魏尔施特拉斯逼近定理

             

贡献者: addis

  • 本词条处于草稿阶段.
预备知识 泰勒级数(简明微积分),傅里叶级数(三角)

  1泰勒级数中,只有无穷阶可导函数才能用泰勒公式展开成多项式,但事实上多项式还可以展开更多函数.

定理 1 斯通—魏尔施特拉斯逼近定理(Stone–Weierstrass theorem)

   斯通—魏尔施特拉斯逼近定理有两个

  1. 闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近.
  2. 闭区间上周期为 $2\pi$ 的连续函数可用三角函数级数一致逼近.

   第一逼近定理可以推广至 $\mathbb {R}^{n}$ 上的有界闭集.

   要求多项式系数,可以先求三角傅里叶级数(式 1

\begin{equation} f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty a_n \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^\infty b_n \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) \end{equation}
然后使用泰勒公式展开(式 4 )后得
\begin{equation} f(x) \to \sum_n c_n x^n \end{equation}
\begin{equation} c_0 = \sum_n a_n \quad c_2 = -\frac{1}{2!}\frac{\pi^2}{l^2} \sum_n n^2 a_n \end{equation}
\begin{equation} c_1 = \frac{\pi}{l} \sum_n n b_n \quad c_3 = -\frac{1}{3!}\frac{\pi^3}{l^3} \sum_n n^3 b_n \end{equation}

   有限项三角函数展开在无穷远处总是周期的,而有限项幂级数展开在无穷远处总是发散的.

   另一种方法可以用多项式插值(未完成),需要解方程组,计算量可能更大.两种方法都会出现龙格现象(未完成).


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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