ^{-0} = 0$,使第四个等号成立.


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