基本群

             

预备知识 同伦,群论

   本节我们将介绍拓扑空间上的一个重要的代数结构,这将会是我们研究同伦(或者说拓扑空间的连续变化)的有力工具.这个结构是一个群,被称为基本群.回忆一下,在点集拓扑中我们讨论了四类同胚不变量;基本群的地位是类似的,它是同伦不变量.

   我们首先将简单讨论基本群的想法是怎么来的,从直观上定义一个道路运算开始,逐渐调整定义直到满足群的四个公理.

1. 基本群的构造过程

道路类的积

   一个自然的想法是,研究拓扑空间中的道路之间的运算,称这个运算为道路之间的积.这种运算首先要满足封闭性,即两个道路的积还是一条道路.最简单的情况,就是两条道路首尾相连而成一条新的道路.因此,我们首先定义道路之间的积为首尾相连:

定义 1 道路的积

   给定拓扑空间 $X$ 及其上的两条道路:$f, g:I\rightarrow X$,并设 $f(1)=g(0)$,即 $f$ 的终点是 $g$ 的起点.定义 $f$ 和 $g$ 的积为 $f*g=h$,其中

\begin{equation}h= \left\{\begin{aligned} f(2t),\quad &t\in[0, 1/2]\\g(2t-1),\quad &t\in[1/2, 1] \end{aligned}\right. \end{equation}
显然,$h$ 也是一条道路,并且其起点是 $f$ 的起点、终点是 $g$ 的终点.

   如上定义的道路 $f$ 和 $g$ 的积,虽然满足封闭性,但是并不满足结合性,这用一个简单的例子就可以说明:

习题 1 道路的积不满足结合性

   取通常的一维欧几里得空间 $\mathbb{R}$.设 $\mathbb{R}$ 上有三条道路,$f=t$,$g=t+1$ 和 $h=t+2$.请验证,$(f*g)*h\not=f*(g*h)$.

   简单来说,道路的积不满足结合律,是因为虽然 $(f*g)*h$ 和 $f*(g*h)$ 的轨迹是重合的,但是道路上的点走过这条轨迹的 “速度” 不一样,因此不被视作一条道路.如果我们能把 $(f*g)*h$ 和 $f*(g*h)$ 归入同一个等价类里,转而研究这种道路等价类上的运算,那么结合性就可以满足了.

   为了定义这样的等价类,我们不使用一般的同伦,那样的范围太广了,以至于结构太简单;我们使用如下限制的同伦:

定义 2 保起点和终点同伦

   如果两条道路 $f, g$ 有相同的起点和终点,$f\overset{H}{\cong}g$,且对于任何 $t\in [0, 1]$,都有 $H(0, t)=f(0)=g(0)$ 和 $H(1, t)=f(1)=g(1)$,那么我们称 $f$ 和 $g$保起点和终点同伦,记为 $f\dot{\cong}g$.

定义 3 道路类

   给定拓扑空间 $X$.如果两条道路:$f, g:I\rightarrow X$ 满足 $f(0)=g(0), f(1)=g(1)$(即有相同的起点和终点),并且 $f\dot{\cong}g$,那么将它们归入同一个等价类.这样划分出的等价类,称为 $X$ 上的道路类(path class),记为 $[f]$,其中 $f$ 是 $[f]$ 中任意一条道路.

   显然,如果两条道路轨迹相同,那么它们一定是在同一个道路类里的,这就解决了结合性的问题

定义 4 道路类的积

   给定拓扑空间 $X$ 和其上的两个道路类 $[f]$ 和 $[g]$.记 $[f]$ 和 $[g]$ 之间的积为 $[f]*[g]=[f*g]$.为了方便,通常也记 $[f]*[g]=[f][g]$.

   要注意的是,道路类的积可以省略运算符号 $*$,但是道路的积不可以.因为道路本身还是一种映射,映射之间除了道路积,还有复合等运算;尽管道路之间通常没法复合,但是为了尽可能避免歧义,就不省略道路的积中的 $*$ 了.

基点和回路类

   道路类的运算仍然有缺陷,那就是并非任意道路类之间都可以作积,必须是首尾相连的道路才行.解决这个问题很简单,就是选定一个基点,只研究同时以这个基点为起点和终点的道路类就可以了.起点和终点重合的道路,称作回路或者闭路(closed path).如果一条回路或者回路类以 $x_0$ 为起点和终点,那么也称 $x_0$ 是该回路或者回路类的基点.

   两条回路如果保起点和终点同伦,那么也可以称它们是保基点同伦

   由道路连通分支的性质可知,选定基点以后,经过这个基点的回路都逃不出基点所在的道路连通分支.因此同伦论中研究的通常是道路连通的空间

定义 5 回路类的集合

   给定道路连通空间 $X$ 及一个基点 $x_0\in X$.记 $\Omega(X, x_0)$ 为所有以 $x_0$ 为基点的回路类的集合.

2. 基本群的定义

习题 2 基本群

   给定道路连通空间 $X$ 及一个基点 $x_0\in X$.给 $\Omega(X, x_0)$ 赋予道路类的积作为运算.证明这个运算满足群的四条公理.

   因此,$\Omega(X, x_0)$ 配合该运算构成一个群,记为 $\pi_1(X, x_0)$,称为 $X$ 上关于基点 $x_0$ 的基本群(fundamental group)

   习题 2 的提示:封闭性和结合性,在构造道路类的积时已经满足了——道路类的积这个概念的引入就是为了满足这两条性质的.基本群的单位元是回路类 $[e_{x_0}]$,其中 $e_{x_0}: I\rightarrow\{x_0\}$,就是随着 $t$ 变化却恒映射为 $x_0$ 的回路;回路类 $[f(t)]$ 的逆元为 $[f(t)]^{-1}=[f(1-t)]$.

   注意,严格的证明需要构造出 $e_{x_0}$ 到 $f*f^{-1}$ 的同伦 $H$.

3. 基本群的例子

例 1 单连通空间

   考虑二维欧几里得空间 $\mathbb{R}^2$.这个单连通空间上的所有道路之间都保起点和终点同伦,因此关于任何基点的回路都保基点同伦,换句话说,关于任何基点的回路类只有一个.因此,$\mathbb{R}^2$ 上关于任何基点的基本群都是平凡群(只含一个元素).

   基本群是平凡群的空间,被称为单连通空间(simply connected space)

   任意维的欧几里得空间 $\mathbb{R}^N$ 都是单连通的;这些空间中对应的球面 $S^{N-1}$ 也都是单连通的.

例 2 带一个孔洞的空间

   考虑 $\mathbb{R}^2$ 上挖去一个点的空间 $A_1=\mathbb{R}^2-\{(0,0)\}$,那么对于任何基点 $x_0\in A_1$,基本群 $\pi_1(A_1, x_0)=\mathbb{Z}$.其中正整数 $n$ 对应的回路类,是顺时针绕 $(0,0)$ 圈数为 $n$ 的回路集合,$-n$ 对应的就是逆时针绕了 $n$ 圈的回路类,$0$ 对应的就是没有绕 $(0,0)$ 的回路类.当然,也可以反过来定义 $n$ 对应逆时针绕转、$-n$ 对应顺时针绕转.

   如果挖去的不是一个点,而是一个圆,那么基本群也是 $\mathbb{Z}$.不管挖去的是一个点还是一个单连通的子集,我们都看成是挖去了一个孔洞.

例 3 带多个孔洞的空间

   $\mathbb{R}^2$ 上挖去 $2$ 个孔洞,那么考虑回路类时就要区分是绕转了哪个孔洞.这样一来,挖去两个孔洞后的空间的基本群就是自由群$ < \{x_1, x_2\}>$.一般地,挖去 $k$ 个孔洞以后的空间的基本群是自由群 $ < \{x_i|i=1, 2, \cdots, k\}>$.

4. 基点的选择

   在前面的论述中,我们总是说 “任意基点”,而论述的内容和具体选择哪个基点无关.事实上,在道路连通空间中讨论基本群时,确实和基点无关.

定理 1 基点的选取不影响基本群的结构

   给定道路连通空间 $X$ 和两个基点 $x_0, y_0\in X$,则基本群 $\pi_1(X, x_0)$ 和 $\pi_1(X, y_0)$ 是同构的.

   证明

   取 $x_0$ 到 $y_0$ 的任意道路 $h$,则以 $y_0$ 为基点的回路类 $[g]$,可以对应到以 $x_0$ 为基点的回路类 $[h][g][h]^{-1}$.记这样的对应为 $T_h: \{\text{以} y_0 \text{为基点的回路类}\}\rightarrow\{\text{以} x_0 \text{为基点的回路类}\}$,其中 $T_h([g])=[h][g][h]^{-1}$.由同伦定义可知 $T_h$ 是一个双射

   对于 $y_0$ 为基点的回路类 $[f]$ 和 $[g]$,$$T_h([f][g])=[h][f][g][h^{-1}]=[h][f][h]^{-1}[h][g][h]^{-1}=T_h([f])T_h([g])$$ 也就是说,回路积和映射可互换顺序,意味着 $T_h$ 是一个群同态

   双射的群同态是群同构

   证毕

   既然道路连通空间中,基点的不同并不会导致基本群结构的不同,因此我们可以忽视基点的存在,而简单地称任何基点上构造的基本群都是同一个.在这种语境下,我们可以把道路连通空间的基本群记为 $\pi_1(X)$.

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