基本群的计算

贡献者： JierPeter

预备知识 1　基本群，可缩空间，群的自由积

　　虽然把各阶同伦群都考虑进去以后可以很详细地刻画空间的伦型，但是高阶同伦群大多极其难计算。本节简单介绍一阶同伦群，即基本群的计算方法。

1. 基本群计算的工具

　　我们列举一些方便用于计算基本群的定理如下。

定理 1　积空间的基本群

　　给定拓扑空间 $X$ 和 $Y$ ，则 $π_{1} (X \times Y) = π_{1} (X) \times π_{1} (Y)$ 。

定理 2　Seifert-van Kampen 定理

　　设拓扑空间 $X$ 可以被它的两个开集 $U_{1}$ 和 $U_{2}$ 覆盖，即 $X = U_{1} \cup U_{2}$ ；若 $U_{1}$ ， $U_{2}$ 和 $U_{1} \cap U_{2}$ 都是道路连通空间，取 $U_{1} \cap U_{2}$ 中一个点作为基点来构造各空间的基本群。设 $f_{i} : U_{1} \cap U_{2} \to U_{i}$ 为恒等嵌入，即 $\forall x \in U_{1} \cap U_{2}, f_{i} (x) = x \in U_{i}$ 。如果用 $f_{i}$ 来定义 $π_{1} (U_{1} \cap U_{2})$ 到 $π_{1} (U_{i})$ 上的同态，那么有： $π_{1} (X) = π_{1} (U_{1}) *_{π_{1} (U_{1} \cap U_{2})} π_{1} (U_{2})$ 。

　　 Seifert-van Kampen 定理难以简洁表达，不过如果能充分理解群的自由积，应该容易理解该定理。不过，我们可以考虑该定理的弱化版本，此版本用处也很广泛：

定理 3　弱化版 Seifert-van Kampen 定理

　　设拓扑空间 $X$ 可以被它的两个开集 $U_{1}$ 和 $U_{2}$ 覆盖，并且 $U_{1} \cap U_{2}$ 是单连通的定义 1 ，那么有 $π_{1} (X) = π_{1} (U_{1}) * π_{1} (U_{2})$ 。

　　除此之外，我们在可缩空间中提到的形变收缩也能用于大大简化基本群的计算。

定理 4　形变收缩核的同伦

　　给定拓扑空间 $X$ 。如果 $f : X \to A \in X$ 是一个形变收缩，且 $A$ 是其收缩核，那么 $X ≅ A$ 。

　　证明很简单，由形变收缩的定义可知， $f : X \to A$ 和 $1_{X} : A \to X$ 是彼此的同伦逆； $1_{X}$ 是 $X$ 到自身的恒等映射，由于此处将其限制在 $A$ 上，也可以记为 $1_{A} = 1_{X} |_{A}$ 。

　　定理 4 很好地展示了同胚和同伦的区别：如果存在一个形变收缩，把拓扑空间压成更低维度的情况，比如将烟卷压成圆环，那么收缩前后的空间是同伦的，但它们由于维度不同，就不会同胚。

定理 5　锥空间的基本群

　　设 $X$ 是任意非空的拓扑空间，则 $π_{1} (\tilde{C} X) = {e}$ ，即为只有一个元素的平凡群。

　　锥空间的基本群总是平凡群，也就是说所有回路都是保基点同伦的。这是因为，首先锥空间一定是道路连通空间，因此基点可以任意选择，不妨选为锥顶点；其次，任何一条回路都可以通过各点沿着锥空间的 $I$ 分量连续地收缩到锥顶点上，从而和恒等于锥顶点的回路同伦。

2. 基本群计算实例

预备知识 2　复数，覆叠空间

　　 $S^{1}$ 是用于构建许多拓扑空间的伦型的原料，因此严格证明 $S^{1}$ 的基本群非常重要。例 1 提供了严格证明的大体思路，限于篇幅，只能由有兴趣的读者自行补充细节了。

例 1　 $S^{1}$ 的基本群

　　将 $S^{1}$ 看成复平面上的单位圆 ${e^{2 π i t} \in C | t \in R} = {x + y i \in C | x = \cos 2 π t, y = \sin 2 π t}$ 。取通常的实度量空间 $R$ ，建立映射 $p : R \to S^{1}$ ，其中 $p (t) = e^{2 π i t}$ ，则 $p$ 是一个覆叠映射。

　　把 $S^{1}$ 看成 $R$ 的商拓扑空间，其中等价关系 $\sim$ 为： $x \sim y ⟺ | x - y | \in Z$ ，即把实数轴绕到周长为 $1$ 的圆上。对于圆周上任意一个点 $e^{2 π i t_{0}}$ ，可以取典范邻域 $U_{t_{0}} = {e^{2 π i t} | t \in (t_{0} - 1 / 4, t_{0} + 1 / 4)}$ 。这里 $1 / 4$ 的选择是任意的，换成任何小于 $1 / 2$ 的正数也可以，我们只需要用该典范邻域来说明接下来定义的提升映射 $\tilde{f}$ 是唯一的。

　　取 $S^{1}$ 的基点为 $p (0) = 1$ ，设 $S^{1}$ 中有一条道路 $f : I \to S^{1}$ 。我们可以把 $f$ 提升为 $R$ 中的道路 $\tilde{f} : I \to R$ ，使得 $f = p \circ \tilde{f}$ 。如果取定 $\tilde{f} (0) = 0$ ，那么这种提升是唯一的¹。这样，我们就可以通过唯一的提升，把道路 $f$ 都表示为 $\tilde{f}$ 。这样做的好处是， $\tilde{f}$ 的图像容易画出来。

　　任意回路 $f : I \to S^{1}$ 表示为 $\tilde{f} : I \to R$ 后，必然是 $I \times R$ 平面上，从点 $(0, 0)$ 出发，结束于 $(1, f (1))$ 的一段连续函数，其中 $f (1)$ 是一个整数²。在这个例子的情况下，函数 $g$ 和 $f$ 保基点同伦当且仅当 $\tilde{g}$ 的图像也是从点 $(0, 0)$ 出发，结束于 $(1, f (1))$ 的连续函数。

　　有了以上约定，我们就可以把 $S^{1}$ 中的道路积表示如图。

图 1：

S^{1}

上的回路

f_{1}

和

f_{2}

，以及它们的回路积

f_{1} * f_{2}

。

　　记按照以上约定所得到的 $\tilde{f} (1)$ 为回路 $f$ 的度数，记为 $\deg f$ 。由图 1 易知，保基点同伦的回路都有相同的度数，并且 $\deg f_{1} * f_{2} = \deg f_{1} + \deg f_{2}$ 。

　　因此，容易得出一维球面的基本群： $π_{1} (S^{1}) = Z$ 。

　　例子中的讨论是较为严谨的思路，实际上可以直观地把 $π_{1} (S^{1})$ 中的各元素（回路类）看成是顺时针或逆时针绕过整个圆周 $n$ 周后回到基点的回路所构成的类，其中 $n$ 是一个整数，因此基本群同构于整数加群。比如说，如果选定逆时针为正方向，那么顺时针旋转 $2$ 圈后回到基点的回路类就对应于 $- 2$ 。

例 2　和 $S^{1}$ 有关的空间中的基本群

　　由于 $π_{1} (S^{1}) = Z$ ，结合本节所述定理，我们可以轻松计算如下空间的基本群：

甜甜圈空间可以表示为 $S^{1} \times S^{1}$ ，因此其基本群为 $π_{1} (S^{1} \times S^{1}) = Z \times Z$ 。
高维甜甜圈 $S^{1} \times \dots \times S^{1}$ 的基本群是 $Z \times \dots \times Z$ 。
二阶圈图 $S^{1} \lor S^{1}$ （定义 4 ）的基本群是 $Z * Z$ 。
高阶圈图 $S^{1} \lor \dots \lor S^{1}$ 的基本群是 $Z * \dots * Z$ 。

例 3　莫比乌斯带的基本群

　　莫比乌斯带 $M$ 可以通过强形变收缩（定义 3 ）来同伦于其中轴线 $S^{1}$ ，因此莫比乌斯带的基本群和 $S^{1}$ 一样，都是 $Z$ 。

　　理解莫比乌斯带基本群的难点是看出中轴线是其强形变收缩核，为了方便描述如何构造对应的强形变收缩，我们把莫比乌斯带看成射影平面挖去中心的结果，如所示。

　　由于射影平面本身可以看成一个圆盘 $B^{2}$ 的商拓扑空间，我们同样可以把 $M$ 看成圆盘 $B^{2}$ 挖去中心后再取商拓扑，也就是看成圆环的商拓扑空间。不失一般性地，把这个圆环看成半径为 $2$ 的圆和半径为 $1$ 的圆之间的部分。取映射 $f : M \times I \to M$ ，其中对于任意 $(x, y) \in M, t \in I$ ，都有 $f ((x, y), t) = (1 + t / (1 - \sqrt{x^{2} + y^{2}})) (x, y)$ ，则 $f$ 是一个强形变收缩，其收缩核就是圆环的外边缘；取商拓扑可见，这个外边缘正是莫比乌斯带的中轴线。

习题 1　莫比乌斯带的强形变收缩

　　验证例 3 中的 $f$ 是同伦，进而证明它确实是强形变收缩。提示：先考虑未将圆环外边缘的对径点粘合时的情况，再对比考虑粘合后的效果。

习题 2　

　　将莫比乌斯带看成一个射影平面挖去中心后的空间。如果将沿着外边缘走了半圈的回路类³记为 $a \in π_{1} (M)$ ，那么绕着中心缺口顺时针旋转一周的回路类是 $π_{1} (M)$ 中的哪个元素？

　　答案是 $a^{2}$ 。

1. ^ 这是因为通过 $f$ 可以确定 $\tilde{f}$ 的导函数，从而能确定 $\tilde{f}$ 本身，最多只相差一个积分常数，即起点的位置。规定起点的位置是 $0$ 后，这个提升映射就是唯一的了。
2. ^ 因为 $f$ 要构成回路， $f = p \cdot \tilde{f}$ ，而只有整数能被 $p$ 映射到 $S^{1}$ 的基点上。
3. ^ 走了半圈就回到了起点，因为对径点粘在一起了。

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基本群的计算

1. 基本群计算的工具

定理 1 积空间的基本群

定理 2 Seifert-van Kampen 定理

定理 3 弱化版 Seifert-van Kampen 定理

定理 4 形变收缩核的同伦

定理 5 锥空间的基本群

2. 基本群计算实例

例 1 S1 的基本群

例 2 和 S1 有关的空间中的基本群

例 3 莫比乌斯带的基本群

习题 1 莫比乌斯带的强形变收缩

习题 2

定理 1　积空间的基本群

定理 2　Seifert-van Kampen 定理

定理 3　弱化版 Seifert-van Kampen 定理

定理 4　形变收缩核的同伦

定理 5　锥空间的基本群

例 1　 $S^{1}$ 的基本群

例 2　和 $S^{1}$ 有关的空间中的基本群

例 3　莫比乌斯带的基本群

习题 1　莫比乌斯带的强形变收缩

习题 2　