基本群

                     

贡献者： JierPeter; Giacomo; addis

预备知识　同伦，群

　　 本节我们将介绍拓扑空间上的一个重要的代数结构，这将会是我们研究同伦（或者说拓扑空间的连续变化）的有力工具。这个结构是一个群，被称为基本群。回忆一下，在点集拓扑中我们讨论了四类同胚不变量；基本群的地位是类似的，它是同伦不变量。

　　 我们首先将简单讨论基本群的想法是怎么来的，从直观上定义一个道路运算开始，逐渐调整定义直到满足群的四个公理。

1. 基本群的构造过程

道路类的积

　　 一个自然的想法是，研究拓扑空间中的道路之间的运算，称这个运算为道路之间的积。这种运算首先要满足封闭性，即两个道路的积还是一条道路。最简单的情况，就是两条道路首尾相连而成一条新的道路。因此，我们首先定义道路之间的积为首尾相连：

定义 1　道路的积

　　 给定拓扑空间 X 及其上的两条道路：f,g:I→X，并设 f(1)=g(0)，即 f 的终点是 g 的起点。定义 f 和 g 的积为 f∗g=h，其中

(1)h={f(2t),t∈[0,1/2]g(2t−1),t∈[1/2,1] .
显然，h 也是一条道路，并且其起点是 f 的起点、终点是 g 的终点。

　　 如上定义的道路 f 和 g 的积，虽然满足封闭性，但是并不满足结合性，这用一个简单的例子就可以说明：

习题 1　道路的积不满足结合性

　　 取通常的一维欧几里得空间 R。设 R 上有三条道路，f=t，g=t+1 和 h=t+2。请验证，(f∗g)∗h≠f∗(g∗h)。

　　 简单来说，道路的积不满足结合律，是因为虽然 (f∗g)∗h 和 f∗(g∗h) 的轨迹是重合的，但是道路上的点走过这条轨迹的 “速度” 不一样，因此不被视作一条道路。如果我们能把 (f∗g)∗h 和 f∗(g∗h) 归入同一个等价类里，转而研究这种道路等价类上的运算，那么结合性就可以满足了。

　　 为了定义这样的等价类，我们不使用一般的同伦，那样的范围太广了，以至于结构太简单；我们使用如下限制的同伦：

定义 2　保起点和终点路径同伦

　　 如果两条道路 f,g 有相同的起点和终点，f≅Hg，且对于任何 t∈[0,1]，都有 H(0,t)=f(0)=g(0) 和 H(1,t)=f(1)=g(1)，那么我们称 f 和 g 是保起点和终点路径同伦的，记为 f≅˙g。

定义 3　道路类

　　 给定拓扑空间 X。如果两条道路：f,g:I→X 满足 f(0)=g(0),f(1)=g(1)（即有相同的起点和终点），并且 f≅˙g，那么将它们归入同一个等价类。这样划分出的等价类，称为 X 上的道路类（path class），记为 [f]，其中 f 是 [f] 中任意一条道路。

　　 显然，如果两条道路轨迹相同，那么它们一定是在同一个道路类里的，这就解决了结合性的问题。

定义 4　道路类的积

　　 给定拓扑空间 X 和其上的两个道路类 [f] 和 [g]。记 [f] 和 [g] 之间的积为 [f]∗[g]=[f∗g]。为了方便，通常也记 [f]∗[g]=[f][g]。

　　 要注意的是，道路类的积可以省略运算符号 ∗，但是道路的积不可以。因为道路本身还是一种映射，映射之间除了道路积，还有复合等运算；尽管道路之间通常没法复合，但是为了尽可能避免歧义，就不省略道路的积中的 ∗ 了。

基点和回路类

　　 道路类的运算仍然有缺陷，那就是并非任意道路类之间都可以作积，必须是首尾相连的道路才行。解决这个问题很简单，就是选定一个基点，只研究同时以这个基点为起点和终点的道路类就可以了。起点和终点重合的道路，称作回路或者闭路（closed path）。如果一条回路或者回路类以 x0 为起点和终点，那么也称 x0 是该回路或者回路类的基点。

　　 两条回路如果是保起点和终点路径同伦的，那么也可以称它们是的保基点同伦。

　　 由道路连通分支的性质可知，选定基点以后，经过这个基点的回路都逃不出基点所在的道路连通分支。因此同伦论中研究的通常是道路连通的空间。

定义 5　回路类的集合

　　 给定道路连通空间 X 及一个基点 x0∈X。记 Ω(X,x0) 为所有以 x0 为基点的回路类的集合。

2. 基本群的定义

习题 2　基本群

　　 给定道路连通空间 X 及一个基点 x0∈X。给 Ω(X,x0) 赋予道路类的积作为运算。证明这个运算满足群的四条公理。

　　 因此，Ω(X,x0) 配合该运算构成一个群，记为 π1(X,x0)，称为 X 上关于基点 x0 的基本群（fundamental group）。

　　 习题 2 的提示：封闭性和结合性，在构造道路类的积时已经满足了——道路类的积这个概念的引入就是为了满足这两条性质的。基本群的单位元是回路类 [ex0]，其中 ex0:I→{x0}，就是随着 t 变化却恒映射为 x0 的回路；回路类 [f(t)] 的逆元为 [f(t)]−1=[f(1−t)]。

　　 注意，严格的证明需要构造出 ex0 到 f∗f−1 的同伦 H。

3. 基本群的例子

定理 1　

　　 一个拓扑空间是单连通空间当且仅当它基本群是平凡群。

　　 比如欧几里得空间 RN，球面 SN（N≥2）。

定理 2　

　　 如果两个拓扑空间是同伦等价的，那么它们的基本群同构。

　　

未完成：我们可以构造出这个同构

　　 因为同胚比同伦更强，我们有以下推论。

推论 1　

　　 如果两个拓扑空间是同胚的，那么它们的基本群同构。

例 1　带一个孔洞的空间

　　 考虑 R2 上挖去一个点的空间 A1=R2−{(0,0)}，那么对于任何基点 x0∈A1，基本群 π1(A1,x0)≅Z。其中正整数 n 对应的回路类，是顺时针绕 (0,0) 圈数为 n 的回路集合，−n 对应的就是逆时针绕了 n 圈的回路类，0 对应的就是没有绕 (0,0) 的回路类。当然，也可以反过来定义 n 对应逆时针绕转、−n 对应顺时针绕转；

　　 在 R2 上挖去一个点 (0,0) 和挖去一个闭球（圆）{(x,y)∣x2+y2≤1} 是同胚的，因此挖去闭球的 R2 的基本群也同构于 Z；

　　 S1 和 A1 不是同胚的，但它们是同伦等价的，因此 S1 的基本群也同构于 Z。

例 2　带多个孔洞的空间

　　 R2 上挖去 2 个孔洞，那么考虑回路类时就要区分是绕转了哪个孔洞。这样一来，挖去两个孔洞后的空间的基本群就是自由群⟨{x1,x2}⟩。一般地，挖去 k 个孔洞以后的空间的基本群是自由群 ⟨{xi|i=1,2,⋯,k}⟩。

4. 基点的选择

　　 在前面的论述中，我们总是说 “任意基点”，而论述的内容和具体选择哪个基点无关。事实上，在道路连通空间中讨论基本群时，确实和基点无关。

定理 3　基点的选取不影响基本群的结构

　　 给定道路连通空间 X 和两个基点 x0,y0∈X，则基本群 π1(X,x0) 和 π1(X,y0) 是同构的。

　　 证明：

　　 取 x0 到 y0 的任意道路 h，则以 y0 为基点的回路类 [g]，可以对应到以 x0 为基点的回路类 [h][g][h]−1。记这样的对应为 Th:{以y0为基点的回路类}→{以x0为基点的回路类}，其中 Th([g])=[h][g][h]−1。由同伦定义可知 Th 是一个双射。

　　 对于 y0 为基点的回路类 [f] 和 [g]，Th([f][g])=[h][f][g][h−1]=[h][f][h]−1[h][g][h]−1=Th([f])Th([g]) . 也就是说，回路积和映射可互换顺序，意味着 Th 是一个群同态。

　　 双射的群同态是群同构。

　　 证毕。

　　 既然道路连通空间中，基点的不同并不会导致基本群结构的不同，因此我们可以忽视基点的存在，而简单地称任何基点上构造的基本群都是同一个。在这种语境下，我们可以把道路连通空间的基本群记为 π1(X)。


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