魏尔施特拉斯逼近定理
贡献者： addis
预备知识 泰勒级数（简明微积分）
，傅里叶级数（三角）
1泰勒级数中，只有无穷阶可导函数才能用泰勒公式展开成多项式，但事实上多项式还可以展开更多函数。
定理 1 魏尔施特拉斯近似定理（Weierstrass approximation theorem）
闭区间上的连续实函数可用多项式级数一致逼近。具体来说就是若 $f(x)$ 为闭区间 $[a, b]$ 的连续实函数，那么对于任意给定的 $\epsilon$，都存在多项式 $p(x)$，使得 $ \left\lvert f(x) - p(x) \right\rvert < \epsilon$ 在该区间成立。该定理可以推广至 $\mathbb {R}^{n}$ 上的有界闭集。
定理的另一种形式为：
定理 2
闭区间上周期为 $2\pi$ 的连续函数可用三角函数级数一致逼近。
要求多项式系数，可以先求三角傅里叶级数（式 1 ）
\begin{equation}
f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n = 1}^\infty a_n \cos\left(\frac{n\pi}{l}x\right) + \sum_{n = 1}^\infty b_n \sin\left(\frac{n\pi}{l}x\right) ~.
\end{equation}
然后使用泰勒公式展开三角函数（
式 4 ）得
\begin{equation}
f(x) = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n~.
\end{equation}
\begin{equation}
c_0 = \sum_{n=0}^\infty a_n~,
\quad
c_2 = -\frac{1}{2!}\frac{\pi^2}{l^2} \sum_{n=0}^\infty n^2 a_n~, \quad \dots
\end{equation}
\begin{equation}
c_1 = \frac{\pi}{l} \sum_{n=0}^\infty n b_n~,
\quad
c_3 = -\frac{1}{3!}\frac{\pi^3}{l^3} \sum_{n=0}^\infty n^3 b_n~, \quad \dots
\end{equation}
注意以上求和需要检查是否收敛。
有限项三角级数在无穷远处总是周期的，而有限项幂级数展开在无穷远处总是发散的。
另一种方法可以用多项式插值（未完成），需要解方程组，计算量可能更大。两种方法都会出现龙格现象（未完成）。
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
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