基本群的计算

                     

贡献者： JierPeter

预备知识 1　基本群，可缩空间，群的自由积

　　 虽然把各阶同伦群都考虑进去以后可以很详细地刻画空间的伦型，但是高阶同伦群大多极其难计算。本节简单介绍一阶同伦群，即基本群的计算方法。

1. 基本群计算的工具

　　 我们列举一些方便用于计算基本群的定理如下。

定理 1　积空间的基本群

　　 给定拓扑空间 $X$ 和 $Y$，则 $\pi_1(X\times Y)=\pi_1(X)\times\pi_1(Y)$。

定理 2　Seifert-van Kampen 定理

　　 设拓扑空间 $X$ 可以被它的两个开集 $U_1$ 和 $U_2$ 覆盖，即 $X=U_1\cup U_2$；若 $U_1$，$U_2$ 和 $U_1\cap U_2$ 都是道路连通空间，取 $U_1\cap U_2$ 中一个点作为基点来构造各空间的基本群。设 $f_i:U_1\cap U_2\rightarrow U_i$ 为恒等嵌入，即 $\forall x\in U_1\cap U_2, f_i(x)=x\in U_i$。如果用 $f_i$ 来定义 $\pi_1(U_1\cap U_2)$ 到 $\pi_1(U_i)$ 上的同态，那么有：$\pi_1(X)=\pi_1(U_1)*_{\pi_1(U_1\cap U_2)}\pi_1(U_2)$。

　　 Seifert-van Kampen 定理难以简洁表达，不过如果能充分理解群的自由积，应该容易理解该定理。不过，我们可以考虑该定理的弱化版本，此版本用处也很广泛：

定理 3　弱化版 Seifert-van Kampen 定理

　　 设拓扑空间 $X$ 可以被它的两个开集 $U_1$ 和 $U_2$ 覆盖，并且 $U_1\cap U_2$ 是单连通的定义 1 ，那么有 $\pi_1(X)=\pi_1(U_1)*\pi_1(U_2)$。

　　 除此之外，我们在可缩空间中提到的形变收缩也能用于大大简化基本群的计算。

定理 4　形变收缩核的同伦

　　 给定拓扑空间 $X$。如果 $f:X\rightarrow A\in X$ 是一个形变收缩，且 $A$ 是其收缩核，那么 $X\cong A$。

　　 证明很简单，由形变收缩的定义可知，$f:X\rightarrow A$ 和 $1_X:A\rightarrow X$ 是彼此的同伦逆；$1_X$ 是 $X$ 到自身的恒等映射，由于此处将其限制在 $A$ 上，也可以记为 $1_A=1_X|_A$。

　　 定理 4 很好地展示了同胚和同伦的区别：如果存在一个形变收缩，把拓扑空间压成更低维度的情况，比如将烟卷压成圆环，那么收缩前后的空间是同伦的，但它们由于维度不同，就不会同胚。

定理 5　锥空间的基本群

　　 设 $X$ 是任意非空的拓扑空间，则 $\pi_1(\widetilde{C}X)=\{e\}$，即为只有一个元素的平凡群。

　　 锥空间的基本群总是平凡群，也就是说所有回路都是保基点同伦的。这是因为，首先锥空间一定是道路连通空间，因此基点可以任意选择，不妨选为锥顶点；其次，任何一条回路都可以通过各点沿着锥空间的 $I$ 分量连续地收缩到锥顶点上，从而和恒等于锥顶点的回路同伦。

2. 基本群计算实例

预备知识 2　复数，覆叠空间

　　 $S^1$ 是用于构建许多拓扑空间的伦型的原料，因此严格证明 $S^1$ 的基本群非常重要。例 1 提供了严格证明的大体思路，限于篇幅，只能由有兴趣的读者自行补充细节了。

例 1　$S^1$ 的基本群

　　 将 $S^1$ 看成复平面上的单位圆 $\{ \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} t}\in\mathbb{C}|t\in\mathbb{R}\}=\{x+y \mathrm{i} \in\mathbb{C}|x=\cos{2\pi t}, y=\sin{2\pi t}\}$。取通常的实度量空间 $\mathbb{R}$，建立映射 $p:\mathbb{R}\rightarrow S^1$，其中 $p(t)= \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} t}$，则 $p$ 是一个覆叠映射。

　　 把 $S^1$ 看成 $\mathbb{R}$ 的商拓扑空间，其中等价关系 $\sim$ 为：$x\sim y\iff \left\lvert x-y \right\rvert \in\mathbb{Z}$，即把实数轴绕到周长为 $1$ 的圆上。对于圆周上任意一个点 $ \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} t_0}$，可以取典范邻域 $U_{t_0}=\{ \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} t}|t\in(t_0-1/4, t_0+1/4)\}$。这里 $1/4$ 的选择是任意的，换成任何小于 $1/2$ 的正数也可以，我们只需要用该典范邻域来说明接下来定义的提升映射 $\tilde{f}$ 是唯一的。

　　 取 $S^1$ 的基点为 $p(0)=1$，设 $S^1$ 中有一条道路 $f:I\rightarrow S^1$。我们可以把 $f$提升为 $\mathbb{R}$ 中的道路 $\tilde{f}:I\rightarrow\mathbb{R}$，使得 $f=p\circ\tilde{f}$。如果取定 $\tilde{f}(0)=0$，那么这种提升是唯一的1。这样，我们就可以通过唯一的提升，把道路 $f$ 都表示为 $\tilde{f}$。这样做的好处是，$\tilde{f}$ 的图像容易画出来。

　　 任意回路 $f:I\rightarrow S^1$ 表示为 $\tilde{f}:I\rightarrow\mathbb{R}$ 后，必然是 $I\times\mathbb{R}$ 平面上，从点 $(0, 0)$ 出发，结束于 $(1, f(1))$ 的一段连续函数，其中 $f(1)$ 是一个整数2。在这个例子的情况下，函数 $g$ 和 $f$ 保基点同伦当且仅当 $\tilde{g}$ 的图像也是从点 $(0, 0)$ 出发，结束于 $(1, f(1))$ 的连续函数。

　　 有了以上约定，我们就可以把 $S^1$ 中的道路积表示如图。

图
图 1：$S^1$ 上的回路 $f_1$ 和 $f_2$，以及它们的回路积 $f_1*f_2$。

　　 记按照以上约定所得到的 $\tilde{f}(1)$ 为回路 $f$ 的度数，记为 $ \operatorname {deg}{f}$。由图 1 易知，保基点同伦的回路都有相同的度数，并且 $ \operatorname {deg}{f_1*f_2}= \operatorname {deg}{f_1}+ \operatorname {deg}{f_2}$。

　　 因此，容易得出一维球面的基本群：$\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$。

　　 例子中的讨论是较为严谨的思路，实际上可以直观地把 $\pi_1(S^1)$ 中的各元素（回路类）看成是顺时针或逆时针绕过整个圆周 $n$ 周后回到基点的回路所构成的类，其中 $n$ 是一个整数，因此基本群同构于整数加群。比如说，如果选定逆时针为正方向，那么顺时针旋转 $2$ 圈后回到基点的回路类就对应于 $-2$。

例 2　和 $S^1$ 有关的空间中的基本群

　　 由于 $\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$，结合本节所述定理，我们可以轻松计算如下空间的基本群：

  • 甜甜圈空间可以表示为 $S^1\times S^1$，因此其基本群为 $\pi_1(S^1\times S^1)=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$。
  • 高维甜甜圈 $S^1\times\cdots\times S^1$ 的基本群是 $\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}$。
  • 二阶圈图 $S^1\vee S^1$（定义 4 ）的基本群是 $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$。
  • 高阶圈图 $S^1\vee\cdots\vee S^1$ 的基本群是 $\mathbb{Z}*\cdots*\mathbb{Z}$。

例 3　莫比乌斯带的基本群

　　 莫比乌斯带 $M$ 可以通过强形变收缩（定义 3 ）来同伦于其中轴线 $S^1$，因此莫比乌斯带的基本群和 $S^1$ 一样，都是 $\mathbb{Z}$。

　　 理解莫比乌斯带基本群的难点是看出中轴线是其强形变收缩核，为了方便描述如何构造对应的强形变收缩，我们把莫比乌斯带看成射影平面挖去中心的结果，如所示。

　　 由于射影平面本身可以看成一个圆盘 $B^2$ 的商拓扑空间，我们同样可以把 $M$ 看成圆盘 $B^2$ 挖去中心后再取商拓扑，也就是看成圆环的商拓扑空间。不失一般性地，把这个圆环看成半径为 $2$ 的圆和半径为 $1$ 的圆之间的部分。取映射 $f:M\times I\rightarrow M$，其中对于任意 $(x, y)\in M, t\in I$，都有 $f((x, y), t)= (1+t/(1-\sqrt{x^2+y^2}))(x, y)$，则 $f$ 是一个强形变收缩，其收缩核就是圆环的外边缘；取商拓扑可见，这个外边缘正是莫比乌斯带的中轴线。

习题 1　莫比乌斯带的强形变收缩

　　 验证例 3 中的 $f$ 是同伦，进而证明它确实是强形变收缩。提示：先考虑未将圆环外边缘的对径点粘合时的情况，再对比考虑粘合后的效果。

习题 2　

　　 将莫比乌斯带看成一个射影平面挖去中心后的空间。如果将沿着外边缘走了半圈的回路类3记为 $a\in\pi_1(M)$，那么绕着中心缺口顺时针旋转一周的回路类是 $\pi_1(M)$ 中的哪个元素？

　　 答案是 $a^2$。

1. ^ 这是因为通过 $f$ 可以确定 $\tilde{f}$ 的导函数，从而能确定 $\tilde{f}$ 本身，最多只相差一个积分常数，即起点的位置。规定起点的位置是 $0$ 后，这个提升映射就是唯一的了。
2. ^ 因为 $f$ 要构成回路，$f=p\cdot\tilde{f}$，而只有整数能被 $p$ 映射到 $S^1$ 的基点上。
3. ^ 走了半圈就回到了起点，因为对径点粘在一起了。


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