魏尔施特拉斯逼近定理

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　泰勒级数（简明微积分），傅里叶级数（三角）

　　¹泰勒级数中，只有无穷阶可导函数才能用泰勒公式展开成多项式，但事实上多项式还可以展开更多函数。

定理 1　魏尔施特拉斯近似定理（Weierstrass approximation theorem）

　　闭区间上的连续实函数可用多项式级数一致逼近。具体来说就是若 $f (x)$ 为闭区间 $[a, b]$ 的连续实函数，那么对于任意给定的 $ϵ$ ，都存在多项式 $p (x)$ ，使得 $| f (x) - p (x) | < ϵ$ 在该区间成立。该定理可以推广至 $R^{n}$ 上的有界闭集。

　　定理的另一种形式为：

定理 2　

　　闭区间上周期为 $2 π$ 的连续函数可用三角函数级数一致逼近。

　　要求多项式系数，可以先求三角傅里叶级数（式 1 ）

\begin{matrix} (1) & f (x) = \frac{a_{0}}{2} + \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} \cos (\frac{n π}{l} x) + \sum_{n = 1}^{\infty} b_{n} \sin (\frac{n π}{l} x) . \end{matrix}

然后使用泰勒公式展开三角函数（式 4 ）得

\begin{matrix} (2) & f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} x^{n} . \end{matrix}

\begin{matrix} (3) & c_{0} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{n}, c_{2} = - \frac{1}{2!} \frac{π^{2}}{l^{2}} \sum_{n = 0}^{\infty} n^{2} a_{n}, \dots \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & c_{1} = \frac{π}{l} \sum_{n = 0}^{\infty} n b_{n}, c_{3} = - \frac{1}{3!} \frac{π^{3}}{l^{3}} \sum_{n = 0}^{\infty} n^{3} b_{n}, \dots \end{matrix}

注意以上求和需要检查是否收敛。

　　有限项三角级数在无穷远处总是周期的，而有限项幂级数展开在无穷远处总是发散的。

　　另一种方法可以用多项式插值（未完成），需要解方程组，计算量可能更大。两种方法都会出现龙格现象（未完成）。

1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。

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魏尔施特拉斯逼近定理

定理 1 魏尔施特拉斯近似定理（Weierstrass approximation theorem）

定理 2

定理 1　魏尔施特拉斯近似定理（Weierstrass approximation theorem）

定理 2　