贡献者： 零穹
在带有内积的矢量空间（实数域 $\mathbb R$ 或复数域 $\mathbb C$ 上的）中，矢量的模的性质可用来定义度量，使得矢量空间可看成一个度量空间。反过来，满足一定性质的度量也可用来定义矢量的模。
先列出矢量模 $ \left\lVert v \right\rVert =\sqrt{ \left\langle v \middle| v \right\rangle }$ 的性质（设矢量空间为 $V$）（式 5 ）：
-
\begin{equation}
\left\lVert x \right\rVert \geq 0\quad (\forall x\in V)~.
\end{equation}
-
\begin{equation}
\left\lVert \lambda v \right\rVert = \left\lvert \lambda \right\rvert \left\lVert v \right\rVert \qquad (\lambda\in V,\quad\forall\lambda\in\mathbb C,v\in V)~.
\end{equation}
-
\begin{equation}
\left\lVert x+y \right\rVert \leq \left\lVert x \right\rVert + \left\lVert y \right\rVert \qquad (\forall x,y\in V)~.
\end{equation}
而度量是满足以下三个条件的函数 $d:E\times E\rightarrow\mathbb R$（$E$ 为任意的集合）（定义 1 ）：
- 正定性：$d(u, v) \geq 0$，且 $d(u, v)=0$ 当且仅当 $u=v$.
- 对称性：$d(u, v) = d(v, u)$.
- 三角不等式：$d(u, v) \leqslant d(u, w) + d(w, v)$.
1. 从矢量模到度量
通过模 $ \left\lVert x \right\rVert $ 取
\begin{equation}
d(x,y):= \left\lVert x-y \right\rVert ~.
\end{equation}
显然，由此定义的 $d$ 满足度量定义中的 3 个条件，故由此定义的 $d$ 可充当矢量空间的
度量。
例 1
在 $V=C_2(a,b)$（例 1 ）中，
\begin{equation}
d(f,g)=\sqrt{\int_a^b \left\lvert f(x)-g(x) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} }~
\end{equation}
可充当度量。
2. 从度量到模
为从度量定义矢量空间中的模，需要的度量还应具有以下两个性质：
4.（平移不变性）$\forall x,y,z\in V,\quad d(x,y)=(x+z,y+z)$；
5.（与纯量 $\lambda$ 写出相当于距离延长 $ \left\lvert \lambda \right\rvert $ 倍）：$d(\lambda x,\lambda y)= \left\lvert \lambda \right\rvert d(x,y)$。
如此，取
\begin{equation}
\left\lVert x \right\rVert :=d(x,0)~,
\end{equation}
则它将具有矢量模的所有性质：矢量模的性质
式 1 、
式 2 可通过度量的正定性和性质 5 得到，而第三个性质这样验证：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\left\lVert x+y \right\rVert &=d(x+y,0)\underset{\text{平移不变性}}{=}d(x,-y)\\
&\underset{\text{三角不等式}}{\leq}d(x,0)+d(0,-y)\\
&\underset{\text{性质 5，对称性}}{=} \left\lVert x \right\rVert + \left\lVert y \right\rVert ~.
\end{aligned}
\end{equation}
3. 小结
带有内积的矢量空间通过矢量的模可以直接看成一个度量空间，而度量空间（若 $E=V$）通过给度量函数进行一些限制才能得到矢量空间的模。即带有内积矢量空间包含在度量空间中。
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