全导数

             

预备知识 复合函数的偏导

   若多元函数包含若干个变量(以下以 $f(x,y,t)$ 为例),我们知道它可以对其中任意一个变量求偏导,即 $ \partial f/\partial x $, $ \partial f/\partial y $, $ \partial f/\partial t $,注意求偏导时其余两个变量不变.现在若把 $x,y$ 看做 $t$ 的函数,那么 $f$ 归根结底也是 $t$ 的函数 $f[x(t),y(t),t]$,我们可以将其对 $t$ 求导.为了强调这与对 $t$ 求偏导有所不同,我们把得到的函数叫做全导数

   与偏微分中的链式法的推导类似,我们先来看函数的全微分

\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \frac{\partial f}{\partial x} \,\mathrm{d}{x} + \frac{\partial f}{\partial y} \,\mathrm{d}{y} + \frac{\partial f}{\partial t} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
而根据 $x,y$ 与 $t$ 的微分关系
\begin{equation} \,\mathrm{d}{x} = \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{t} \qquad \,\mathrm{d}{y} = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
代入上式得
\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \left( \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial f}{\partial t} \right) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
而若把 $f$ 看做 $t$ 的一元函数,又应该有全微分关系
\begin{equation} \,\mathrm{d}{f} = \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{t}} \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
对比以上两式可得 $f$ 关于 $t$ 的全导数为
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{f}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{t}} + \frac{\partial f}{\partial t} \end{equation}

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

广告位

投放详情

         

© 小时科技 保留一切权利