柯西—施瓦茨不等式

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　正交分解投影算符

1. $C^{N}$ 空间

　　对 $C^{N}$ 空间，有

\begin{matrix} (1) & {| \sum_{i}^{N} u_{i}^{*} v_{i} |}^{2} ⩽ \sum_{j} {| u_{j} |}^{2} \sum_{k} {| v_{k} |}^{2} . \end{matrix}

2. 内积空间

　　内积空间中任意两个矢量满足柯西不等式

\begin{matrix} (2) & {| ⟨ u | v ⟩ |}^{2} ⩽ ⟨ u | u ⟩ \cdot ⟨ v | v ⟩ . \end{matrix}

3. 证明

　　我们使用勾股定理来证明。令 $u$ 在 $v$ 方向的投影为 $x$ ，在 $v$ 垂直方向的投影为 $y$ ，即

\begin{matrix} (3) & x = \frac{⟨ v | u ⟩}{⟨ v | v ⟩} v y = u - x, \end{matrix}

容易证明

u = x + y

且

⟨ x | y ⟩ = 0

。这样就可以使用勾股定理式 8

\begin{matrix} (4) & ⟨ u | u ⟩ = ⟨ x | x ⟩ + ⟨ y | y ⟩ ⩾ ⟨ x | x ⟩ = \frac{{| ⟨ u | v ⟩ |}^{2}}{⟨ v | v ⟩} . \end{matrix}

两边乘以

⟨ v | v ⟩

，得式 2 。特殊地，不难证明当且仅当

u, v

共线时

y = 0

，即

⟨ y | y ⟩ = 0

，不等式取等号。证毕。

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柯西—施瓦茨不等式

1. CN 空间

2. 内积空间

3. 证明

1. $C^{N}$ 空间