指数函数(高中)

                     

贡献者: 欄、停敘

预备知识 函数函数的性质,幂运算与幂函数

   在日常生活中,我们常常遇到指数函数的应用。想象一下,细菌每过一小时就分裂一次,数量翻倍。刚开始可能只是几百个细菌,但很快,数量会成千上万地增长,这正是指数增长的典型例子。通过指数函数,你能理解这种现象,并学会如何计算这些快速变化的量。再比如,银行里的利息也是按照一定的比例增长,时间越长,利息越多,当时间长到一定程度,大部分的帐目都将是利息,它将远超过本金,这也是典型的指数增长现象。就像雪球越滚越大,指数函数也能迅速变得非常大。

   这种增长速度与自身数量直接相关的性质就指数增长,它的速度比幂函数快得多。在一个环境比较理想的情况下,大部分事物的增长都会遵循这个规律,直到环境变化或达到环境的承载能力,才会改变。指数函数的这个性质使它在很多实际问题中应用广泛。比如,地球人口在几十年内翻倍之类的现象背后都有指数函数在起作用。通过学习指数函数,你不仅能解决这些问题,还能更好地理解世界中的很多快速变化现象。

1. 指数函数

   回看幂运算的定义,如果将底数作为参数,指数作为自变量的函数就称为指数函数,指数函数的名称指的就是自变量的在指数位置上,注意不要与幂函数相混淆。

定义 1 指数函数

   形如

\begin{equation} f(x) = a^x~. \end{equation}
的函数称作指数函数(exponential function),其中 $a\in\mathbb (0,1)\cup(1,+\infty)$。

   这里之所以如此要求参数 $a$,是因为负数的实数幂次在非常多点上是未定义的,造成函数的定义域不连续,难以研究1。而 $a=1$ 和 $a=0$ 的情况是平凡的,分别是直线 $y=1$ 和 $y=0(x\neq0)$,它们仅会在后面的研究中作为一个参考基准。

2. 指数函数的性质

   有了幂函数的经验,同样,下面根据 $a(a>0)$ 的性质讨论指数函数的性质。

定义域和值域

   根据指数函数参数的限定,$x$ 可以取任意实数。此时根据幂运算的法则,$f(x)>0$ 恒成立,即函数的值域是 $(0,+\infty)$。根据 $0^a=1$ 可知,函数恒过定点 $(0,1)$。

单调性

   对于 $f(x)=a^x$,任取定义域上的两点 $x_1>x_2$,则平均变化率为

\begin{equation} \frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=\frac{a^{x_2}(a^{x_1-x_2}-1)}{(x_1-x_2)}~. \end{equation}

   由于式 2 的分母和 $a^{x_2}$ 为正,因此讨论 $a^{x_1-x_2}$ 和 $1$ 的关系。由于 $x_1>x_2$,$x_1-x_2>0$。为了讨论方便,取 $1^{x_1-x_2}$。由于幂函数在参数为正时在第一象限内是增函数,因此 $a>1$ 时,$a^{x_1-x_2}>1^{x_1-x_2}$,$0< a<1$ 时,$a^{x_1-x_2}<1^{x_1-x_2}$。

   综上,$a>0$ 时,式 2 的值大于 $0$,函数在定义域上是递增的;反之 $0< a<1$ 时,函数则是递减的。

不同的 $a$ 的函数图象的关系

   当 $a_1>a_2$ 时,有 $a_1-a_2>0$,讨论两个函数间的关系2

\begin{equation} f(x;a_1)-f(x;a_2)=(a_1)^x-(a_2)^x=(a_2)^x\left(\left(\frac{a_1}{a_2}\right)^x-1\right)~. \end{equation}

   由于 $\displaystyle (a_2)^x>0$,取 $p=\frac{a_1}{a_2}>1$,下面讨论 $p^x$ 和 $1$ 的关系。对 $x>0$ 时,$p^x>1$,$x<0$ 时,$\displaystyle p^x=\left(\frac{1}{p}\right)^{|x|}<1$。

   形象地来说,在 $x>0$ 时,如果从下到上画一条垂线,则会先穿过 $a$ 值较小的函数图象,后穿过 $a$ 值较大的函数图象;在 $x<0$ 时从下到上画一条垂线,则会先穿过 $a$ 值较大的函数图象,后穿过 $a$ 值较小的函数图象。

   由于 $1^x=1$,根据上面的分析,当 $a>1$ 时,$x<0$ 时 $0< y<1$,$x>0$ 时 $y>1$;当 $0< a<1$ 时,$x<0$ 时 $y>1$,$x>0$ 时 $0< y<1$。

   仔细对比,可以发现这里 “单调性” 和 “不同的 $a$ 的函数图象的关系” 的讨论与幂函数讨论的表达式形式正好相反。

其他性质

   由于 $\displaystyle \left(\frac{1}{a}\right)^{-x}=a^{x}$,所以如果代入 $(-x,y)$ 到 $\displaystyle\left(\frac{1}{a}\right)^{x}$ 的表达式中,得到的它关于 $y$ 轴对称的函数是 $a^{x}$。

   顺便一提,若 $a>1$,则 $a^x$ 在 $x$ 趋于 $-\infty$ 时,趋于 $0$;在 $x$ 趋于 $+\infty$ 时,趋于 $+\infty$。若 $1>a>0$,则 $a^x$ 在 $x$ 趋于 $-\infty$ 时,趋于 $+\infty$;在 $x$ 趋于 $+\infty$ 时,趋于 $0$。这是根据幂运算的性质得到的。同样关于 “趋于”、“无穷” 这两个词,现在只需要有一个感性的理解就可以了,它是符合几何直观的。关于他们的具体内涵,会在大学阶段学习。

函数图像

   根据上面的分析可以得到两类函数的图像,分别是 $a>1$ 和 $0< a<1$ 情况的。

未完成:图像
函数是光滑的,并且 $| \ln\left(a\right) |$3越大,图像越会靠近 $y$ 轴;$| \ln\left(a\right) |$ 越小,图像越会靠近直线 $y=1$。

3. 指数爆炸

   指数爆炸(exponential growth)指的是函数值随自变量呈指数级别的快速增长,它的显著特征是初期增速缓慢,但随后会急剧加速。指数函数的增长速度非常快,对于初等函数而言,当参数 x 足够大时,指数函数的增长速度是最快的。具体来说,若参数 $a > 1$,在第一象限内($x > 0$)的典型函数增长速度从慢到快通常满足以下顺序:

\begin{equation} a < \log_a{x} < x^a < a^x~. \end{equation}

   式子中,常数 $a$ 是一个固定值,不随 $x$ 改变,或者说不增加。对数函数 $\log_a{x}$ 的值在 $x$ 越大时,仍在增加,但增速会越来越慢,仅略大于不增。幂函数 $x^a$ 和指数函数 $a^x$ 的增长速度都会随着 $x$ 增加,$x^a$ 增速逐渐加快,但 $x^a$ 比指数函数 $a^x$ 慢,一般认为相较于指数函数,幂函数是线性或近似线性的。指数增长会呈现 “爆炸式” 的加速,远超其他初等函数。

   这是一个一般规律,在定性地判断函数值和趋势时会比较有效,熟练使用会在很多题目中快速确定解题方向。

例 1 已知函数 $f(x)=(x-2)e^x,g(x)=a(x-1)^2$,讨论 $a$ 与二者交点的关系。

   下面进行定性分析:

   易知 $f(0)=-2,f(2)=0$,且在函数趋于 $-\infty$ 时,函数趋于 $0$,在函数趋于 $+\infty$ 时,函数趋于 $+\infty$(这里的无穷判断就与指数爆炸相关,当两个函数相乘时,在无穷处一般可以根据上面的增长速度判定。)。而 $g(x)$ 是一个开口方向及敞口大小与 $a$ 相关的抛物线,$|a|$ 越大,敞口越小,唯一的零点在 $x=1$ 处。

   当 $a>0$ 时,开口向上,此时两个函数只能有一个交点。

   首先,二者必然相交。因为在 $x=1$ 处,显然 $f(1)<0=g(1)$,而 $f(x)$ 的增长速度比 $g(x)$ 快,哪怕 $g(x)$ 的敞口再小,总有一个点之后,$f(x)$ 会在 $g(x)$ 上方。又因为相交后,二者就会快速分开,所以二者只能相交一次。

   当 $a>0$ 时,开口向上,此时两个函数有两个交点。

   从上面的分析,$f(2)=0,f(-\infty)=0,f(1)<0$,而 $g(2)<0,g(-\infty)<0,g(1)=0$。很显然,在 $(-\infty,1),(1,2)$ 两个区间上,各自会存在零点。同时,由于 $f(x)$ 在这一段上与 $g(x)$ 相比近乎一条水平直线,于是每个区间上也只会存在一个零点。

4. 柯西函数方程

   柯西函数方程 (Cauchy functional equation)是柯西提出的是数学分析中具有加性和乘性特征的几个方程。它们的形式如下:

  1. $f(x+y)=f(x)+f(y)$
  2. $f(xy) = f(x) f(y)$
  3. $f(x+y)=f(x)f(y)$
  4. $f(xy) = f(x)+f(y)$

   刚看到可能觉得有点吓人,下面以第一个作为例子表示一下它的含义:函数 $f(x)$ 满足,任取两个自变量的值时,这两个自变量 $x,y$ 的和 $x+y$ 对应的函数值 $f(x+y)$ 与他们对应的函数值 $f(x),f(y)$ 的和 $f(x)+f(y)$ 相等。这里的 $y$ 只表示某一个可以任意赋值的,与 $x$ 无关的自变量。

   由于他们无关,可以任意给他们赋值来研究它的性质:

   上面的方法是研究此类抽象函数的一种普遍方法,通过上面的推理已经可以证明 $f(x)=xf(1)$ 对任意有理数 $x$ 都成立,设 $f(1)=c$ 的话,可知函数表达式为 $f(x)=cx$。事实上,这个表达式对 $x\in\mathbb{R}$ 都成立,不过证明就超过高中范畴了。

   其他的方程也可以通过类似的方法进行研究,不过好在,这些方程已经被很多人研究过,下面直接给出各个函数的某种解的形式4,可以自行带入验证:

  1. $f(x+y)=f(x)+f(y)\implies f(x)=cx$(正比例函数、线性函数)
  2. $f(xy)=f(x)f(y)\implies f(x)=x^a$(幂函数
  3. $f(x+y)=f(x)f(y)\implies f(x)=a^x$(指数函数)
  4. $f(xy)=f(x)+f(y)\implies f(x)=\log_ax$(对数函数

   因此,也可以说,在某个视角上,这几种函数根本的性质就是柯西函数方程描述的样子。

5. 自然常数 $ \mathrm{e} $

引入

   自然常数一般会通过下面这个例子来引入。假设在银行存入 $1$ 元,银行承诺年利率为 $100\%$,利息的计算公式是 “$\text{利息}=\text{本金}\times\text{年利率}\times\text{存款年数(时间)}$”。下面的计算不要关注每次计算的得到的数值,而是要关注计算过程的变化整合。

   最简单的情况是银行一年只结算一次利息,这时年末得到的收入就是 $1\times100\%\times1=1$。这样,一年后 1 元会变成 $1+1\times100\%=1\times(1+100\%)^1=2$ 元。

   如果要求银行 “每半年结算一次利息”,这样计算的好处是,第一次结算之后的利息会作为本金参与到第二次的计算中。于是第一次结算时,利息为 $\displaystyle1\times100\%\times\frac{1}{2}=0.5$。第二次计息时的本金变成了 $\displaystyle1+1\times100\%\times\frac{1}{2}=1.5$。第二次的利息就是 $\displaystyle(1+1\times100\%\times\frac{1}{2})\times100\%\times\frac{1}{2}=\frac{1.5}{2}=0.75$。于是最终的收入变成了 $\displaystyle1+1\times100\%\times\frac{1}{2}+(1+1\times100\%\times\frac{1}{2})\times100\%\times\frac{1}{2}=\frac{1.5}{2}=2.25$。相比第一次多出来的那 $0.25$ 就是因为计息次数变多带来的5。整理一下其实就是 $1\times(1+\frac{100\%}{2})^2=2.25$。

   可以自己试一试 “每三个月一次” 和 “每个月一次”,整理后从银行取出的金额 $A(n)$ 都会变成如下的形式:

\begin{equation} A(n)=a\times\left(1+\frac{1}{n}\right)^n~. \end{equation}
其中 $a$ 是本金,$n$ 是一年计息的次数。

   上面算过 $A(1)=2,A(2)=2.25$,另外上面提到的 “每三个月一次” 和 “每个月一次” 分别对应 $A(4)\approx 2.4414$、$A(12)\approx 2.6130$。可以看出 $A(n)$ 似乎是不断递增的,于是不禁要问,这个函数会一直递增吗?有没有最大值?通过计算器计算可知每天一次、小时一次和每秒一次分别是 $A(365)\approx 2.7146$、$A(8760)\approx2.7181$、$A(31536000)\approx 2.718266$。看上去好像逐渐停止在小于 $2.72$ 的某个数字了,但如果仅凭这样的直觉,可能会出错。

   数学家们证明了,这个函数是一直递增的,而且有一个上限,称这个函数的上限6为自然常数,记作 $ \mathrm{e} $,定义为:

\begin{equation} \mathrm{e} = \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n~. \end{equation}
如果看不懂这个表达方式没问题,只需要理解它是上面那个存款过程的最终结果,是一个常数,就可以。它描述了增长速度的极限,不仅与利息有关,它还出现在很多自然现象中,比如人口增长和放射性衰变,它是数学中研究 “不断变化” 的核心工具,简单来说,$ \mathrm{e} $ 代表着在不受限制的情况下,某种东西增长到最快时能达到的程度。

对比

   自然常数 $ \mathrm{e} \approx 2.71828$,它和早已在小学时就接触过的 $\pi$ 有许多相似点。

   他们都是无理数,这意味着它们不能表示为两个整数的比值。它们的小数部分是无限且不循环的,也就是说,在任何整数进制中它们都永远不会终止或重复。

   他们也都是超越数,意思是它们不能作为任何有理系数多项式方程的解。换句话说,这比无理数的要求更加严格。它们不仅不能表示为整数之比,也不能通过各阶的根式表示。$ \mathrm{e} $ 的超越性由查尔斯·埃尔米特(Charles Hermite)在 1873 年证明,$\pi$ 的超越性由费迪南德·冯·林德曼(Ferdinand von Lindemann)在 1882 年证明。

   二者都可以用无穷展开的方式来表示,下面给出两个常见的展开方式7

\begin{equation} \pi=4\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^i}{2i+1}~. \end{equation}
\begin{equation} \mathrm{e} =\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{i!}~. \end{equation}

   $ \mathrm{e} $ 的定义有很多种方式,除了之前提到的广为了解的极限定义。下面将给出另一个定义:$ \mathrm{e} $ 是使得

\begin{equation} f'(x) = f(x)~. \end{equation}
成立的指数函数的底数,这意味着以 $ \mathrm{e} $ 为底的指数函数是唯一的能够保持自身增长速度不变的函数。


1. ^ 类比狄利克雷函数可知,这个函数无法画出图像。
2. ^ 这种写法表示参数是 $a_1,a_2$
3. ^ 这里的符号是对数,此处如果看不懂可以先跳过。
4. ^ 可能有其他的解,但不在此处的讨论范畴内。
5. ^ 因此银行也会调低短期存储的利率,以降低短期储蓄的收入来保证长期投资的权益。
6. ^ 确切的说叫上确界
7. ^ 关于求和符号可以参考求和符号(高中),关于阶乘可以参考阶乘(高中)。


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