覆叠空间

             

预备知识 连续映射和同胚

   覆叠空间是一种常见的简化空间描述的方式,可以更轻松地描述许多复杂空间的性质.覆叠的思想在微分几何中极为重要,而在理论物理中也偶尔会使用该方法.

1. 覆叠的概念

定义 1 覆叠映射和覆叠空间

   设有拓扑空间之间的连续映射 $p:C\rightarrow X$.如果对于任意的 $x\in X$,存在开集 $U_x\in\mathcal{T}_X$ 且 $x\in U_x$,使得 $p^{-1}(U_x)$ 是 $C$ 中若干不相交开子集的并,并且每个这样的开子集都通过 $p$ 和 $U_x$ 同胚,那么称 $C$ 是 $X$ 的覆叠空间(covering space),$p$ 是其覆叠映射(covering map)覆叠投影(covering projection)开集 $U_x$ 是点 $x$ 的典范邻域

   覆叠映射 $p$ 的逆把典范邻域 $U_x$ 映射为若干个和 $U_x$ 同胚的开集,这也可以表示为存在一个离散空间$F_x$ 使得 $p^{-1}(U_x)\approx U_x\times F_x$.

   需要注意的是,覆叠空间并不保证任何邻域都是典范邻域,即不是任何开集 $U$ 的逆映射 $p^{-1}(U)$ 都同构于 $U\times F$.

   如果 $X$ 是一个连通空间的话,我们还可以得知对于任何典范邻域 $U_x$ 对应的离散空间 $F_x$,其基数 $ \left\lvert F_x \right\rvert $ 都是一样的.这由以下定理严格描述:

定理 1 连通空间的覆叠

   设 $p:C\rightarrow X$ 是一个覆叠映射,$X$ 是连通的.对于任意的 $x, y\in X$,如果记它们的典范邻域分别是 $U_x$ 和 $U_y$,且 $p^{-1}(U_x)\approx U_x\times F_x$ 和 $p^{-1}(U_y)\approx U_y\times F_y$,则有 $ \left\lvert F_x \right\rvert = \left\lvert F_y \right\rvert $.

   定理 1 意味着如果 $X$ 连通,那么其覆叠映射把它同构到 $ \left\lvert F_x \right\rvert $ 个自身的拷贝上去了,其中 $F_x$ 是任意点 $x\in X$ 的典范邻域对应的离散空间.

2. 覆叠映射的例子

例 1 

   取实度量空间 $\mathbb{R}$ 和复平面上的单位圆 $S^1=\{e^{2\pi \mathrm{i} t}\in\mathbb{C}|t\in\mathbb{R}\}$.建立映射 $p:\mathbb{R}\rightarrow S^1$,其中 $p(t)=e^{2\pi \mathrm{i} t}$,则 $p$ 是一个覆叠映射,$\mathbb{R}$ 是 $S^1$ 的覆叠空间.

图
图 1:$\mathbb{R}$ 到 $S^1$ 的覆叠映射示意图.绿色段分别表示 $S^1$ 上的一个典范邻域和它关于覆叠映射 $p$ 的原像.
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