证明闭合曲面的法向量面积分为零

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　散度散度定理

未完成：具体描述定理。

未完成：从物理上来说，这个定理相当于证明若一个物体受恒定压强，则这些压力的合力为零。

图 1：闭合曲面上的一个面元

　　对于闭合曲面 $\Omega$，证明 $\oint_\Omega \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，其中 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } $ 是曲面上的面元矢量，其模长 $ \,\mathrm{d}{s} $ 为面元的面积，方向为沿着该面元的法线向外。把矢量积分分解成三个分量，有

\begin{equation} \begin{aligned} \oint_\Omega \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } & = \oint_\Omega [( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ] \\ &= \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \oint_\Omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \oint_\Omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \oint\limits_\Omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } ~. \end{aligned} \end{equation}

下面以第一项为例，证明积分结果为 0，后两项的证明类似。根据散度定理，矢量场在闭合曲面上的通量等于该矢量场散度在曲面内空间的体积分，所以

\begin{equation} \oint_\Omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \int_V ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} ) \,\mathrm{d}{V} = \int_V 0 \,\mathrm{d}{V} = 0~. \end{equation}

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