基本群的计算

             

预备知识 基本群,可缩空间,群的自由积

   虽然把各阶同伦群都考虑进去以后可以很详细地刻画空间的伦型,但是高阶同伦群大多极其难计算.本节简单介绍一阶同伦群,即基本群的计算方法.

1. 基本群计算定理

   我们列举一些方便用于计算基本群的定理如下.

定理 1 积空间的基本群

   给定拓扑空间 $X$ 和 $Y$,则 $\pi_1(X\times Y)=\pi_1(X)\times\pi_1(Y)$.

定理 2 Seifert-van Kampen 定理

   设拓扑空间 $X$ 可以被它的两个开集 $U_1$ 和 $U_2$ 覆盖,即 $X=U_1\cup U_2$;若 $U_1$,$U_2$ 和 $U_1\cap U_2$ 都是道路连通空间,取 $U_1\cap U_2$ 中一个点作为基点来构造各空间的基本群.设 $f_i:U_1\cap U_2\rightarrow U_i$ 为恒等嵌入,即 $\forall x\in U_1\cap U_2, f_i(x)=x\in U_i$.如果用 $f_i$ 来定义 $\pi_1(U_1\cap U_2)$ 到 $\pi_(U_i)$ 上的同态,那么有:$\pi_1(X)=\pi_1(U_1)*_{\pi_1(U_1\cap U_2)}\pi_1(U_2)$.

   Seifert-van Kampen 定理难以简洁表达,不过如果能充分理解群的自由积,应该容易理解该定理.不过,我们可以考虑该定理的弱化版本,此版本用处也很广泛:

定理 3 弱化版 Seifert-van Kampen 定理

   设拓扑空间 $X$ 可以被它的两个开集 $U_1$ 和 $U_2$ 覆盖,并且 $U_1\cap U_2$ 是单连通(例 1 )的,那么有 $\pi_1(X)=\pi_1(U_1)*\pi_1(U_2)$.

   除此之外,我们在可缩空间中提到的形变收缩也能用于大大简化基本群的计算.

定理 4 形变收缩核的同伦

   给定拓扑空间 $X$.如果 $f:X\rightarrow A\in X$ 是一个形变收缩,且 $A$ 是其收缩核,那么 $X\cong A$.

   证明很简单,由形变收缩的定义可知,$f:X\rightarrow A$ 和 $1_X:A\rightarrow X$ 是彼此的同伦逆;$1_X$ 是 $X$ 到自身的恒等映射,由于此处将其限制在 $A$ 上,也可以记为 $1_A=1_X|_A$.

   定理 4 很好地展示了同胚和同伦的区别:如果存在一个形变收缩,把拓扑空间压成更低维度的情况,比如将烟卷压成圆环,那么收缩前后的空间是同伦的,但它们由于维度不同,就不会同胚.

定理 5 锥空间的基本群

   设 $X$ 是任意非空的拓扑空间,则 $\pi_1(\widetilde{C}X)=\{e\}$,即为只有一个元素的平凡群.

   锥空间的基本群总是平凡群,也就是说所有回路都是保基点同伦的.这是因为,首先锥空间一定是道路连通空间,因此基点可以任意选择,不妨选为锥顶点;其次,任何一条回路都可以通过各点沿着锥空间的 $I$ 分量连续地收缩到锥顶点上,从而和恒等于锥顶点的回路同伦.

2. 基本群计算实例

预备知识 复数,覆叠空间

   $S^1$ 是用于构建许多拓扑空间的伦型的原料,因此严格证明 $S^1$ 的基本群非常重要.例 1 提供了严格证明的大体思路,限于篇幅,只能由有兴趣的读者自行补充细节了.

例 1 $S^1$ 的基本群

   将 $S^1$ 看成复平面上的单位圆 $\{ \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} t}\in\mathbb{C}|t\in\mathbb{R}\}=\{x+y \mathrm{i} \in\mathbb{C}|x=\cos{2\pi t}, y=\sin{2\pi t}\}$.取通常的实度量空间 $\mathbb{R}$,建立映射 $p:\mathbb{R}\rightarrow S^1$,其中 $p(t)= \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} t}$,则 $p$ 是一个覆叠映射.

   把 $S^1$ 看成 $\mathbb{R}$ 的商拓扑空间,其中等价关系 $\sim$ 为:$x\sim y\iff \left\lvert x-y \right\rvert \in\mathbb{Z}$,即把实数轴绕到周长为 $1$ 的圆上.对于圆周上任意一个点 $ \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} t_0}$,可以取典范邻域 $U_{t_0}=\{ \mathrm{e} ^{2\pi \mathrm{i} t}|t\in(t_0-1/4, t_0+1/4)\}$.这里 $1/4$ 的选择是任意的,换成任何小于 $1/2$ 的正数也可以,我们只需要用该典范邻域来说明接下来定义的提升映射 $\tilde{f}$ 是唯一的.

   取 $S^1$ 的基点为 $p(0)=1$,设 $S^1$ 中有一条道路 $f:I\rightarrow S^1$.我们可以把 $f$提升为 $\mathbb{R}$ 中的道路 $\tilde{f}:I\rightarrow\mathbb{R}$,使得 $f=p\circ\tilde{f}$.如果取定 $\tilde{f}(0)=0$,那么这种提升是唯一的1.这样,我们就可以通过唯一的提升,把道路 $f$ 都表示为 $\tilde{f}$.这样做的好处是,$\tilde{f}$ 的图像容易画出来.

   任意回路 $f:I\rightarrow S^1$ 表示为 $\tilde{f}:I\rightarrow\mathbb{R}$ 后,必然是 $I\times\mathbb{R}$ 平面上,从点 $(0, 0)$ 出发,结束于 $(1, f(1))$ 的一段连续函数,其中 $f(1)$ 是一个整数2.在这个例子的情况下,函数 $g$ 和 $f$ 保基点同伦当且仅当 $\tilde{g}$ 的图像也是从点 $(0, 0)$ 出发,结束于 $(1, f(1))$ 的连续函数.

   有了以上约定,我们就可以把 $S^1$ 中的道路积表示如图.

图
图 1:$S^1$ 上的回路 $f_1$ 和 $f_2$,以及它们的回路积 $f_1*f_2$.

   记按照以上约定所得到的 $\tilde{f}(1)$ 为回路 $f$ 的度数,记为 $ \operatorname {deg}{f}$.由图 1 易知,保基点同伦的回路都有相同的度数,并且 $ \operatorname {deg}{f_1*f_2}= \operatorname {deg}{f_1}+ \operatorname {deg}{f_2}$.

   因此,容易得出一维球面的基本群:$\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$.

   例子中的讨论是较为严谨的思路,实际上可以直观地把 $\pi_1(S^1)$ 中的各元素(回路类)看成是顺时针或逆时针绕过整个圆周 $n$ 周后回到基点的回路所构成的类,其中 $n$ 是一个整数,因此基本群同构于整数加群.比如说,如果选定逆时针为正方向,那么顺时针旋转 $2$ 圈后回到基点的回路类就对应于 $-2$.

例 2 和 $S^1$ 有关的空间中的基本群

   由于 $\pi_1(S^1)=\mathbb{Z}$,结合本节所述定理,我们可以轻松计算如下空间的基本群:

  • 甜甜圈空间可以表示为 $S^1\times S^1$,因此其基本群为 $\pi_1(S^1\times S^1)=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.
  • 高维甜甜圈 $S^1\times\cdots\times S^1$ 的基本群是 $\mathbb{Z}\times\cdots\times\mathbb{Z}$.
  • 二阶圈图 $S^1\vee S^1$(定义 4 )的基本群是 $\mathbb{Z}*\mathbb{Z}$.
  • 高阶圈图 $S^1\vee\cdots\vee S^1$ 的基本群是 $\mathbb{Z}*\cdots*\mathbb{Z}$.

例 3 莫比乌斯带的基本群

   莫比乌斯带 $M$ 可以通过强形变收缩(定义 3 )来同伦于其中轴线 $S^1$,因此莫比乌斯带的基本群和 $S^1$ 一样,都是 $\mathbb{Z}$.

   理解莫比乌斯带基本群的难点是看出中轴线是其强形变收缩核,为了方便描述如何构造对应的强形变收缩,我们把莫比乌斯带看成射影平面挖去中心的结果,如所示.

   由于射影平面本身可以看成一个圆盘 $B^2$ 的商拓扑空间,我们同样可以把 $M$ 看成圆盘 $B^2$ 挖去中心后再取商拓扑,也就是看成圆环的商拓扑空间.不失一般性地,把这个圆环看成半径为 $2$ 的圆和半径为 $1$ 的圆之间的部分.取映射 $f:M\times I\rightarrow M$,其中对于任意 $(x, y)\in M, t\in I$,都有 $f((x, y), t)= (1+t/(1-\sqrt{x^2+y^2}))(x, y)$,则 $f$ 是一个强形变收缩,其收缩核就是圆环的外边缘;取商拓扑可见,这个外边缘正是莫比乌斯带的中轴线.

习题 1 莫比乌斯带的强形变收缩

   验证例 3 中的 $f$ 是同伦,进而证明它确实是强形变收缩.提示:先考虑未将圆环外边缘的对径点粘合时的情况,再对比考虑粘合后的效果.

习题 2 

   将莫比乌斯带看成一个射影平面挖去中心后的空间.如果将沿着外边缘走了半圈的回路类3记为 $a\in\pi_1(M)$,那么绕着中心缺口顺时针旋转一周的回路类是 $\pi_1(M)$ 中的哪个元素?

   答案是 $a^2$.


1. ^ 这是因为通过 $f$ 可以确定 $\tilde{f}$ 的导函数,从而能确定 $\tilde{f}$ 本身,最多只相差一个积分常数,即起点的位置.规定起点的位置是 $0$ 后,这个提升映射就是唯一的了.
2. ^ 因为 $f$ 要构成回路,$f=p\cdot\tilde{f}$,而只有整数能被 $p$ 映射到 $S^1$ 的基点上.
3. ^ 走了半圈就回到了起点,因为对径点粘在一起了.

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