覆叠空间
贡献者: JierPeter
覆叠空间是一种常见的简化空间描述的方式,可以更轻松地描述许多复杂空间的性质。覆叠的思想在微分几何中极为重要,而在理论物理中也偶尔会使用该方法。
1. 覆叠的概念
定义 1 覆叠映射和覆叠空间
设有拓扑空间之间的满连续映射 。如果对于任意的 ,存在开集 且 ,使得 是 中若干不相交开子集的并,并且每个这样的开子集都通过 和 同胚,那么称 是 的覆叠空间(covering space), 是其覆叠映射(covering map)或覆叠投影(covering projection)开集 是点 的典范邻域。
覆叠映射 的逆把典范邻域 映射为若干个和 同胚的开集,这也可以表示为存在一个离散空间 使得 。
需要注意的是,覆叠空间并不保证任何邻域都是典范邻域,即不是任何开集 的逆映射 都同构于 。
如果 是一个连通空间的话,我们还可以得知对于任何典范邻域 对应的离散空间 ,其基数 都是一样的。这由以下定理严格描述:
定理 1 连通空间的覆叠
设 是一个覆叠映射, 是连通的。对于任意的 ,如果记它们的典范邻域分别是 和 ,且 和 ,则有 。
定理 1 意味着如果 连通,那么其覆叠映射把它同构到 个自身的拷贝上去了,其中 是任意点 的典范邻域对应的离散空间。
2. 覆叠映射的例子
例 1
取实度量空间 和复平面上的单位圆 。建立映射 ,其中 ,则 是一个覆叠映射, 是 的覆叠空间。
图 1: 到 的覆叠映射示意图。绿色段分别表示 上的一个典范邻域和它关于覆叠映射 的原像。对整数 , 都把 映射到如图所示的四分之一圆弧上,且 ,。
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