基本群的计算

                     

贡献者： JierPeter

预备知识 1　基本群，可缩空间，群的自由积

　　 虽然把各阶同伦群都考虑进去以后可以很详细地刻画空间的伦型，但是高阶同伦群大多极其难计算。本节简单介绍一阶同伦群，即基本群的计算方法。

1. 基本群计算的工具

　　 我们列举一些方便用于计算基本群的定理如下。

定理 1　积空间的基本群

　　 给定拓扑空间 $X$ 和 $Y$，则 $\pi_1(X\times Y)=\pi_1(X)\times\pi_1(Y)$。

定理 2　Seifert-van Kampen 定理

　　 设拓扑空间 $X$ 可以被它的两个开集 $U_1$ 和 $U_2$ 覆盖，即 $X=U_1\cup U_2$；若 $U_1$，$U_2$ 和 $U_1\cap U_2$ 都是道路连通空间，取 $U_1\cap U_2$ 中一个点作为基点来构造各空间的基本群。设 $f_i:U_1\cap U_2\rightarrow U_i$ 为恒等嵌入，即 $\forall x\in U_1\cap U_2, f_i(x)=x\in U_i$。如果用 $f_i$ 来定义 $\pi_1(U_1\cap U_2)$ 到 $\pi_1(U_i)$ 上的同态，那么有：$\pi_1(X)=\pi_1(U_1)*_{\pi_1(U_1\cap U_2)}\pi_1(U_2)$。

　　 Seifert-van Kampen 定理难以简洁表达，不过如果能充分理解群的自由积，应该容易理解该定理。不过，我们可以考虑该定理的弱化版本，此版本用处也很广泛：

定理 3　弱化版 Seifert-van Kampen 定理

　　 设拓扑空间 $X$ 可以被它的两个开集 $U_1$ 和 $U_2$ 覆盖，并且 $U_1\cap U_2$ 是单连通的定义 1 ，那么有 $\pi_1(X)=\pi_1(U_1)*\pi_1(U_2)$。

　　 除此之外，我们在可缩空间中提到的形变收缩也能用于大大简化基本群的计算。

定理 4　形变收缩核的同伦

　　 给定拓扑空间 $X$。如果 $f:X\rightarrow A\in X$ 是一个形变收缩，且 $A$ 是其收缩核，那么 $X\cong A$。

　　 证明很简单，由形变收缩的定义可知，$f:X\rightarrow A$ 和 $1_X:A\rightarrow X$ 是彼此的同伦逆；$1_X$ 是 $X$ 到自身的恒等映射，由于此处将其限制在 $A$ 上，也可以记为 $1_A=1_X|_A$。

　　 定理 4 很好地展示了同胚和同伦的区别：如果存在一个形变收缩，把拓扑空间压成更低维度的情况，比如将烟卷压成圆环，那么收缩前后的空间是同伦的，但它们由于维度不同，就不会同胚。

定理 5　锥空间的基本群

　　 设 $X$ 是任意非空的拓扑空间，则 $\pi_1(\widetilde{C}X)=\{e\}$，即为只有一个元素的平凡群。

　　 锥空间的基本群总是平凡群，也就是说所有回路都是保基点同伦的。这是因为，首先锥空间一定是道路连通空间，因此基点可以任意选择，不妨选为锥顶点；其次，任何一条回路都可以通过各点沿着锥空间的 $I$ 分量连续地收缩到锥顶点上，从而和恒等于锥顶点的回路同伦。

2. 基本群计算实例

预备知识 2　复数，覆叠空间

　　 $S^1$ 是用于构建许多拓扑空间的伦型的原料，因此严格证明 $S^1$ 的基本群非常重要。例 1 提供了严格证明的大体思路，限于篇幅，只能由有兴趣的读者自行补充细节了。

例 1　$S^1$ 的基本群

　　 将 $S^1$ 看成复平面上的单位圆 $\{ \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} t}\in\mathbb{C}|t\in\mathbb{R}\}=\{x+y \mathrm{i} \in\mathbb{C}|x=\cos{2\pi t}, y=\sin{2\pi t}\}$。取通常的实度量空间 $\mathbb{R}$，建立映射 $p:\mathbb{R}\rightarrow S^1$，其中 $p(t)= \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} t}$，则 $p$ 是一个覆叠映射。

　　 把 $S^1$ 看成 $\mathbb{R}$ 的商拓扑空间，其中等价关系 $\sim$ 为：$x\sim y\iff \left\lvert x-y \right\rvert \in\mathbb{Z}$，即把实数轴绕到周长为 $1$ 的圆上。对于圆周上任意一个点 $ \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} t_0}$，可以取典范邻域 $U_{t_0}=\{ \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} t}|t\in(t_0-1/4, t_0+1/4)\}$。这里 $1/4$ 的选择是任意的，换成任何小于 $1/2$ 的正数也可以，我们只需要用该典范邻域来说明接下来定义的提升映射 $\tilde{f}$ 是唯一的。

　　 取 $S^1$ 的基点为 $p(0)=1$，设 $S^1$ 中有一条道路 $f:I\rightarrow S^1$。我们可以把 $f$提升为 $\mathbb{R}$ 中的道路 $\tilde{f}:I\rightarrow\mathbb{R}$，使得 $f=p\circ\tilde{f}$。如果取定 $\tilde{f}(0)=0$，那么这种提升是唯一的1。这样，我们就可以通过唯一的提升，把道路 $f$ 都表示为 $\tilde{f}$。这样做的好处是，$\tilde{f}$ 的图像容易画出来。

　　 任意回路 $f:I\rightarrow S^1$ 表示为 $\tilde{f}:I\rightarrow\mathbb{R}$ 后，必然是 $I\times\mathbb{R}$ 平面上，从点 $(0, 0)$ 出发，结束于 $(1, f(1))$ 的一段连续函数，其中 $f(1)$ 是一个整数2。在这个例子的情况下，函数 $g$ 和 $f$ 保基点同伦当且仅当 $\tilde{g}$ 的图像也是从点 $(0, 0)$ 出发，结束于 $(1, f(1))$ 的连续函数。

　　 有了以上约定，我们就可以把 $S^1$ 中的道路积表示如图。

图
图 1：$S^1$ 上的回路 $f_1$ 和 $f_2$，以及它们的回路积 $f_1*f_2$。

　　 记按照以上约定所得到的 $\tilde{f}(1)$ 为回路 $f$ 的度数，记为 $ \operatorname {deg}{f}$。由图 1 易知，保基点同伦的回路都有相同的度数，并且 $ \operatorname {deg}{f_1*f_2}= \operatorname {deg}{f_1}+ \operatorname {deg}{f_2}$。

　　 因此，容易得出一维球面的基本群：$\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$。

　　 例子中的讨论是较为严谨的思路，实际上可以直观地把 $\pi_1(S^1)$ 中的各元素（回路类）看成是顺时针或逆时针绕过整个圆周 $n$ 周后回到基点的回路所构成的类，其中 $n$ 是一个整数，因此基本群同构于整数加群。比如说，如果选定逆时针为正方向，那么顺时针旋转 $2$ 圈后回到基点的回路类就对应于 $-2$。

例 2　和 $S^1$ 有关的空间中的基本群

　　 由于 $\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$，结合本节所述定理，我们可以轻松计算如下空间的基本群：

  • 甜甜圈空间可以表示为 $S^1\times S^1$，因此其基本群为 $\pi_1(S^1\times S^1)=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$。
  • 高维甜甜圈 $S^1\times\cdots\times S^1$ 的基本群是 $\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}$。
  • 二阶圈图 $S^1\vee S^1$（定义 4 ）的基本群是 $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$。
  • 高阶圈图 $S^1\vee\cdots\vee S^1$ 的基本群是 $\mathbb{Z}*\cdots*\mathbb{Z}$。

例 3　莫比乌斯带的基本群

　　 莫比乌斯带 $M$ 可以通过强形变收缩（定义 3 ）来同伦于其中轴线 $S^1$，因此莫比乌斯带的基本群和 $S^1$ 一样，都是 $\mathbb{Z}$。

　　 理解莫比乌斯带基本群的难点是看出中轴线是其强形变收缩核，为了方便描述如何构造对应的强形变收缩，我们把莫比乌斯带看成射影平面挖去中心的结果，如所示。

　　 由于射影平面本身可以看成一个圆盘 $B^2$ 的商拓扑空间，我们同样可以把 $M$ 看成圆盘 $B^2$ 挖去中心后再取商拓扑，也就是看成圆环的商拓扑空间。不失一般性地，把这个圆环看成半径为 $2$ 的圆和半径为 $1$ 的圆之间的部分。取映射 $f:M\times I\rightarrow M$，其中对于任意 $(x, y)\in M, t\in I$，都有 $f((x, y), t)= (1+t/(1-\sqrt{x^2+y^2}))(x, y)$，则 $f$ 是一个强形变收缩，其收缩核就是圆环的外边缘；取商拓扑可见，这个外边缘正是莫比乌斯带的中轴线。

习题 1　莫比乌斯带的强形变收缩

　　 验证例 3 中的 $f$ 是同伦，进而证明它确实是强形变收缩。提示：先考虑未将圆环外边缘的对径点粘合时的情况，再对比考虑粘合后的效果。

习题 2　

　　 将莫比乌斯带看成一个射影平面挖去中心后的空间。如果将沿着外边缘走了半圈的回路类3记为 $a\in\pi_1(M)$，那么绕着中心缺口顺时针旋转一周的回路类是 $\pi_1(M)$ 中的哪个元素？

　　 答案是 $a^2$。

1. ^ 这是因为通过 $f$ 可以确定 $\tilde{f}$ 的导函数，从而能确定 $\tilde{f}$ 本身，最多只相差一个积分常数，即起点的位置。规定起点的位置是 $0$ 后，这个提升映射就是唯一的了。
2. ^ 因为 $f$ 要构成回路，$f=p\cdot\tilde{f}$，而只有整数能被 $p$ 映射到 $S^1$ 的基点上。
3. ^ 走了半圈就回到了起点，因为对径点粘在一起了。


致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。

                     

友情链接： 超理论坛　|　©小时科技 保留一切权利