魏尔施特拉斯逼近定理

                     

贡献者: addis

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预备知识 泰勒级数(简明微积分),傅里叶级数(三角)

  1泰勒级数中,只有无穷阶可导函数才能用泰勒公式展开成多项式,但事实上多项式还可以展开更多函数.

定理 1 魏尔施特拉斯近似定理(Weierstrass approximation theorem)

   闭区间上的连续实函数可用多项式级数一致逼近.具体来说就是若 $f(x)$ 为闭区间 $[a, b]$ 的连续实函数,那么对于任意给定的 $\epsilon$,都存在多项式 $p(x)$,使得 $ \left\lvert f(x) - p(x) \right\rvert < \epsilon$ 在该区间成立.该定理可以推广至 $\mathbb {R}^{n}$ 上的有界闭集.

   定理的另一种形式为:

定理 2 

   闭区间上周期为 $2\pi$ 的连续函数可用三角函数级数一致逼近.

   要求多项式系数,可以先求三角傅里叶级数(式 1

\begin{equation} f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty a_n \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^\infty b_n \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) \end{equation}
然后使用泰勒公式展开三角函数(式 4 )得
\begin{equation} f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n \end{equation}
\begin{equation} c_0 = \sum_{n=0}^\infty a_n~, \quad c_2 = -\frac{1}{2!}\frac{\pi^2}{l^2} \sum_{n=0}^\infty n^2 a_n~, \quad \dots \end{equation}
\begin{equation} c_1 = \frac{\pi}{l} \sum_{n=0}^\infty n b_n~, \quad c_3 = -\frac{1}{3!}\frac{\pi^3}{l^3} \sum_{n=0}^\infty n^3 b_n~, \quad \dots \end{equation}
注意以上求和需要检查是否收敛.

   有限项三角级数在无穷远处总是周期的,而有限项幂级数展开在无穷远处总是发散的.

   另一种方法可以用多项式插值(未完成),需要解方程组,计算量可能更大.两种方法都会出现龙格现象(未完成).


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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