指数函数（高中）

贡献者：欄、停敘

本文处于草稿阶段。

预备知识　函数，函数的性质，幂运算与幂函数

　　指数函数在日常生活中十分常见，它能够形象地描述一种增长速度不断加快的模式。例如，细菌的繁殖就是一个典型的指数增长过程：如果某种细菌每小时分裂一次，每次分裂后数量就会翻倍，那么细菌的数量会从起初的几百个迅速增至成千上万。类似地，银行存款的利息增长也是指数式的：本金存入后，按固定的比例产生利息，利息再生息，逐渐积累。这种增长过程就像滚雪球一样，短时间内便可能增长到一个令人惊讶的数量。

　　指数函数的本质就是描述描述增长速度与自身数值直接相关的现象。在这种增长模式下，随着数量增大，其增长速度也不断加快。与幂函数仅以固定速率增长不同，指数函数的增长速度会随着数量的增加而加快，特别是在数量达到一定规模时，这种增长几乎是飞跃式的。在现实生活中，大多数处于理想环境的增长模式都可以归纳为指数增长，直到受到环境因素的变化或达到系统的承载能力，才会改变。除了细菌繁殖和利息积累的例子外，指数函数还广泛用于描述类似的变化，例如放射性元素的衰减、人口增长、疾病传播等。这些现象的共同点是：初期的变化可能并不显著，但随着时间推移，变化会迅速积累，产生极大的影响。

1. 指数函数

　　回看幂运算的定义，如果将底数作为参数，指数作为自变量的函数就称为指数函数，指数函数的名称指的就是自变量的在指数位置上，注意不要与幂函数相混淆。

定义 1　指数函数

　　形如

\begin{matrix} (1) & f (x) = a^{x} . \end{matrix}

的函数称作指数函数（exponential function），其中

a \in (0, 1) \cup (1, + \infty)

。

　　这里之所以如此要求参数 $a$ ，是因为负数的实数幂次在非常多点上是未定义的，造成函数的定义域不连续，难以研究¹。而 $a = 1$ 和 $a = 0$ 的情况是平凡的，分别是直线 $y = 1$ 和 $y = 0 (x \neq 0)$ ，它们仅会在后面的研究中作为一个参考基准。

2. 指数函数的性质

　　有了幂函数的经验，同样，下面根据 $a (a > 0)$ 的性质讨论指数函数的性质。

定义域和值域

　　根据指数函数参数的限定， $x$ 可以取任意实数。此时根据幂运算的法则， $f (x) > 0$ 恒成立，即函数的值域是 $(0, + \infty)$ 。根据 $0^{a} = 1$ 可知，函数恒过定点 $(0, 1)$ 。

单调性

　　对于 $f (x) = a^{x}$ ，任取定义域上的两点 $x_{1} > x_{2}$ ，则平均变化率为

\begin{matrix} (2) & \frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} = \frac{a^{x_{2}} (a^{x_{1} - x_{2}} - 1)}{(x_{1} - x_{2})} . \end{matrix}

　　由于式 2 的分母和 $a^{x_{2}}$ 为正，因此讨论 $a^{x_{1} - x_{2}}$ 和 $1$ 的关系。由于 $x_{1} > x_{2}$ ， $x_{1} - x_{2} > 0$ 。为了讨论方便，取 $1^{x_{1} - x_{2}}$ 。由于幂函数在参数为正时在第一象限内是增函数，因此 $a > 1$ 时， $a^{x_{1} - x_{2}} > 1^{x_{1} - x_{2}}$ ， $0 < a < 1$ 时， $a^{x_{1} - x_{2}} < 1^{x_{1} - x_{2}}$ 。

　　综上， $a > 0$ 时，式 2 的值大于 $0$ ，函数在定义域上是递增的；反之 $0 < a < 1$ 时，函数则是递减的。

不同的 $a$ 的函数图象的关系

　　当 $a_{1} > a_{2}$ 时，有 $a_{1} - a_{2} > 0$ ，讨论两个函数间的关系²：

\begin{matrix} (3) & f (x; a_{1}) - f (x; a_{2}) = (a_{1})^{x} - (a_{2})^{x} = (a_{2})^{x} ({(\frac{a_{1}}{a_{2}})}^{x} - 1) . \end{matrix}

　　由于 $(a_{2})^{x} > 0$ ，取 $p = \frac{a_{1}}{a_{2}} > 1$ ，下面讨论 $p^{x}$ 和 $1$ 的关系。对 $x > 0$ 时， $p^{x} > 1$ ， $x < 0$ 时， $p^{x} = {(\frac{1}{p})}^{| x |} < 1$ 。

　　形象地来说，在 $x > 0$ 时，如果从下到上画一条垂线，则会先穿过 $a$ 值较小的函数图象，后穿过 $a$ 值较大的函数图象；在 $x < 0$ 时从下到上画一条垂线，则会先穿过 $a$ 值较大的函数图象，后穿过 $a$ 值较小的函数图象。

　　由于 $1^{x} = 1$ ，根据上面的分析，若 $a > 1$ ， $x < 0$ 时， $0 < y < 1$ ， $x > 0$ 时， $y > 1$ ；若 $0 < a < 1$ ，则 $x < 0$ 时， $y > 1$ ， $x > 0$ 时， $0 < y < 1$ 。

　　仔细对比，可以发现这里 “单调性” 和 “不同的 $a$ 的函数图象的关系” 的讨论与幂函数讨论的表达式形式正好相反。

其他性质

　　由于 ${(\frac{1}{a})}^{- x} = a^{x}$ ，所以如果代入 $(- x, y)$ 到 ${(\frac{1}{a})}^{x}$ 的表达式中，得到的它关于 $y$ 轴对称的函数是 $a^{x}$ 。一般地，根据指数运算的性质，有 $f (x; a^{b}) = {(a^{b})}^{x} = a^{b x} = f (b x; a)$ ³。假设 $c = a^{b}$ ，则有 $f (x; c) = f (b x; a)$ ，即任意的指数基数 $a$ 都可以通过伸缩变换来表示所有的指数函数，这也表明不同指数函数之间存在放缩关系。

　　顺便一提， $x$ 轴（也就是直线 $y = 0$ ）是函数的一条渐近线，分别对应 $a > 1$ ， $x$ 趋于 $- \infty$ 时和 $1 > a > 0$ ， $x$ 趋于 $+ \infty$ 时。

　　事实上，若 $a > 1$ ，则 $a^{x}$ 在 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，趋于 $0$ ；在 $x$ 趋于 $+ \infty$ 时，趋于 $+ \infty$ 。若 $1 > a > 0$ ，则 $a^{x}$ 在 $x$ 趋于 $- \infty$ 时，趋于 $+ \infty$ ；在 $x$ 趋于 $+ \infty$ 时，趋于 $0$ 。这是根据幂运算的性质得到的。同样关于 “趋于”、“无穷”、“渐近线” 这三个词，现在只需要有一个感性的理解就可以了，它是符合几何直观的。关于他们的具体内涵，会在大学阶段学习。

函数图像

　　根据上面的分析可以得到两类函数的图像，分别是 $a > 1$ 和 $0 < a < 1$ 情况的。

未完成：图像

函数是光滑的，并且

| \ln (a) |

⁴越大，图像越会靠近

y

轴；

| \ln (a) |

越小，图像越会靠近直线

y = 1

。

3. 指数爆炸

　　 指数爆炸（exponential growth）指的是函数值随自变量呈指数级别的快速增长，它的显著特征是初期增速缓慢，但随后会急剧加速。指数函数的增长速度非常快，对于初等函数而言，当参数 x 足够大时，指数函数的增长速度是最快的。具体来说，若参数 $a > 1$ ，在第一象限内（ $x > 0$ ）的典型函数增长速度从慢到快通常满足以下顺序：

\begin{matrix} (4) & a < \log_{a} x < x^{a} < a^{x} . \end{matrix}

　　式子中，常数 $a$ 是一个固定值，不随 $x$ 改变，或者说不增加。对数函数 $\log_{a} x$ 的值在 $x$ 越大时，仍在增加，但增速会越来越慢，仅略大于不增。幂函数 $x^{a}$ 和指数函数 $a^{x}$ 的增长速度都会随着 $x$ 增加， $x^{a}$ 增速逐渐加快，但 $x^{a}$ 比指数函数 $a^{x}$ 慢，一般认为相较于指数函数，幂函数是线性或近似线性的。指数增长会呈现 “爆炸式” 的加速，远超其他初等函数。

　　这是一个一般规律，在定性地判断函数值和趋势时会比较有效，熟练使用会在很多题目中快速确定解题方向。

例 1　已知函数 $f (x) = (x - 2) \cdot 2^{x}, g (x) = a (x - 1)^{2}$ ，讨论 $a$ 与二者交点的关系。

　　下面进行定性分析：

　　易知 $f (0) = - 2, f (2) = 0$ ，且在函数趋于 $- \infty$ 时，函数趋于 $0$ ，在函数趋于 $+ \infty$ 时，函数趋于 $+ \infty$ （这里的无穷判断就与指数爆炸相关，当两个函数相乘时，在无穷处一般可以根据上面的增长速度判定。）。而 $g (x)$ 是一个开口方向及敞口大小与 $a$ 相关的抛物线， $| a |$ 越大，敞口越小，唯一的零点在 $x = 1$ 处。

　　当 $a > 0$ 时，开口向上，此时两个函数只能有一个交点。

　　首先，二者必然相交。因为在 $x = 1$ 处，显然 $f (1) < 0 = g (1)$ ，而 $f (x)$ 的增长速度比 $g (x)$ 快，哪怕 $g (x)$ 的敞口再小，总有一个点之后， $f (x)$ 会在 $g (x)$ 上方。又因为相交后，二者就会快速分开，所以二者只能相交一次。

　　当 $a < 0$ 时，开口向下，此时两个函数有两个交点。

　　从上面的分析， $f (2) = 0, f (- \infty) = 0, f (1) < 0$ ，而 $g (2) < 0, g (- \infty) < 0, g (1) = 0$ 。很显然，在 $(- \infty, 1), (1, 2)$ 两个区间上，各自会存在零点。同时，由于 $f (x)$ 在这一段上与 $g (x)$ 相比近乎一条水平直线，于是每个区间上也只会存在一个零点。

4. 柯西函数方程

　　 柯西函数方程 (Cauchy functional equation)是柯西提出的是数学分析中具有加性和乘性特征的几个方程。它们的形式如下：

$f (x + y) = f (x) + f (y)$
$f (x y) = f (x) f (y)$
$f (x + y) = f (x) f (y)$
$f (x y) = f (x) + f (y)$

　　刚看到可能觉得有点吓人，下面以第一个作为例子表示一下它的含义：函数 $f (x)$ 满足，任取两个自变量的值时，这两个自变量 $x, y$ 的和 $x + y$ 对应的函数值 $f (x + y)$ 与他们对应的函数值 $f (x), f (y)$ 的和 $f (x) + f (y)$ 相等。这里的 $y$ 只表示某一个可以任意赋值的，与 $x$ 无关的自变量。

　　由于他们无关，可以任意给他们赋值来研究它的性质：

令 $y = x$ ，有 $f (2 x) = 2 f (x)$ ，进而更多地得到对自然数 $n$ 有 $f (n x) = n f (x)$ ，代入 $x = 1$ 有 $f (n) = n f (1)$ 。
令 $x = y = 0$ ，有 $f (0) = 2 f (0)$ ，因此 $f (0) = 0$ ，即函数恒过定点 $(0, 0)$ 。
令 $y = - x$ ，有 $f (0) = f (x) + f (- x)$ ，又因为 $f (0) = 0$ ，从而 $- f (x) = f (- x)$ ，这说明函数应该是奇函数。
令 $x = \frac{q}{p}$ ，即 $q = p x$ ，从而 $f (q) = f (p x)$ 。由于 $p$ 是整数，根据上面的性质有 $f (p x) = p f (x)$ 。又因为 $q$ 为整数，有 $f (q) = q f (1)$ 。综上 $f (x) = \frac{f (q)}{p} = \frac{q}{p} f (1) = x f (1)$

　　上面的方法是研究此类抽象函数的一种普遍方法，通过上面的推理已经可以证明 $f (x) = x f (1)$ 对任意有理数 $x$ 都成立，设 $f (1) = a$ 的话，可知函数表达式为 $f (x) = a x$ 。事实上，如果这个表达式代表的是连续函数，那么它对 $x \in R$ 都成立，不过证明就超过高中范畴了。

　　其他的方程也可以通过类似的方法进行研究，不过好在，这些方程已经被很多人研究过，下面直接给出各个函数的如果要求是连续函数的情况下的解⁵，可以自行带入验证：

$f (x + y) = f (x) + f (y) ⟹ f (x) = a x$ （正比例函数、线性函数）
$f (x y) = f (x) f (y) ⟹ f (x) = x^{a}$ （幂函数）
$f (x + y) = f (x) f (y) ⟹ f (x) = a^{x}$ （指数函数）
$f (x y) = f (x) + f (y) ⟹ f (x) = \log_{a} x$ （对数函数）

　　其中 $a$ 是一个参数。因此，也可以说，在某个视角上，这几种函数根本的性质就是柯西函数方程描述的样子。

1. ^ 类比狄利克雷函数可知，这个函数无法画出图像。
2. ^ 下面的写法表示参数是 $a_{1}, a_{2}$ 。
3. ^ $f (x; a^{b})$ 这种写法表示函数的参数是 $a^{b}$ ，变量是 $x$ 。
4. ^ 这里的符号是对数，此处如果看不懂可以先跳过。
5. ^ 可能有其他的解，但不在此处的讨论范畴内。

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