矢量的模和度量的关系

                     

贡献者: 零穹

预备知识 内积、内积空间

   在带有内积的矢量空间(实数域 $\mathbb R$ 或复数域 $\mathbb C$ 上的)中,矢量的模的性质可用来定义度量,使得矢量空间可看成一个度量空间.反过来,满足一定性质的度量也可用来定义矢量的模.

   先列出矢量 $ \left\lVert v \right\rVert =\sqrt{ \left\langle v \middle| v \right\rangle }$ 的性质(设矢量空间为 $V$)(式 5 ):

  1. \begin{equation} \left\lVert x \right\rVert \geq 0\quad \forall x\in V \end{equation}
    且 $ \left\lVert x \right\rVert =0\Rightarrow x=0$.
  2. \begin{equation} \left\lVert \lambda v \right\rVert = \left\lvert \lambda \right\rvert \left\lVert v \right\rVert ,\quad \lambda\in V,\quad\forall\lambda\in\mathbb C,v\in V \end{equation}
  3. \begin{equation} \left\lVert x+y \right\rVert \leq \left\lVert x \right\rVert + \left\lVert y \right\rVert ,\quad \forall x,y\in V \end{equation}

   而度量是满足以下三个条件的函数 $d:E\times E\rightarrow\mathbb R$($E$ 为任意的集合)(定义 1 ):

  1. 正定性:$d(u, v) \geq 0$,且 $d(u, v)=0$ 当且仅当 $u=v$
  2. 对称性:$d(u, v) = d(v, u)$
  3. 三角不等式:$d(u, v) \leqslant d(u, w) + d(w, v)$

1. 从矢量模到度量

   通过模 $ \left\lVert x \right\rVert $ 取

\begin{equation} d(x,y):= \left\lVert x-y \right\rVert \end{equation}
显然,由此定义的 $d$ 满足度量定义中的 3 个条件,故由此定义的 $d$ 可充当矢量空间的度量

例 1 

   在 $V=C_2(a,b)$(例 1 )中,

\begin{equation} d(f,g)=\sqrt{\int_a^b \left\lvert f(x)-g(x) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{x} } \end{equation}
可充当度量.

2. 从度量到模

   为从度量定义矢量空间中的模,需要的度量还应具有以下两个性质:

   4.(平移不变性)$\forall x,y,z\in V,\quad d(x,y)=(x+z,y+z)$;

   5.(与纯量 $\lambda$ 写出相当于距离延长 $ \left\lvert \lambda \right\rvert $ 倍):$d(\lambda x,\lambda y)= \left\lvert \lambda \right\rvert d(x,y)$.

   如此,取

\begin{equation} \left\lVert x \right\rVert :=d(x,0) \end{equation}
则它将具有矢量模的所有性质:矢量模的性质式 1 式 2 可通过度量的正定性和性质 5 得到,而第三个性质这样验证:
\begin{equation} \begin{aligned} \left\lVert x+y \right\rVert &=d(x+y,0)\underset{\text{平移不变性}}{=}d(x,-y)\\ &\underset{\text{三角不等式}}{\leq}d(x,0)+d(0,-y)\\ &\underset{\text{性质 5,对称性}}{=} \left\lVert x \right\rVert + \left\lVert y \right\rVert \end{aligned} \end{equation}

3. 小结

   带有内积的矢量空间通过矢量的模可以直接看成一个度量空间,而度量空间(若 $E=V$)通过给度量函数进行一些限制才能得到矢量空间的模.即带有内积矢量空间包含在度量空间中.


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