柯西—施瓦茨不等式
贡献者： addis
1. $\mathbb C^N$ 空间
对 $\mathbb C^N$ 空间，有
\begin{equation}
\left\lvert \sum_i^N u_i^* v_i \right\rvert ^2 \leqslant \sum_j \left\lvert u_j \right\rvert ^2 \sum_k \left\lvert v_k \right\rvert ^2~.
\end{equation}
2. 内积空间
内积空间中任意两个矢量满足柯西不等式
\begin{equation}
\left\lvert \left\langle u \middle| v \right\rangle \right\rvert ^2 \leqslant \left\langle u \middle| u \right\rangle \cdot \left\langle v \middle| v \right\rangle ~.
\end{equation}
3. 证明
我们使用勾股定理来证明。令 $u$ 在 $v$ 方向的投影为 $x$，在 $v$ 垂直方向的投影为 $y$，即
\begin{equation}
x = \frac{ \left\langle v \middle| u \right\rangle }{ \left\langle v \middle| v \right\rangle } v \qquad y = u - x~,
\end{equation}
容易证明 $u = x + y$ 且 $ \left\langle x \middle| y \right\rangle = 0$。这样就可以使用勾股定理
式 8
\begin{equation}
\left\langle u \middle| u \right\rangle = \left\langle x \middle| x \right\rangle + \left\langle y \middle| y \right\rangle \geqslant \left\langle x \middle| x \right\rangle = \frac{ \left\lvert \left\langle u \middle| v \right\rangle \right\rvert ^2}{ \left\langle v \middle| v \right\rangle }~.
\end{equation}
两边乘以 $ \left\langle v \middle| v \right\rangle $，得
式 2 。特殊地，不难证明当且仅当 $u, v$ 共线时 $y = 0$，即 $ \left\langle y \middle| y \right\rangle = 0$，不等式取等号。证毕。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。