覆叠空间

贡献者： JierPeter

预备知识　连续映射和同胚

　　覆叠空间是一种常见的简化空间描述的方式，可以更轻松地描述许多复杂空间的性质。覆叠的思想在微分几何中极为重要，而在理论物理中也偶尔会使用该方法。

1. 覆叠的概念

定义 1　覆叠映射和覆叠空间

　　设有拓扑空间之间的满连续映射 $p : C \to X$ 。如果对于任意的 $x \in X$ ，存在开集 $U_{x} \in T_{X}$ 且 $x \in U_{x}$ ，使得 $p^{- 1} (U_{x})$ 是 $C$ 中若干不相交开子集的并，并且每个这样的开子集都通过 $p$ 和 $U_{x}$ 同胚，那么称 $C$ 是 $X$ 的覆叠空间（covering space）， $p$ 是其覆叠映射（covering map）或覆叠投影（covering projection）开集 $U_{x}$ 是点 $x$ 的典范邻域。

　　覆叠映射 $p$ 的逆把典范邻域 $U_{x}$ 映射为若干个和 $U_{x}$ 同胚的开集，这也可以表示为存在一个离散空间 $F_{x}$ 使得 $p^{- 1} (U_{x}) \approx U_{x} \times F_{x}$ 。

　　需要注意的是，覆叠空间并不保证任何邻域都是典范邻域，即不是任何开集 $U$ 的逆映射 $p^{- 1} (U)$ 都同构于 $U \times F$ 。

　　如果 $X$ 是一个连通空间的话，我们还可以得知对于任何典范邻域 $U_{x}$ 对应的离散空间 $F_{x}$ ，其基数 $| F_{x} |$ 都是一样的。这由以下定理严格描述：

定理 1　连通空间的覆叠

　　设 $p : C \to X$ 是一个覆叠映射， $X$ 是连通的。对于任意的 $x, y \in X$ ，如果记它们的典范邻域分别是 $U_{x}$ 和 $U_{y}$ ，且 $p^{- 1} (U_{x}) \approx U_{x} \times F_{x}$ 和 $p^{- 1} (U_{y}) \approx U_{y} \times F_{y}$ ，则有 $| F_{x} | = | F_{y} |$ 。

　　定理 1 意味着如果 $X$ 连通，那么其覆叠映射把它同构到 $| F_{x} |$ 个自身的拷贝上去了，其中 $F_{x}$ 是任意点 $x \in X$ 的典范邻域对应的离散空间。

2. 覆叠映射的例子

例 1　

　　取实度量空间 $R$ 和复平面上的单位圆 $S^{1} = {e^{2 π i t} \in C | t \in R}$ 。建立映射 $p : R \to S^{1}$ ，其中 $p (t) = e^{2 π i t}$ ，则 $p$ 是一个覆叠映射， $R$ 是 $S^{1}$ 的覆叠空间。

图 1：

R

到

S^{1}

的覆叠映射示意图。绿色段分别表示

S^{1}

上的一个典范邻域和它关于覆叠映射

p

的原像。对整数

n

，

p

都把

(n, n + 1 / 4)

映射到如图所示的四分之一圆弧上，且

p (n) = 1

，

p (n + 1 / 4) = i

。

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覆叠空间

1. 覆叠的概念

定义 1 覆叠映射和覆叠空间

定理 1 连通空间的覆叠

2. 覆叠映射的例子

例 1

定义 1　覆叠映射和覆叠空间

定理 1　连通空间的覆叠

例 1　