单连通性

                     

贡献者: Giacomo

预备知识 道路连通性,同伦

定义 1 单连通空间

   一个拓扑空间 $X$ 被称为单连通空间(simply connected space)如果 $X$ 上任意一条闭合路径 $p: S^1 \to X$ 都同伦于某一个常函数路径 $p(t) = x_0 \in X$.

   等价的,我们可以考虑保起点和终点路径同伦的回路定义 2

定理 1 

   单连通空间是道路连通的.

例 1 

   考虑二维欧几里得空间 $\mathbb{R}^2$,它是一个单连通空间,它上面的所有回路之间都是保起点和终点路径同伦的,因此关于任何基点的回路都保基点同伦,特别的,和常函数路径同伦.

   任意维的欧几里得空间 $\mathbb{R}^N$ 都是单连通的;当 $N \geq 2$ 时,球面 $S^N$ 也都是单连通的.


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