覆叠空间

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 连续映射和同胚

   覆叠空间是一种常见的简化空间描述的方式,可以更轻松地描述许多复杂空间的性质。覆叠的思想在微分几何中极为重要,而在理论物理中也偶尔会使用该方法。

1. 覆叠的概念

定义 1 覆叠映射和覆叠空间

   设有拓扑空间之间的连续映射 p:CX。如果对于任意的 xX,存在开集 UxTXxUx,使得 p1(Ux)C 中若干不相交开子集的并,并且每个这样的开子集都通过 pUx 同胚,那么称 CX覆叠空间(covering space)p 是其覆叠映射(covering map)覆叠投影(covering projection)开集 Ux 是点 x典范邻域

   覆叠映射 p 的逆把典范邻域 Ux 映射为若干个和 Ux 同胚的开集,这也可以表示为存在一个离散空间Fx 使得 p1(Ux)Ux×Fx

   需要注意的是,覆叠空间并不保证任何邻域都是典范邻域,即不是任何开集 U 的逆映射 p1(U) 都同构于 U×F

   如果 X 是一个连通空间的话,我们还可以得知对于任何典范邻域 Ux 对应的离散空间 Fx,其基数 |Fx| 都是一样的。这由以下定理严格描述:

定理 1 连通空间的覆叠

   设 p:CX 是一个覆叠映射,X 是连通的。对于任意的 x,yX,如果记它们的典范邻域分别是 UxUy,且 p1(Ux)Ux×Fxp1(Uy)Uy×Fy,则有 |Fx|=|Fy|

   定理 1 意味着如果 X 连通,那么其覆叠映射把它同构到 |Fx| 个自身的拷贝上去了,其中 Fx 是任意点 xX 的典范邻域对应的离散空间。

2. 覆叠映射的例子

例 1 

   取实度量空间 R 和复平面上的单位圆 S1={e2πitC|tR}。建立映射 p:RS1,其中 p(t)=e2πit,则 p 是一个覆叠映射,RS1 的覆叠空间。

图
图 1:RS1 的覆叠映射示意图。绿色段分别表示 S1 上的一个典范邻域和它关于覆叠映射 p 的原像。对整数 np 都把 (n,n+1/4) 映射到如图所示的四分之一圆弧上,且 p(n)=1p(n+1/4)=i

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