贡献者： addis
预备知识 傅科摆（科普）
，单摆
，
圆周运动的速度，
空间向量的叉乘，
连续叉乘的化简
傅科摆是首个直接证明地球自转的实验。试想如果把一个不受任何阻力的单摆放在地球的北极，那么地球每自转一定角度，单摆的摆平面不变，所以以地球为参考系观察，摆平面将反方向转动，这样就能证明地球在自转。现实中，为了能克服阻力和微扰长时间摆动，通常使用质量较大，摆臂较长的摆作为傅科摆。
但若傅科摆被放在北纬 $\alpha$ 角处，摆平面的将会以怎样的角速度转动呢？事实证明，若令地球自转的角速度为 $\omega_0$，则单摆相对地面转动的角速度 $\omega$ 将等于
\begin{equation}
\omega = \omega_0 \sin\alpha~.
\end{equation}
1. 一种几何推导
设 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 为地心指向傅科摆的矢量，$\hat { \boldsymbol{\mathbf{R}} }$ 是其单位矢量，当地纬度为 $\alpha$，地轴指向北的单位矢量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $，有
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} = \cos\left(\pi/2 - \alpha\right) = \sin\alpha~.
\end{equation}
若把任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{P}} $ 围绕某单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{M}}} $ 以右手定则旋转角微元 $ \,\mathrm{d}{\theta} $，有
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{P}} } = \hat{\boldsymbol{\mathbf{M}}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{P}} \,\mathrm{d}{\theta} ~.
\end{equation}
开始时，令傅科摆在最低点的速度方向的单位向量为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} $（$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} = 0$），在傅科摆下方的水平地面上标记单位向量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} $，使开始时 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} $。当傅科摆随地球在准静止状态下移动位移 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } $（$ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{R}} = 0$）后，由
式 3 可得
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} } = \hat{\boldsymbol{\mathbf{M}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{\theta} =
\frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } }{ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \right\rvert } \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \frac{ \,\mathrm{d}{s} }{R}~.
\end{equation}
注意这只是一个比较符合物理直觉的假设，这里并不给出证明。当地球转动 $ \,\mathrm{d}{\theta} $ 时，上式中 $ \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{R}} \,\mathrm{d}{\theta} $，而地面上的标记 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} $ 也围绕地轴转动，所以 $ \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} } = \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} $。
下面计算 $ \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} } - \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} } $。因为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } = 0$，所以 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \right\rvert = R \,\mathrm{d}{s} $，所以
\begin{equation} \begin{aligned}
\,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} } &= \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } }{R^2} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} =
\frac{1}{R^2} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol\times ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{R}} \,\mathrm{d}{\theta} ) \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \\
&= \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \boldsymbol\times ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ) \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} =
[( \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} - ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} ) \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} ] \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} \\
&= ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \sin\alpha) \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} ~,
\end{aligned} \end{equation}
其中第二行使用了 “
连续叉乘的化简”。
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} } - \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} } = ( \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \sin\alpha) \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} - \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} = -\sin\alpha \hat{\boldsymbol{\mathbf{R}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} \,\mathrm{d}{\theta} ~.
\end{equation}
所以地球转过 $ \,\mathrm{d}{\theta} $ 角以后，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} $ 与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} $ 之间的夹角为
\begin{equation}
\,\mathrm{d}{\gamma} = \left\lvert \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{A}}} } - \,\mathrm{d}{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{B}}} } \right\rvert = \sin\alpha \,\mathrm{d}{\theta} ~,
\end{equation}
两边除以 $ \,\mathrm{d}{t} $ 得角速度
\begin{equation}
\omega = \omega_0 \sin\alpha~.
\end{equation}
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。